BUPT第二章隨機變量及其分布2.1隨機變量及其分布函數(shù)2.2離散型隨機變量及其分布律2.3連續(xù)型隨機變量及其概率密度2.4隨機變量函數(shù)的分布

BUPT2.1隨機變量及其分布函數(shù)隨機變量隨機變量的分布函數(shù)BUPT2.1隨機變量及其分布函數(shù)

概率論是從數(shù)量上來研究隨機現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，為了更方便有力的研究隨機現(xiàn)象，就要用數(shù)學分析的方法來研究，因此為了便于數(shù)學上的推導和計算，就需將任意的隨機事件數(shù)量化．當把一些非數(shù)量表示的隨機事件用數(shù)字來表示時，就建立起了隨機變量的概念．1.為什么引入隨機變量?一、隨機變量第3頁BUPT2.隨機變量的引入例1.1

在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個球,觀察摸出球的顏色.

非數(shù)量

可采用下列方法紅色白色即有X(紅色)=1,X(白色)=0.

第4頁BUPT出現(xiàn)1點出現(xiàn)2點出現(xiàn)3點出現(xiàn)4點出現(xiàn)5點出現(xiàn)6點Y123456P例1.2：E:擲一顆骰子,觀察點數(shù).基本思想：將樣本空間數(shù)量化,即用數(shù)值來表示試驗的結果第5頁BUPT

又如：1.某個燈泡的使用壽命為X.X的可能

取值為[0,+)2.某電話總機在一分鐘內(nèi)收到的呼叫次數(shù)為Y.Y

的可能取值為0，1，2，3，...第6頁BUPT（1）隨試驗結果的不同而取不同的值，因而在試驗之前只知道它可能取值的范圍，而不能預先肯定它將取哪個值.（2）由于試驗結果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這些實值函數(shù)取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.這些X,Y,Z就是所謂的隨量機變(randomvariable)這幾個例題中引入的變量X,Y,Z都是樣本空間上的實值函數(shù)，且具有以下共同特點：第7頁BUPT定義1.1（隨機變量）設隨機試驗的樣本空間為Ω，如果對于每一個樣本點，均有唯一的實數(shù)與之對應，稱為樣本空間Ω上的隨機變量（RandomVariable）

xX=X(

1)0X=X(

2)第8頁BUPT

通過引進隨機變量的概念，能夠把不同的樣本空間抽象化為一些定量的實數(shù)，由此就可以利用高等數(shù)學的有關方法來研究隨機現(xiàn)象。隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，就象數(shù)學分析中常量與變量的區(qū)別那樣.

隨機變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機變量后，對隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴大為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究.第9頁BUPT1.在擲骰子試驗中，2.觀察一個電話交換臺在一段時間（0，T）內(nèi)接到的呼叫次數(shù)。用隨機變量表示事件：X表示出現(xiàn)的點數(shù)用隨機變量X表示事件出現(xiàn)偶數(shù)點出現(xiàn)的點數(shù)小于4{X=2}

{X=4}

{X=6}{X<4}或{X3}X表示呼叫次數(shù)用隨機變量X表示事件接到的呼叫次數(shù)k次收到不少于1次呼叫第10頁BUPT3.隨機變量的分類通常分為兩類：例如“取到次品的個數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等.隨機變量1.離散型隨機變量2.連續(xù)型隨機變量所有取值可以逐個一一列舉例如，“電視機的壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”等.全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個區(qū)間.第11頁BUPT

分布函數(shù)例如1.概念的引入二、隨機變量的分布函數(shù)第12頁BUPT

———|——>

的概率.實際上，分布函數(shù)完整地描述了r.v.的統(tǒng)計規(guī)律，只要知道了隨機變量X的分布函數(shù)，就可以計算它取任何值的概率.第13頁BUPT2.分布函數(shù)的性質(zhì)

如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個r.vX

的分布函數(shù).也就是說，性質(zhì)(1)--(3)是鑒別一個函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充要條件.

