高級中學名校試卷PAGEPAGE1云南省大理白族自治州大理市2024-2025學年高二上學期1月期末教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷第I卷（選擇題，共58分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，所以.故選：C.2.若，則復數(shù)對應(yīng)的點位于第（）象限.A.一 B.二C.三 D.四【答案】C【解析】易知，由可得，可知對應(yīng)點在第三象限，故選：C.3.已知函數(shù)，，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，則，解得，所以“”是“函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.故選：B.4.甲同學近10次數(shù)學考試成績情況如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，則甲同學這10次數(shù)學考試成績的第25百分位數(shù)是（）A.113 B.109.5C.106 D.103【答案】A【解析】已知數(shù)據(jù)按從小到大排列為：103，106，113，118，118，119，121，123，125，134，因為，因此第25百分位數(shù)是第3個數(shù)113，故選：A.5.已知數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題得，即，則，故選：A.6.已知，則（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】因為，所以，解得，所以，故選：D.7.設(shè)，，，則的最小值為（）A. B.4 C. D.6【答案】B【解析】由題可得：，，，所以，當且僅當即時取等號，故的最小值為4.故選：B.8.已知正項數(shù)列滿足，若，則（）A. B.10 C. D.5【答案】B【解析】因為，當時，，兩式相減得：，，當時，，，又，解得.故選：B.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知事件，發(fā)生的概率分別為，，則下列說法正確的是（）A.若與互斥，則B.若與相互獨立，則C.若與相互獨立，則D.若發(fā)生時一定發(fā)生，則【答案】ABC【解析】選項A：與互斥，則，正確；選項B：與相互獨立，所以，從而，正確；選項C：，正確；選項D：發(fā)生時一定發(fā)生，則，，不正確.故選：ABC.10.雙曲線的左、右焦點分別為，.若點是關(guān)于的一條漸近線的對稱點，且恰在另一條漸近線上，則（）A.雙曲線的漸近線方程為B.雙曲線的離心率為C.的面積為D.若為雙曲線上的一動點，則到兩條漸近線的距離之積為定值【答案】CD【解析】對于選項A，因為點是關(guān)于的一條漸近線的對稱點，且恰在另一條漸近線上，可知，則漸近線的傾斜角分別為，，所以雙曲線的漸近線方程為，故A錯誤；對于選項B，由選項A可知，所以雙曲線的離心率為，故B錯誤；對于選項C，因為，且，可知，且，在中，可得，，所以的面積為，故C正確；對于選項D，由及，得，，則雙曲線的方程為.設(shè)Px0,所以到兩條漸近線的距離之積為，故D正確；故選：CD.11.已知等比數(shù)列的首項，公比為，前項和為，前項積為，則（）A.若數(shù)列是遞增數(shù)列，則B.當時，數(shù)列是常數(shù)列C.當時，存在實數(shù)，使得恒成立D.若，則使得成立的的最大值為10【答案】ACD【解析】A：若數(shù)列是遞增數(shù)列，則當時，，因為，所以，故A正確；B：，因為，所以數(shù)列不是常數(shù)列，故B錯誤；C：因為當時，，故存在，使得恒成立，故C正確；D：因為，若，則，，所以，所以，，，，所以，，則使得成立的的最大值為10，故D正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，，則向量在向量上的投影向量的坐標為______.【答案】【解析】向量在向量上的投影向量的坐標為.13.圓錐的底面積為，其母線長為，則該圓錐的體積為______.【答案】【解析】圓錐的母線長為，底面半徑長為，又，解得，故高，可得圓錐的體積為.14.設(shè)拋物線的焦點為，直線與的一個交點為，，直線與的另一個交點為，則________.【答案】【解析】聯(lián)立消可得，解得或，即直線與拋物線的交點為或，∵，∴，又，直線：，即，聯(lián)立，消可得，解得或，則，此時.四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求平面和平面所成的夾角的余弦值.（1）證明：連接，因為底面，底面是矩形，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，P0,0,1，，，所以，，，因為，，所以，，又，、平面，所以平面（2）解：由（1）知平面的一個法向量為，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則有，令，則，，故，所以，所以平面和平面所成夾角的余弦值為.16.一個圓切直線于點，且圓心在直線上.（1）求該圓的方程；（2）過直線上一點引圓兩條切線，切點分別為，，求四邊形面積的最小值.解：（1）設(shè)圓心坐標為，則設(shè)過點的半徑所在的直線為，代入，可得，由解得所以.所以，所以圓的方程為.（2）因為到直線的距離為，所以直線與圓相離，由題意四邊形面積為，可得，當與直線垂直時，最小，四邊形面積最小.由.所以四邊形面積的最小值為.17.設(shè)中的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若，，三邊成等比數(shù)列，角的角平分線交于點，且，求的面積.解：（1）因為，由正弦定理得，所以，所以即，即，因為，所以，故，即，因為，所以，故.（2）∵，，三邊成等比數(shù)列，所以，①.∵，是的平分線，∴，又，∴，化簡得：②.由余弦定理得，將①②代入上式可得：，∴.18.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，首項，且，數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，則，，于是數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，而，即，解得，因此；由數(shù)列的前項和，當時，，即，當時，，解得，因此數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，，所以數(shù)列和的通項公式分別為，.（2）由（1）知，，，則有，兩式相減得，所以.19.已知和為橢圓上兩點.（1）求橢圓的離心率；（2）過點的直線與橢圓交于、兩點（、不在軸上）.（i）若的面積為，求直線的方程；（ii）直線和分別與軸交于、兩點，求證：為定值.解：（1）由、可知，，則，所以，即橢圓的離心率為.