第二課時數(shù)列求和目錄典型例題·精研析01知能演練·扣課標(biāo)02典型例題·精研析01課堂互動關(guān)鍵能力提升

題型一分組轉(zhuǎn)化法求和【例1】

已知各項都不相等的等差數(shù)列{

an

}，

a6＝6，又

a1，

a2，

a4

成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列{

an

}的通項公式；

通性通法

若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和

的數(shù)列組成，則求和時可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和后相加減.分組時

有分項分組、并項分組、裂項分組、奇偶項分組等不同的分組形式，

但不論哪種形式，必須保證所分各組能夠分別求和.【跟蹤訓(xùn)練】

即

a2

k

＝

a2

k－1＋1，

①

a2

k＋1＝

a2

k

＋2，

②

a2

k＋2＝

a2

k＋1＋1＝

a2

k＋1＋1，即

a2

k＋2＝

a2

k＋1＋1，

③所以①＋②得

a2

k＋1＝

a2

k－1＋3，即

a2

k＋1－

a2

k－1＝3，所以數(shù)列{

an

}的奇數(shù)項是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列；

題型二裂項相消法求和【例2】已知數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，

Sn

＝2

an

－1，數(shù)列{

bn

}是

等差數(shù)列，且

b1＝

a1，

b6＝

a5.（1）求數(shù)列{

an

}和{

bn

}的通項公式；

通性通法

裂項相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時很難找到

裂項的方向，突破這一難點的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點進行裂項，

其實質(zhì)是把通項

an

化成一個數(shù)列{

bn

}的兩項之差，即

an

＝

bn＋

k

－

bn

，常見的裂項技巧如下：

此外，需注意裂項之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項或多項

的問題，導(dǎo)致計算結(jié)果錯誤.一般地，當(dāng)

an

＝

bn＋1－

bn

時，

Sn

＝

bn＋1－

b1；當(dāng)

an

＝

bn＋2－

bn

時，

Sn

＝

bn＋1＋

bn

－

b1－

b2.【跟蹤訓(xùn)練】

（1）求{

an

}的通項公式；

題型三錯位相減法求和【例3】

（2023·全國甲卷17題）記

Sn

為數(shù)列{

an

}的前

n

項和，已知

a2＝1，2

Sn

＝

nan

.（1）求{

an

}的通項公式；解：

當(dāng)

n

＝1時，2

S1＝

a1，即2

a1＝

a1，所以

a1＝0.當(dāng)

n

≥2時，由2

Sn

＝

nan

，得2

Sn－1＝（

n

－1）

an－1，兩式相減得2

an

＝

nan

－（

n

－1）

an－1，

通性通法1.

使用范圍：如果數(shù)列{

an

}是等差數(shù)列，{

bn

}是等比數(shù)列，求數(shù)列

{

an

·

bn

}的前

n

項和時，可采用錯位相減法.2.

注意事項：在寫出“

Sn

”與“

qSn

”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式

“錯項對齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“

Sn

－

qSn

”的表達式.3.

檢驗：對于最后求出的前

n

項和可取

n

＝1和2檢驗是否正確.【跟蹤訓(xùn)練】已知數(shù)列{

an

}是等差數(shù)列，且

a1＝2，

a1＋

a2＋

a3＝12.（1）求數(shù)列{

an

}的通項公式；解：

設(shè)數(shù)列{

an

}的公差為

d

，法一

a1＋

a2＋

a3＝3

a1＋3

d

＝12.又

a1＝2，得

d

＝2，∴

an

＝2

n

，

n

∈N＋.法二

∵

a1＋

a3＝2

a2，∴

a2＝4.又

a1＝2，∴

d

＝4－2＝2.∴

an

＝2

n

，

n

∈N＋.解：由

bn

＝

an

·3

n

＝2

n

·3

n

，得

Sn

＝2·3＋4·32＋…＋（2

n

－2）·3

n－1＋2

n

·3

n

，①3

Sn

＝2·32＋4·33＋…＋（2

n

－2）·3

n

＋2

n

·3

n＋1，②①－②得－2

Sn

＝2（3＋32＋33＋…＋3

n

）－2

n

·3

n＋1＝3（3

n

－1）－2

n

·3

n＋1，

（2）令

bn

＝

an

·3

n

，求數(shù)列{

bn

}的前

n

項和

Sn

.

1.

數(shù)列{（－1）

nn

}的前

n

項和為

Sn

，則

S2

024＝（

）A.1

012B.

－1

012C.2

024D.

－2

024解析：

S2

024＝（－1＋2）＋（－3＋4）＋…＋（－2

023＋2

024）＝1

012.故選A.

2.