第14頁BUPT

分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的的統(tǒng)計規(guī)律：

分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用高等數(shù)學的工具來研究隨機變量.第15頁BUPT

第16頁BUPT

例1.5

設有函數(shù)F(x)

或者第17頁BUPT2.2離散型隨機變量及其分布律離散型隨機變量三種重要的離散型分布兩點分布二項分布泊松分布

其它常見的離散型分布幾何分布巴斯卡分布超幾何分布

BUPT2.2離散型隨機變量及其分布律稱此式為X的分布律或概率分布（Probabilitydistribution)

設離散型隨機變量X的所有可能取值是，而取值的概率為即定義2.1如果隨機變量X的所有取值是有限個或可列個,則稱X為離散型隨機變量。第19頁BUPT分布律

(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）規(guī)范性用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是隨機變量的分布律

第20頁BUPT全面表達了X的所有可能取值以及取各個值的概率情況

P

X離散隨機變量分布律的表示法1.公式法2.表格法3.圖示法PX

…第21頁BUPT解:依據(jù)概率函數(shù)的性質(zhì):

從中解得欲使上述函數(shù)為概率函數(shù)應有這里用到了常見的冪級數(shù)展開式例2.1設隨機變量X的概率函數(shù)為：

第22頁BUPT例2.2一袋中有5只乒乓球，編號為1，2，3，4，5，在其中同時取3只，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律.X345P0.10.30.6解P(X=3)P(X=4)P(X=5)X=3、4、5第23頁BUPT例2.3某射手連續(xù)向一目標射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)X的概率函數(shù)（即分布律）.解:X可能取的值是1,2,…，

設于是即

若隨機變量X的概率函數(shù)如上式，則稱X具有幾何分布.不難驗證:幾何分布作為描述某個試驗“首次成功”的概率模型.第24頁BUPT

2.分布律與分布函數(shù)的關系（2）已知r.v.X的分布函數(shù)F(x)，可求出X的分布律：

第25頁BUPT二、三種重要的的離散型分布1.0-1分布(兩點分布)1－ppP01X

則稱X服從參數(shù)為p的二點分布

或(0-1)分布,易得其分布函數(shù)：兩點分布是最簡單的一種分布,任何一個只有兩種可能結果的隨機現(xiàn)象,比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等,都屬于兩點分布.第26頁BUPT其中0<p<1,則稱X服從參數(shù)為n,p

的二項分布（Binomialdistribution）,記為X～b(n,p)定義2.2:在n重貝努利試驗中,若以X表示事件A發(fā)生的次數(shù),

則隨機變量X可能的

取值為0,1,2,3,…,n.分布律為：2.二項分布第27頁BUPT（1）因為,其中

恰為二項式的一般項，故稱為二項分布。（2）當n=1時，二項分布為（0－1）分布，即

X

b(１,p)。（3）二項分布的分布律

第28頁BUPT二項分布分布律圖形第29頁BUPT其中

>0,

則稱X服從參數(shù)為

的泊松分布（Poissondistribution）

若隨機變量

X的分布律為:記為3.泊松分布顯然有：第30頁BUPT泊松分布的圖形第31頁BUPT泊松(1781-1840)法國數(shù)學家

青年時期曾學過醫(yī)學,后因喜好數(shù)學于1798年入巴黎綜合工科學院深造。他的數(shù)學才能受到拉格朗日和拉普拉斯的注意。

泊松的科學生涯開始于研究微分方程及其單擺的運動和聲學理論中的應用。他工作的特色是應用數(shù)學方法研究各類力學和物理問題，并由此得到數(shù)學上的發(fā)現(xiàn)。他對積分理論、熱物理，彈性理論、電磁理論、位勢理論和概率論都有重要貢獻。第32頁BUPT服務臺在某時間段內(nèi)接待的服務次數(shù)；交換臺在某時間段內(nèi)接到呼叫的次數(shù);礦井在某段時間發(fā)生事故的次數(shù);顯微鏡下相同大小的方格內(nèi)微生物的數(shù)目；單位體積空氣中含有某種微粒的數(shù)目在生物學、醫(yī)學、工業(yè)統(tǒng)計、保險科學及公用事業(yè)的排隊等問題中,泊松分布是常見的.例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺的電話呼喚次數(shù)等,都服從泊松分布.