（2）由（1）可知橢圓的方程為，（i）如圖，設(shè)、，若與軸重合，不合乎題意，設(shè)過點的直線的方程為，聯(lián)立聯(lián)立得：，所以，，，得，所以，所以直線的方程為.（ii）由（i）可知，，，直線的方程為，令，得，直線的方程為，令，得，，所以為定值.云南省大理白族自治州大理市2024-2025學年高二上學期1月期末教學質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷第I卷（選擇題，共58分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】，，所以.故選：C.2.若，則復數(shù)對應(yīng)的點位于第（）象限.A.一 B.二C.三 D.四【答案】C【解析】易知，由可得，可知對應(yīng)點在第三象限，故選：C.3.已知函數(shù)，，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，則，解得，所以“”是“函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.故選：B.4.甲同學近10次數(shù)學考試成績情況如下：103，106，113，119，123，118，134，118，125，121，則甲同學這10次數(shù)學考試成績的第25百分位數(shù)是（）A.113 B.109.5C.106 D.103【答案】A【解析】已知數(shù)據(jù)按從小到大排列為：103，106，113，118，118，119，121，123，125，134，因為，因此第25百分位數(shù)是第3個數(shù)113，故選：A.5.已知數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題得，即，則，故選：A.6.已知，則（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】因為，所以，解得，所以，故選：D.7.設(shè)，，，則的最小值為（）A. B.4 C. D.6【答案】B【解析】由題可得：，，，所以，當且僅當即時取等號，故的最小值為4.故選：B.8.已知正項數(shù)列滿足，若，則（）A. B.10 C. D.5【答案】B【解析】因為，當時，，兩式相減得：，，當時，，，又，解得.故選：B.二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.已知事件，發(fā)生的概率分別為，，則下列說法正確的是（）A.若與互斥，則B.若與相互獨立，則C.若與相互獨立，則D.若發(fā)生時一定發(fā)生，則【答案】ABC【解析】選項A：與互斥，則，正確；選項B：與相互獨立，所以，從而，正確；選項C：，正確；選項D：發(fā)生時一定發(fā)生，則，，不正確.故選：ABC.10.雙曲線的左、右焦點分別為，.若點是關(guān)于的一條漸近線的對稱點，且恰在另一條漸近線上，則（）A.雙曲線的漸近線方程為B.雙曲線的離心率為C.的面積為D.若為雙曲線上的一動點，則到兩條漸近線的距離之積為定值【答案】CD【解析】對于選項A，因為點是關(guān)于的一條漸近線的對稱點，且恰在另一條漸近線上，可知，則漸近線的傾斜角分別為，，所以雙曲線的漸近線方程為，故A錯誤；對于選項B，由選項A可知，所以雙曲線的離心率為，故B錯誤；對于選項C，因為，且，可知，且，在中，可得，，所以的面積為，故C正確；對于選項D，由及，得，，則雙曲線的方程為.設(shè)Px0,所以到兩條漸近線的距離之積為，故D正確；故選：CD.11.已知等比數(shù)列的首項，公比為，前項和為，前項積為，則（）A.若數(shù)列是遞增數(shù)列，則B.當時，數(shù)列是常數(shù)列C.當時，存在實數(shù)，使得恒成立D.若，則使得成立的的最大值為10【答案】ACD【解析】A：若數(shù)列是遞增數(shù)列，則當時，，因為，所以，故A正確；B：，因為，所以數(shù)列不是常數(shù)列，故B錯誤；C：因為當時，，故存在，使得恒成立，故C正確；D：因為，若，則，，所以，所以，，，，所以，，則使得成立的的最大值為10，故D正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題，共92分）三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.已知，，則向量在向量上的投影向量的坐標為______.【答案】【解析】向量在向量上的投影向量的坐標為.13.圓錐的底面積為，其母線長為，則該圓錐的體積為______.【答案】【解析】圓錐的母線長為，底面半徑長為，又，解得，故高，可得圓錐的體積為.14.設(shè)拋物線的焦點為，直線與的一個交點為，，直線與的另一個交點為，則________.【答案】【解析】聯(lián)立消可得，解得或，即直線與拋物線的交點為或，∵，∴，又，直線：，即，聯(lián)立，消可得，解得或，則，此時.四、解答題（共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求平面和平面所成的夾角的余弦值.（1）證明：連接，因為底面，底面是矩形，以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系如圖所示，則，，，P0,0,1，，，所以，，，因為，，所以，，又，、平面，所以平面（2）解：由（1）知平面的一個法向量為，，，設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則有，令，則，，故，所以，所以平面和平面所成夾角的余弦值為.16.一個圓切直線于點，且圓心在直線上.（1）求該圓的方程；（2）過直線上一點引圓兩條切線，切點分別為，，求四邊形面積的最小值.解：（1）設(shè)圓心坐標為，則設(shè)過點的半徑所在的直線為，代入，可得，由解得所以.所以，所以圓的方程為.（2）因為到直線的距離為，所以直線與圓相離，由題意四邊形面積為，可得，當與直線垂直時，最小，四邊形面積最小.由.所以四邊形面積的最小值為.17.設(shè)中的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.（1）求角；（2）若，，三邊成等比數(shù)列，角的角平分線交于點，且，求的面積.解：（1）因為，由正弦定理得，所以，所以即，即，因為，所以，故，即，因為，所以，故.（2）∵，，三邊成等比數(shù)列，所以，①.∵，是的平分線，∴，又，∴，化簡得：②.由余弦定理得，將①②代入上式可得：，∴.18.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，首項，且，數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列公差為，則，，于是數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，而，即，解得，因此；由數(shù)列的前項和，當時，，即，當時，，解得，