高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市紅橋區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某校選修乒乓球課程的學(xué)生中，高一年級(jí)有30名，高二年級(jí)有40名．現(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了6名，則在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】B【解析】根據(jù)題意，由分層抽樣知識(shí)可得：在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為：，故選B．2.從含有質(zhì)地均勻且大小相同的2個(gè)紅球、n個(gè)白球的口袋中隨機(jī)取出一球，若取得紅球的概率是，則取得白球的概率等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵取得紅球與取得白球?yàn)閷?duì)立事件，∴取得白球的概率P＝.故選：C.3.從某學(xué)校高二年級(jí)隨機(jī)抽取10名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)能力測(cè)試，測(cè)試成績(jī)?yōu)?，設(shè)學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)分別為，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】平均數(shù)，數(shù)據(jù)從小到大排列為：，第五個(gè)數(shù)為79，第六個(gè)數(shù)為81，所以中位數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的是眾數(shù)，所以眾數(shù)，所以.故選：C.4.有一個(gè)人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對(duì)立事件是（）.A.至多有1次中靶 B.2次都中靶C.2次都不中靶 D.只有1次中靶【答案】C【解析】根據(jù)對(duì)立事件的概念，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對(duì)立事件是“2次都不中靶”.故選：C.5.某商場(chǎng)在今年端午節(jié)的促銷(xiāo)活動(dòng)中，對(duì)6月9日時(shí)至14時(shí)的銷(xiāo)售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示，已知9時(shí)至10時(shí)的銷(xiāo)售額為3萬(wàn)元，則11時(shí)至12時(shí)的銷(xiāo)售額為（）A.萬(wàn)元 B.萬(wàn)元 C.萬(wàn)元 D.萬(wàn)元【答案】C【解析】由頻率分布直方圖知，9時(shí)至10時(shí)的銷(xiāo)售額的頻率為0.1，故銷(xiāo)售總額為（萬(wàn)元），又11時(shí)至12時(shí)的銷(xiāo)售額的頻率為0.4，故銷(xiāo)售額為萬(wàn)元．6.在數(shù)列中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，則，，，.故選：A.7.已知為公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列，則的前n項(xiàng)和，（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)公差為，根據(jù)題意有：，所以.故選：A.8.已知數(shù)列為各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為，∵，∴當(dāng)時(shí)，，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴．故選：D．9.將數(shù)字，，，填入標(biāo)號(hào)為，，，的四個(gè)方格中，每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均互不相同的填法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】第一步：先把數(shù)字填入方格中，符合條件的有種方法，第二步：把第一步中數(shù)字填入的方格的序號(hào)所對(duì)應(yīng)數(shù)字填入剩下的三個(gè)方格其中之一，又有種方法，第三步：填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有種填法，共有種填法.故選：B.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.10.已知為等差數(shù)列，若，則______.【答案】6【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，則，則.11.已知為等比數(shù)列，若，，則______.【答案】【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以12.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯同一份密碼，已知各人能成功破譯的概率分別是，，則該密碼被成功破譯的概率為_(kāi)_____．【答案】【解析】根據(jù)題意，甲乙兩人能成功破譯的概率分別是，，則密碼沒(méi)有被破譯，即甲乙都沒(méi)有成功破譯密碼概率，故該密碼被成功破譯的概率．13.在展開(kāi)式中，的系數(shù)是__________．【答案】160【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以的系數(shù)是.14.觀察下列各式：……照此規(guī)律，當(dāng)nN時(shí)，______________.【答案】【解析】由已知等式觀察知：第一個(gè)式子，左邊一項(xiàng)，下標(biāo)為,上標(biāo)為，右邊為；第二個(gè)式子，左邊兩項(xiàng)，下標(biāo)為,上標(biāo)依次為，右邊為；第三個(gè)式子，左邊三項(xiàng)，下標(biāo)為,上標(biāo)依次為，右邊為；第四個(gè)式子，左邊四項(xiàng)，下標(biāo)為,上標(biāo)依次為，右邊為；……照此規(guī)律，當(dāng)時(shí),,.15.