實際問題中若干隨機變量服從或近似服從Poisson分布的情形：把在每次試驗中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件.如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等。n重貝努里試驗中稀有事件(p很小）出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布.第33頁BUPT二項分布的泊松近似

泊松定理：設λ>0是一常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設npn=λ，則對于任一固定的非負整數(shù)k，有證明：由pn=λ/n有對于任意固定的k，當n→∞時第34頁BUPT

意義：定理的條件npn=λ（常數(shù)）意味著當n很大時，pn必定很小。因此，上述定理表明當n很大、p很小時有以下近似式其中λ=np

實際計算中，第35頁BUPT二項分布

泊松分布第36頁BUPT

由泊松近似公式計算上題：分析結果：不能忽視小概率事件。有百分之一的希望，就要做百分之百的努力(堅持不懈）第37頁BUPT例2.5有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為0.002，每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司領取2000元賠償金.求：（1）保險公司虧本的概率;（2）保險公司獲利分別不少于10000元的概率.（1）保險公司總收入為2500×12=30000元.解

以“年”為單位來考慮.

則保險公司虧本的概率為第38頁BUPT由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有(2)P(保險公司獲利不少于10000)

即保險公司獲利不少于10000元的概率在98%以上.保險公司虧本的概率很小第39頁例2.6為保證設備正常工作，需要配備適量的維修人員.設共有300臺設備，每臺的工作相互獨立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺設備的故障可由一人來處理.問至少應配備多少維修人員，才能保證當設備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?解：設X為300臺設備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，

設需配備N個維修人員，所求的是滿足

第40頁BUPT即至少需配備8個維修人員.查泊松分布表得N+19,即N8滿足的最小的N.

n大,p小,np=3,用=np=3的泊松近似第41頁BUPT例2.7在上例中，由一個人負責維修20臺設備。

（1）求設備發(fā)生故障，而不能及時修理的概率；

（2）又若由三個人共同負責維修80臺，求設備及時修理的概率。

第42頁BUPT

結論：（1）>（2），說明盡管情況2任務重了（一個人修27臺），但工作質(zhì)量提高了，也說明，概率方法可用來討論國民經(jīng)濟中某些問題，以使達到更有效地使用人力、物力、資源的目的，這是運籌學的任務，概率論是解決運籌學問題的有力工具。第43頁BUPT1.幾何分布在獨立重復試驗中，設A在每次試驗中發(fā)生的概率均為p，記X為A首次發(fā)生時的試驗次數(shù)。則不難驗證，X具有如下分布律這個概率分布稱為幾何分布。

2.巴斯卡分布在獨立重復試驗中，若記X為A在第r次發(fā)生時的

試驗次數(shù),則X的分布律為

這個分布稱為巴斯卡分布。三、其它常見的離散型分布第44頁BUPT3.超幾何分布

設一堆同類產(chǎn)品共N件，其中有M個次品，現(xiàn)從中任取n個(為方便計算。假定n≤N-M)，則這n個中所含的次品數(shù)X是個離散型隨機變量，X的分布律為

其中l(wèi)=min(M，n),這個概率分布稱為超幾何分布。第45頁BUPT2.3連續(xù)型隨機變量及其概率密度連續(xù)型隨機變量三種重要的連續(xù)型分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布

第46頁BUPT2.3連續(xù)型隨機變量及其概率密度一、連續(xù)型隨機變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個區(qū)間的變量.例3.1：設X為在[0，1]任意取點的坐標，則X為連續(xù)型隨機變量,其分布函數(shù)為

第47頁BUPT

xf(x)xF(x)

-10-550.020.040.060.08第48頁BUPT概率密度的性質(zhì)

這是因為注:由上述性質(zhì)可知，對于連續(xù)型隨機變量，我們關心它在某一點取值的問題沒有太大的意義，我們所關心的是它在某一區(qū)間上取值的問題。第49頁BUPT

第50頁BUPT注1.對于連續(xù)型的隨機變量,密度函數(shù)唯一決定分布函數(shù)。

2.連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)一定是連續(xù)的；分布函數(shù)如果不連續(xù)就不是連續(xù)型隨機變量(除了連續(xù)型分布和離散型分布以外還存在其它類型的分布)。密度函數(shù)與分布函數(shù)的關系:

第51頁BUPT5概率密度f(x)物理意義。

在f(x)連續(xù)點x處有第52頁BUPT

例3.2

設隨機變量X概率密度為(1)試確定常數(shù)k，(2)求F(x)，(3)并求P{X>0.1}。

解:(1)由于

于是X的概率密度為，解得k=3.(2)從而第53頁BUPT例3.3連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)（1）求A，B（2）求X的概率密度（3）P{-1<X<2}解（1）由分布函數(shù)的性質(zhì)知由連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)的連續(xù)性知所以B=1.