設(shè)數(shù)列{

an

}（

n

∈N＋）的各項均為正數(shù)，前

n

項和為

Sn

，log2

an＋1

＝1＋log2

an

，且

a3＝4，則

S6＝（

）A.128B.65C.64D.63

5

數(shù)列通項公式的求法類型一逐差法（累加法）和逐商法（累乘法）

形如

an＋1＝

an

＋

f

（

n

）當(dāng){

f

（

n

）}可求前

n

項和時可用逐差法

（累加法）求通項公式，即：

an

＝

a1＋（

a2－

a1）＋（

a3－

a2）＋…

＋（

an

－

an－1）；

?

類型二構(gòu)造等比數(shù)列法（待定系數(shù)法）

【例2】已知數(shù)列{

an

}中，

a1＝2，

an＋1＝2

an

＋3.（1）求證：{

an

＋3}是等比數(shù)列；解：

證明：由

an＋1＝2

an

＋3，得

an＋1＋3＝2

an

＋6＝2（

an

＋3），而

a1＋3＝5，所以{

an

＋3}是以5為首項，以2為公比的等比數(shù)列.（2）求數(shù)列{

an

}的通項公式.解：

由（1）知

an

＋3＝5·2

n－1，則

an

＝5·2

n－1－3，所以數(shù)列{

an

}的通項公式

an

＝5·2

n－1－3.類型三取倒數(shù)構(gòu)造新數(shù)列

類型四同除一式構(gòu)造新數(shù)列

知能演練·扣課標(biāo)02課后鞏固核心素養(yǎng)落地

A.2

022B.2

023C.2

024D.2

025

123456789101112131415162.

已知一個有限項的等差數(shù)列{

an

}，前4項的和是40，最后4項的和

是80，所有項的和是210，則此數(shù)列的項數(shù)為（

）A.12B.14C.16D.18

12345678910111213141516

A.1B.0C.

－1D.

－1

010

12345678910111213141516

12345678910111213141516

123456789101112131415165.

（多選）設(shè)等比數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，若8

a2＋

a5＝0，則下列

式子中數(shù)值確定的是（

）12345678910111213141516

123456789101112131415166.

（多選）已知數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，下列說法正確的是

（

）A.

若

Sn

＝（

n

＋1）2，則{

an

}是等差數(shù)列B.

若

Sn

＝2

n

－1，則{

an

}是等比數(shù)列C.

若{

an

}是等差數(shù)列，則

S2

n－1＝（2

n

－1）

an

D.

若{

an

}是等比數(shù)列，則

Sn

，

S2

n

－

Sn

，

S3

n

－

S2

n

成等比數(shù)列12345678910111213141516

123456789101112131415167.

一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的和都等于同一個常數(shù)，則

稱此數(shù)列為等和數(shù)列，這個常數(shù)叫作等和數(shù)列的公和，設(shè)等和數(shù)列

{

an

}的公和為3，前

n

項和為

Sn

，若

S2

025＝3

038，則

a1＝

?.解析：∵

an

＋

an＋1＝3，∴

S2

025＝

a1＋（

a2＋

a3）＋（

a4＋

a5）

＋…＋（

a2

024＋

a2

025）＝

a1＋3×1

012＝3

038，∴

a1＝2.212345678910111213141516

9912345678910111213141516

1234567891011121314151610.

設(shè){

an

}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，

a1＝2，

a3＝

a2＋4.數(shù)列{

bn

}滿

足

b1＋

b2＋…＋

bn

＝

n2.（1）求{

an

}和{

bn

}的通項公式；解：

設(shè)

q

（

q

＞0）為等比數(shù)列{

an

}的公比，則由

a1＝

2，

a3＝

a2＋4得2

q2＝2

q

＋4，即

q2－

q

－2＝0，解得

q

＝2.∴{

an

}的通項公式為

an

＝2·2

n－1＝2

n

.∵

b1＋

b2＋…＋

bn

＝

n2.∴當(dāng)

n

＝1時，

b1＝1，當(dāng)

n

≥2時，

b1＋

b2＋…＋

bn－1＝（

n

－1）2，∴當(dāng)

n

≥2時，

bn

＝

n2－（

n

－1）2＝2

n

－1，又

b1＝1也適合，∴{

bn

}的通項公式為

bn

＝2

n

－1.12345678910111213141516（2）求數(shù)列{

an

＋

bn

}的前

n

項和

Sn

.

12345678910111213141516

11.

已知數(shù)列{

an

}滿足

a1＝1，

an＋1·

an

＝2

n

（

n

∈N＋），則

S2

023＝

（

）A.22

023－1B.22

023－3C.21

013－3D.21

013－112345678910111213141516

12345678910111213141516

A.83B.82C.81D.80

1234567891011121314151613.

（多選）如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算

法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個球，

第二層有3個球，第三層有6個球，….設(shè)第

n

層有

an

個球，從上往

下

n

層球的總數(shù)為

Sn

，則（

）A.

S5＝35B.

an＋1－

an

＝

n

12345678910111213141516

12345678910111213