某學(xué)校準(zhǔn)備組建一個(gè)18人的足球隊(duì)，這18人由高二年級(jí)十個(gè)班的學(xué)生組成，每個(gè)班至少一人，名額分配方案共______種(用數(shù)字填寫(xiě)).【答案】24310【解析】構(gòu)成一個(gè)隔板模型，取18個(gè)棋子排成一排，在相鄰的每?jī)蓚€(gè)棋子形成的17個(gè)間隙中選取9個(gè)插入隔板，這樣就把18個(gè)元素分成10個(gè)區(qū)間，第個(gè)區(qū)間的棋子個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)第個(gè)班級(jí)的學(xué)生名額，因此，名額分配方案的種數(shù)與隔板插入數(shù)相等，因隔板插入數(shù)為，所以名額分配方案共有24310種.三、解答題：本大題共4個(gè)小題，共40分.解答寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16.已知展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64.（1）求n的值；（2）若展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為20，求m的值.解：（1）因?yàn)檎归_(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以；（2）因?yàn)檎归_(kāi)式中的通項(xiàng)公式為，整理得，令，得，則，解得.17.已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)的和為64，是公比大于0的等比數(shù)列，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.解：（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差，且，所以，解得，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，即，解?舍去)，或，所以.（2）由（1）得，所以.18.已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為；（3）若的前項(xiàng)和為，求證：.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，可得，又因?yàn)椋獾?，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋傻茫獾?，所?（2）因?yàn)?，所以，則，兩式作差得：，則，整理.（3）因?yàn)榈那绊?xiàng)和，則，，又，所以.19.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，.（1）求的值；（2）求證：為等差數(shù)列；（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有.（1）解：因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，又，所以；（2）證明：因?yàn)?，，所以①，所以?dāng)時(shí)，②，由①-②，得，因?yàn)?，所以，所以（），又滿(mǎn)足（），所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列；（3）證明：由（2）知，所以，①當(dāng)時(shí)，，原不等式成立，②時(shí)，，所以原不等式成立，③當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，所以原不等式成立，綜上，對(duì)一切正整數(shù)n，有.天津市紅橋區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.某校選修乒乓球課程的學(xué)生中，高一年級(jí)有30名，高二年級(jí)有40名．現(xiàn)用分層抽樣的方法在這70名學(xué)生中抽取一個(gè)樣本，已知在高一年級(jí)的學(xué)生中抽取了6名，則在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為（）A.6 B.8 C.10 D.12【答案】B【解析】根據(jù)題意，由分層抽樣知識(shí)可得：在高二年級(jí)的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為：，故選B．2.從含有質(zhì)地均勻且大小相同的2個(gè)紅球、n個(gè)白球的口袋中隨機(jī)取出一球，若取得紅球的概率是，則取得白球的概率等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】∵取得紅球與取得白球?yàn)閷?duì)立事件，∴取得白球的概率P＝.故選：C.3.從某學(xué)校高二年級(jí)隨機(jī)抽取10名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)能力測(cè)試，測(cè)試成績(jī)?yōu)?，設(shè)學(xué)生測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)分別為，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】平均數(shù)，數(shù)據(jù)從小到大排列為：，第五個(gè)數(shù)為79，第六個(gè)數(shù)為81，所以中位數(shù)，出現(xiàn)次數(shù)最多的是眾數(shù)，所以眾數(shù)，所以.故選：C.4.有一個(gè)人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對(duì)立事件是（）.A.至多有1次中靶 B.2次都中靶C.2次都不中靶 D.只有1次中靶【答案】C【解析】根據(jù)對(duì)立事件的概念，連續(xù)射擊2次，事件“至少有1次中靶”的對(duì)立事件是“2次都不中靶”.故選：C.5.某商場(chǎng)在今年端午節(jié)的促銷(xiāo)活動(dòng)中，對(duì)6月9日時(shí)至14時(shí)的銷(xiāo)售額進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示，已知9時(shí)至10時(shí)的銷(xiāo)售額為3萬(wàn)元，則11時(shí)至12時(shí)的銷(xiāo)售額為（）A.