高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省眉山市仁壽縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（共40分）1.設(shè)向量，，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由，得，∵，，∴，解得，故選：D.2.直線的一個方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直線的斜率，所以直線的一個方向向量為，故選：A.3.已知直線與直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.4.如圖，三個元件正常工作的概率均為，且是相互獨立的，將它們接入電路中，則電路不發(fā)生故障的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記正常工作為事件，正常工作為事件，記正常工作為事件，則，電路不發(fā)生故障，即正常工作且，至少有一個正常工作，、不發(fā)生故障即，至少有一個正常工作的概率，所以整個電路不發(fā)生故障的概率為.故選：C.5.七巧板是中國民間流傳的智力玩具，已基本定型為由下面七塊板組成；五塊等腰直角三角形（其中兩塊小型三角形、一塊中型三角形和兩塊大型三角形），一塊正方形和一塊平行四邊形．可以拼成人物、動物、植物、房亭，樓閣等種以上圖案，現(xiàn)從七巧板的五塊三角形中任意取出兩塊；則兩塊板恰好是全等三角形的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對五塊三角形進(jìn)行編號，記兩塊小型三角形為，一塊中型三角形為，兩塊大型三角形為，從五塊三角形中任意取出兩塊，則樣本空間為：，共有個樣本點，則兩塊板恰好是全等三角形的樣本點有：，共個，所以兩塊板恰好是全等三角形的概率為：.故選：D.6.已知直線與圓相交于，兩點，當(dāng)面積最大時，實數(shù)的值為（）A.1或 B.或 C.或 D.或【答案】A【解析】的圓心為，半徑為1，圓心到直線的距離，故，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即，解得.故選：A.7.如圖，在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點，則直線EF到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以D為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，由于，則，又平面，故平面，則直線EF到平面的距離即為點E到平面的距離，又,設(shè)點E到平面的距離為d，即得,即直線EF到平面的距離為，故選：B.8.若點在圓外，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得：，則，即，①又在圓外，可得：，解得：或，②由①②取交集可知，實數(shù)的取值范圍是，故選：C.二、多選題（共18分）9.設(shè)為兩個隨機(jī)事件，以下命題正確的是（）A.若與對立，則B.若與互斥，，則C.若，且，則與相互獨立D.若與相互獨立，，則【答案】BD【解析】對于A，若與對立，則，故A錯誤；對于B，與互斥，則，故B正確；對于C，因為，故，故，故與不相互獨立，故C錯誤；對于D，因，所以，而與相互獨立，故與相互獨立，故，故D正確.故選：BD.10.若直線與曲線恰有一個交點，則k的值可能為（）A.0 B. C.2 D.【答案】BD【解析】直線恒過定點，由可得，如圖，由解得或（舍去），即,由，可得,由圖可知，或時，直線與半圓恰有1個交點.故選：BD.11.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，則（）A. B.C.平面 D.異面直線與夾角的余弦值為【答案】ACD【解析】因為平面平面，所以，在正方形中，有，所以兩兩互相垂直，所以以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，而，從而A0,0,0，，，對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，平面的一個法向量為，故C正確；對于D，，所以異面直線與夾角的余弦值為，故D正確．故選：ACD．第II卷（非選擇題）三、填空題（共15分）12.在和兩個集合中各取一個數(shù)組成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)能被4整除的概率是__.【答案】【解析】滿足題意的所有兩位數(shù)有，共15個.其中能被4整除的兩位數(shù)有，共5個.所以概率.13.過點且與圓：相切的直線方程為__________【答案】或【解析】將圓方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心，半徑為，當(dāng)過點的直線斜率不存在時，直線方程為是圓的切線，滿足題意；當(dāng)過點的直線斜率存在時，可設(shè)直線方程為，即，利用圓心到直線的距離等于半徑得，解得，即此直線方程為，故答案為：或．14.如圖，已知點是圓臺的上底面圓上的動點，在下底面圓上，，，，，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為________.