即：A=1-A，所以A=1/2于是X分布函數(shù)為：（2）X的概率密度為第54頁BUPT分布函數(shù)為：二、

三種重要的連續(xù)型分布

1．均勻分布(UniformDistribution)設連續(xù)隨機變量X具有概率密度則稱X在區(qū)間(a，b)上服從均勻分布，記為X

U(a，b).第55頁BUPT均勻分布的意義

第56頁BUPT

例3.4設公共汽車站從上午7時起每隔15分鐘來一班車，如果某乘客到達此站的時間是7:00到7:30之間的均勻隨機變量，試求該乘客候車時間不超過5分鐘的概率。

區(qū)間[0,30]上的均勻分布令B={候車時間不超過5分鐘}則第57頁BUPT

第58頁BUPT定義3.22.指數(shù)分布記作其分布函數(shù)為:(1)若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為第59頁BUPT第60頁BUPT(2)指數(shù)分布的性質(zhì)指數(shù)分布具有“無記憶性”某些元件或設備的壽命用指數(shù)分布擬合.例如無線電元件的壽命、電力設備的壽命、動物的壽命等都服從指數(shù)分布.應用與背景第61頁BUPT設X是非負連續(xù)隨機變量，則定義或

為隨機變量X的失效率函數(shù)，簡稱失效率.(3)(4)指數(shù)分布的失效率為：2)失效率函數(shù)恒為參數(shù)

.第62頁BUPT

記作若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為3.正態(tài)分布其分布函數(shù)為第63頁BUPT正態(tài)分布分布和概率密度函數(shù)圖形特點(1)決定圖形的中心位置，決定圖形中峰的陡峭程度.

第64頁BUPT（3）在

x=

±

時，曲線

y=f(x)在對應的點處有拐點；（4）曲線

y=f(x)以x軸為漸近線；（5）曲線

y=f(x)的圖形呈單峰對稱狀；第65頁BUPT例如測量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布正態(tài)分布的應用與背景：若隨機變量X受到眾多相互獨立的隨機因素的影響，而每一個別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加，則X服從正態(tài)分布。正態(tài)分布是應用最廣泛、最重要的一種分布。第66頁BUPT標準正態(tài)分布的概率密度為標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布的分布函數(shù)為第67頁BUPT標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布.根據(jù)引理,只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題.第68頁BUPT正態(tài)分布表書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表.

若X～N(0,1),若

第69頁BUPT例3.6

設X

N(1.5，22)，求P{-1≤X

≤2}。解:第70頁BUPT

解：設p為每次測量誤差絕對值大于19.6(記為A事件）的概率,p=P{|X|>19.6}==1-Φ(1.96)+Φ(-1.96)=2-2Φ(1.96)=0.05P{|X|/10>19.6/10}設Y表示100次獨立測量中事件A出現(xiàn)的次數(shù),則：

第71頁BUPT由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.這也是N(0,1)表只作(0,3)的概率的原因。

3準則（三倍標準差原則）推廣到一般的正態(tài)分布,時稱為“3σ規(guī)則”第72頁BUPT2.4隨機變量函數(shù)的分布離散型隨機變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布第73頁BUPT2.4隨機變量函數(shù)的分布這類問題一般的提法是：若X是隨機變量，求Y=g(X)的分布(其中y=g(x)是x的一個實值函數(shù))。為了求Y的分布，首先我們要理解Y是一個怎樣的隨機變量，設X是定義在樣本空間Ω={ω}上的隨機變量，那么Y=Y(ω)=g(X(ω))，由此可見Y亦是定義在Ω上的隨機變量，它是經(jīng)過g(.)與X(.)復合而成的。第74頁BUPT在實際中，人們常常對隨機變量的函數(shù)更感興趣.

這類問題無論在實踐中還是在理論上都是重要的.問題的一般提法第75頁BUPT一、離散型隨機變量函數(shù)的分布

X-10123

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例4.1設離散型隨機變量X的分布律為

第76頁解:由X的分布律可得下表

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