萬(wàn)元 B.萬(wàn)元 C.萬(wàn)元 D.萬(wàn)元【答案】C【解析】由頻率分布直方圖知，9時(shí)至10時(shí)的銷(xiāo)售額的頻率為0.1，故銷(xiāo)售總額為（萬(wàn)元），又11時(shí)至12時(shí)的銷(xiāo)售額的頻率為0.4，故銷(xiāo)售額為萬(wàn)元．6.在數(shù)列中，，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，則，，，.故選：A.7.已知為公差不為0的等差數(shù)列，，且成等比數(shù)列，則的前n項(xiàng)和，（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)公差為，根據(jù)題意有：，所以.故選：A.8.已知數(shù)列為各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（）A.4 B.8 C.12 D.16【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為，∵，∴當(dāng)時(shí)，，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴．故選：D．9.將數(shù)字，，，填入標(biāo)號(hào)為，，，的四個(gè)方格中，每格填一個(gè)數(shù)字，則每個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均互不相同的填法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】第一步：先把數(shù)字填入方格中，符合條件的有種方法，第二步：把第一步中數(shù)字填入的方格的序號(hào)所對(duì)應(yīng)數(shù)字填入剩下的三個(gè)方格其中之一，又有種方法，第三步：填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有種填法，共有種填法.故選：B.第Ⅱ卷二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分.10.已知為等差數(shù)列，若，則______.【答案】6【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，則，則.11.已知為等比數(shù)列，若，，則______.【答案】【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以12.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯同一份密碼，已知各人能成功破譯的概率分別是，，則該密碼被成功破譯的概率為_(kāi)_____．【答案】【解析】根據(jù)題意，甲乙兩人能成功破譯的概率分別是，，則密碼沒(méi)有被破譯，即甲乙都沒(méi)有成功破譯密碼概率，故該密碼被成功破譯的概率．13.在展開(kāi)式中，的系數(shù)是__________．【答案】160【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以的系數(shù)是.14.觀察下列各式：……照此規(guī)律，當(dāng)nN時(shí)，______________.【答案】【解析】由已知等式觀察知：第一個(gè)式子，左邊一項(xiàng)，下標(biāo)為,上標(biāo)為，右邊為；第二個(gè)式子，左邊兩項(xiàng)，下標(biāo)為,上標(biāo)依次為，右邊為；第三個(gè)式子，左邊三項(xiàng)，下標(biāo)為,上標(biāo)依次為，右邊為；第四個(gè)式子，左邊四項(xiàng)，下標(biāo)為,上標(biāo)依次為，右邊為；……照此規(guī)律，當(dāng)時(shí),,.15.某學(xué)校準(zhǔn)備組建一個(gè)18人的足球隊(duì)，這18人由高二年級(jí)十個(gè)班的學(xué)生組成，每個(gè)班至少一人，名額分配方案共______種(用數(shù)字填寫(xiě)).【答案】24310【解析】構(gòu)成一個(gè)隔板模型，取18個(gè)棋子排成一排，在相鄰的每?jī)蓚€(gè)棋子形成的17個(gè)間隙中選取9個(gè)插入隔板，這樣就把18個(gè)元素分成10個(gè)區(qū)間，第個(gè)區(qū)間的棋子個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)第個(gè)班級(jí)的學(xué)生名額，因此，名額分配方案的種數(shù)與隔板插入數(shù)相等，因隔板插入數(shù)為，所以名額分配方案共有24310種.三、解答題：本大題共4個(gè)小題，共40分.解答寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16.已知展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64.（1）求n的值；（2）若展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為20，求m的值.解：（1）因?yàn)檎归_(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，所以；（2）因?yàn)檎归_(kāi)式中的通項(xiàng)公式為，整理得，令，得，則，解得.17.已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項(xiàng)的和為64，是公比大于0的等比數(shù)列，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.解：（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差，且，所以，解得，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，即，解?舍去)，或，所以.（2）由（1）得，所以.18.已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為；（3）若的前項(xiàng)和為，求證：.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，解得，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，可得，解得，所?（2）因