【答案】【解析】連接，過點作垂直于的延長線于點，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：在三角形中，因為，故，則，則，，故點，又，，，設(shè)點，，由，可得，，，設(shè)平面的法向量m=x,y,z則，即，取，則，故平面的法向量，又，設(shè)直線與平面所成角為，，則，因為，且，故令，，，則，，，又，所以，，即，所以的最大值為.四、解答題（共77分）15.已知三角形ABC的頂點坐標(biāo)為．（1）求過點C且與邊AB平行的直線方程；（2）求AB邊上的高所在的直線方程．解：（1）因為，由直線的點斜式方程可得，化簡可得.（2）由（1）可知，，則AB邊上的高所在的直線斜率為，由直線的點斜式方程可得，化簡可得.16.已知直線和圓．（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；若相交，求直線被圓截得的弦長；（2）求過點且與圓相切的直線方程．解：（1）由圓可得，圓心,半徑，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交，直線被圓截得的弦長為.（2）若過點的直線斜率不出在，則方程為，此時圓心到直線的距離為，滿足題意；若過點且與圓相切的直線斜率存在，則設(shè)切線方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，所以切線方程為，即，綜上，過點且與圓相切的直線方程為或.17.甲?乙?丙三人玩“剪刀?石頭?布”游戲（剪刀贏布，布贏石頭，石頭贏剪刀），規(guī)定每局中：①三人出現(xiàn)同一種手勢，每人各得1分；②三人出現(xiàn)兩種手勢，贏者得2分，輸者負(fù)1分；③三人出現(xiàn)三種手勢均得0分.當(dāng)有人累計得3分及以上時，游戲結(jié)束，得分最高者獲勝，已知三人之間及每局游戲互不受影響.（1）求甲在一局中得2分的概率；（2）求游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率；解：（1）根據(jù)題意，畫出樹狀圖，如圖：所以每局中共有種情況，其中甲在一局中得2分的情況有（出手勢順序按甲乙丙）：（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、（石頭、石頭、剪刀）、（石頭、剪刀、石頭）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、布、石頭）、（布、石頭、布）、（布、石頭、石頭）、一共有9種情況，所以甲在一局中得2分的概率.（2）游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的情況有2種：①第一局甲得2分，第二局甲得1分：則乙第一局得負(fù)1分，第二局得1分；則丙第一局得負(fù)1分，第二局得1分；由（1）中樹狀圖可知滿足情況有：第一局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）此時概率為種情況，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，則第一局乙丙得1分，第二局乙丙得負(fù)1分，則乙第一局得1分，第二局得負(fù)1分；則丙第一局得1分，第二局得負(fù)1分；由（1）中樹狀圖可知滿足情況有：第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）第二局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、此時概率為，綜上所述：游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率.18.如圖，在平行六面體中，平面ABCD，，，（1）求證：；（2）求三棱錐的體積；（3）線段上是否存在點E，使得平面EBD與平面的夾角為?若存在，求的長；若不存在，請說明理由.（1）證明：解法一：因為⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，，所以，，因為，所以，又因為，.所以，化簡得.所以，所以.解法二：在平面ABCD內(nèi)過點D作AB的垂線，垂足為H，以D為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)，則，所以，，由得，所以，又因，所以，解得，所以，，，，所以，所以.解法三：在平面ABCD中，過B作DC的垂線，垂足為G，連結(jié)交于F.因為平面ABCD，平面ABCD，所以，因為，平面，所以平面，又因為平面，所以，因為，，平面，所以平面，因為平面，所以，則，所以，所以，，在中，，，，所以，在中，，，所以，在中，，，，所以，所以，所以.（2）解：因為，由（1）知，所以，過作于H，則.因為直棱柱中平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面，所以.（3）解：解法一：假設(shè)存在點E滿足條件，因⊥平面ABCD，，所以以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，，，，，設(shè)，則，設(shè)平面EBD的一個法向量為，由，得，令，得，所以.設(shè)平面的一個法向量，由，得，令，得，所以.所以，因為平面EBD與平面的夾角為，即，解得，又因為，所以舍去，所以線段上不存在點E使得平面EBD與平面的夾角為.解法二：由（1）解法二得平面的一個法向量為，假設(shè)存在E點滿足條件，設(shè)，則設(shè)平面EBD的一個法向量為，由，得，令，則，所以.所以，因為平面EBD與平面夾角為，即，解得.又因為，所以舍去，所以線段上不存在點E使得平面EBD與平面的夾角為.19.已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是，端點A的運動軌跡是曲線C，線段AB的中點M的軌跡方程是.（1）求曲線C的方程；（2）已知斜率為k的直線l與曲線C相交于兩點E，F(xiàn)（異于原點O），直線OE，OF的斜率分別為，且，①證明：直線l過定點P，并求出點P的坐標(biāo)；②若，D為垂足，證明：存在定點Q，使得為定值.（1）解：設(shè)，，由中點坐標(biāo)公式得，由題意可知，，所以，整理得到曲線的方程為；（2）①解：設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立，得，所以，即，所以，，所以，，所以且，所以直線的方程為，即直線過定點；②證明：如圖所示：因為為定值，且于點，所以為直角三角形，為斜邊，所以當(dāng)點是的中點時，此時為定值，因為，，所以由中點坐標(biāo)公式得，所以存在定點，使得為定值.四川省眉山市仁壽縣2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（共40分）1.設(shè)向量，，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】由，得，∵，，∴，解得，故選：D.2.直線的一個方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直線的斜率，所以直線的一個方向向量為，故選：A.3.已知直線與直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A.4.如圖，三個元件正常工作的概率均為，且是相互獨立的，將它們接入電路中，則電路不發(fā)生故障的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記正常工作為事件，正常工作為事件，記正常工作為事件，則，電路不發(fā)生故障，即正常工作且，至少有一個正常工作，、不發(fā)生故障即，至少有一個正常工作的概率，所以整個電路不發(fā)生故障的概率為.故選：C.5.七巧板是中國民間流傳的智力玩具，已基本定型為由下面七塊板組成；五塊等腰直角三角形（其中兩塊小型三角形、一塊中型三角形和兩塊大型三角形），一塊正方形和一塊平行四邊形．可以拼成人物、動物、植物、房亭，樓閣等種以上圖案，現(xiàn)從七巧板的五塊三角形中任意取出兩塊；則兩塊板恰好是全等三角形的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】對五塊三角形進(jìn)行編號，記兩塊小型三角形為，一塊中型三角形為，兩塊大型三角形為，從五塊三角形中任意取出兩塊，則樣本空間為：，共有個樣本點，則兩塊板恰好是全等三角形的樣本點有：，共個，所以兩塊板恰好是全等三角形的概率為：.故選：D.6.已知直線與圓相交于，兩點，當(dāng)面積最大時，實數(shù)的值為（）A.1或 B.或 C.或 D.或【答案】A【解析】的圓心為，半徑為1，圓心到直線的距離，故，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，即，解得.故選：A.7.如圖，在棱長為1的正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點，則直線EF到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】以D為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，由于，則，又平面，故平面，則直線EF到平面的距離即為點E到平面的距離，又,設(shè)點E到平面的距離為d，即得,即直線EF到平面的距離為，故選：B.8.若點在圓外，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得：，則，即，①又在圓外，可得：，解得：或，②由①②取交集可知，實數(shù)的取值范圍是，故選：C.二、多選題（共18分）9.設(shè)為兩個隨機(jī)事件，以下命題正確的是（）A.若與對立，則B.若與互斥，，則C.若，且，則與相互獨立D.若與相互獨立，，則【答案】BD【解析】對于A，若與對立，則，故A錯誤；對于B，與互斥，則，故B正確；對于C，因為，故，故，故與不相互獨立，故C錯誤；對于D，因，所以，而與相互獨立，故與相互獨立，故，故D正確.故選：BD.10.若直線與曲線恰有一個交點，則k的值可能為（）A.0 B. C.2 D.【答案】BD【解析】直線恒過定點，由可得，如圖，由解得或（舍去），即,由，可得,由圖可知，或時，直線與半圓恰有1個交點.故選：BD.11.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，則（）A. B.C.平面 D.異面直線與夾角的余弦值為【答案】ACD【解析】因為平面平面，所以，在正方形中，有，所以兩兩互相垂直，所以以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，而，從而A0,0,0，，，對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，平面的一個法向量為，故C正確；對于D，，所以異面直線與夾角的余弦值為，故D正確．故選：ACD．第II卷（非選擇題）三、填空題（共15分）12.在和兩個集合中各取一個數(shù)組成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)能被4整除的概率是__.【答案】【解析】滿足題意的所有兩位數(shù)有，共15個.其中能被4整除的兩位數(shù)有，共5個.所以概率.13.過點且與圓：相切的直線方程為__________【答案】或【解析】將圓方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得圓心，半徑為，當(dāng)過點的直線斜率不存在時，直線方程為是圓的切線，滿足題意；當(dāng)過點的直線斜率存在時，可設(shè)直線方程為，即，利用圓心到直線的距離等于半徑得，解得，即此直線方程為，故答案為：或．14.如圖，已知點是圓臺的上底面圓上的動點，在下底面圓上，，，，，則直線與平面所成角的正弦值的最大值為________.【答案】【解析】連接，過點作垂直于的延長線于點，以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如下所示：在三角形中，因為，故，則，則，，故點，又，，，設(shè)點，，由，可得，，，設(shè)平面的法向量m=x,y,z則，即，取，則，故平面的法向量，又，設(shè)直線與平面所成角為，，則，因為，且，故令，，，則，，，又，所以，，即，所以的最大值為.四、解答題（共77分）15.已知三角形ABC的頂點坐標(biāo)為．（1）求過點C且與邊AB平行的直線方程；（2）求AB邊上的高所在的直線方程．解：（1）因為，由直線的點斜式方程可得，化簡可得.（2）由（1）可知，，則AB邊上的高所在的直線斜率為，由直線的點斜式方程可得，化簡可得.16.已知直線和圓．（1）判斷直線與圓的位置關(guān)系；若相交，求直線被圓截得的弦長；（2）求過點且與圓相切的直線方程．解：（1）由圓可得，圓心,半徑，圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交，直線被圓截得的弦長為.（2）若過點的直線斜率不出在，則方程為，此時圓心到直線的距離為，滿足題意；若過點且與圓相切的直線斜率存在，則設(shè)切線方程為，即，則圓心到直線的距離為，解得，所以切線方程為，即，綜上，過點且與圓相切的直線方程為或.17.甲?乙?丙三人玩“剪刀?石頭?布”游戲（剪刀贏布，布贏石頭，石頭贏剪刀），規(guī)定每局中：①三人出現(xiàn)同一種手勢，每人各得1分；②三人出現(xiàn)兩種手勢，贏者得2分，輸者負(fù)1分；③三人出現(xiàn)三種手勢均得0分.當(dāng)有人累計得3分及以上時，游戲結(jié)束，得分最高者獲勝，已知三人之間及每局游戲互不受影響.（1）求甲在一局中得2分的概率；（2）求游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率；解：（1）根據(jù)題意，畫出樹狀圖，如圖：所以每局中共有種情況，其中甲在一局中得2分的情況有（出手勢順序按甲乙丙）：（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、（石頭、石頭、剪刀）、（石頭、剪刀、石頭）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、布、石頭）、（布、石頭、布）、（布、石頭、石頭）、一共有9種情況，所以甲在一局中得2分的概率.（2）游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的情況有2種：①第一局甲得2分，第二局甲得1分：則乙第一局得負(fù)1分，第二局得1分；則丙第一局得負(fù)1分，第二局得1分；由（1）中樹狀圖可知滿足情況有：第一局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）此時概率為種情況，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，則第一局乙丙得1分，第二局乙丙得負(fù)1分，則乙第一局得1分，第二局得負(fù)1分；則丙第一局得1分，第二局得負(fù)1分；由（1）中樹狀圖可知滿足情況有：第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石頭、石頭、石頭）第二局：（剪刀、布、布）、（石頭、剪刀、剪刀）、（布、石頭、石頭）、此時概率為，綜上所述：游戲經(jīng)過兩局后甲恰得3分且為唯一獲勝者的概率.18.如圖，在平行六面體中，平面ABCD，，，（1）求證：；（2）求三棱錐的體積；（3）線段上是否存在點E，使得平面EBD與平面的夾角為?若存在，求的長；若不存在，請說明理由.（1）證明：解法一：因為⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，，所以，，因為，所以，又因為，.所以，化簡得.所以，所以.解法二：在平面ABCD內(nèi)過點D作AB的垂線，垂足為H，以D為原點，建立如圖所示空間直