統(tǒng)計與決策在科技發(fā)展中的應(yīng)用，大學期末考試試題型考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述描述統(tǒng)計在科技研究中的作用，并列舉至少三種常用的描述統(tǒng)計量及其在科技數(shù)據(jù)分析中的具體應(yīng)用場景。二、假設(shè)某科技公司研發(fā)了兩種新型材料A和B，為了比較兩種材料的抗拉強度，隨機抽取了10組樣本進行測試，得到如下數(shù)據(jù)（單位：MPa）：材料A：85,88,82,86,87,84,90,83,86,85材料B：80,83,78,82,81,79,84,80,83,78請計算兩種材料的樣本均值、樣本方差和樣本標準差，并基于這些計算結(jié)果，初步判斷哪種材料的抗拉強度表現(xiàn)更穩(wěn)定。三、某醫(yī)生想要評估一種新藥X治療某種疾病的療效。他設(shè)計了以下試驗：選取100名患者，其中50名隨機分配接受新藥X治療（處理組），另外50名接受安慰劑治療（對照組）。一個月后，記錄每位患者的康復(fù)情況（康復(fù)/未康復(fù)）。試驗結(jié)果如下：處理組：康復(fù)45人，未康復(fù)5人對照組：康復(fù)30人，未康復(fù)20人請使用適當?shù)慕y(tǒng)計方法，檢驗新藥X是否比安慰劑在治療該疾病方面具有顯著療效。在檢驗過程中，需要說明假設(shè)檢驗的步驟，包括提出零假設(shè)和備擇假設(shè)、選擇檢驗方法及顯著性水平、計算檢驗統(tǒng)計量、確定P值并做出統(tǒng)計決策。同時，請解釋你的結(jié)論在醫(yī)學實踐中的含義。四、某科研項目的成功與否取決于三個關(guān)鍵因素：資金投入（X1，單位：百萬元）、研發(fā)人員數(shù)量（X2，單位：人）、研發(fā)時間（X3，單位：月）。通過收集過去10個類似項目的數(shù)據(jù)，得到了項目的成功指標（Y，成功為1，失敗為0）與這三個因素的數(shù)據(jù)。利用這些數(shù)據(jù)建立了一個邏輯回歸模型，模型的部分輸出結(jié)果如下：logit(P(Y=1))=0.5+1.2*X1+0.3*X2-0.4*X3其中，P(Y=1)表示項目成功的概率。請解釋該模型中各個系數(shù)的含義?，F(xiàn)在，假設(shè)有一個新項目計劃投入資金200萬元，配備20名研發(fā)人員，預(yù)計研發(fā)時間為18個月，請利用該模型預(yù)測該項目成功的概率。五、假設(shè)某公司需要決定是否投資一個新科技項目。投資該項目有兩種可能的結(jié)果：成功（帶來利潤1000萬元）或失敗（導(dǎo)致?lián)p失500萬元）。根據(jù)市場調(diào)研和公司評估，預(yù)測項目成功的概率為0.6，失敗的概率為0.4。公司也可以選擇不投資，此時既沒有收益也沒有損失。請計算該項目的期望收益。公司應(yīng)如何決策？如果公司決策時采用“等可能性”準則（Laplace準則），決策結(jié)果又會是什么？六、為了優(yōu)化某種產(chǎn)品的生產(chǎn)過程，需要確定兩種關(guān)鍵原材料A和B的最佳配比（x1,x2）。已知生產(chǎn)成本與原材料的用量成正比，產(chǎn)品純度與原材料A的用量成正比，與原材料B的用量成反比。建立如下線性規(guī)劃模型：最大化Z=50x1+40x2約束條件：x1+x2≤100（原材料總量限制）2x1+x2≥60（純度要求）x1≥0,x2≥0（非負限制）請寫出該線性規(guī)劃問題的標準形式，并說明目標函數(shù)和約束條件在實際生產(chǎn)中的意義。七、某科研團隊需要對三個候選技術(shù)方案（T1,T2,T3）進行評估和選擇。評估指標包括：研發(fā)成本、預(yù)期性能、環(huán)境影響和社會效益，分別用C,P,E,S表示。各方案的指標表現(xiàn)如下（數(shù)值越高表示表現(xiàn)越好）：方案T1：C=70,P=80,E=60,S=75方案T2：C=60,P=70,E=80,S=65方案T3：C=80,P=60,E=70,S=80科研團隊認為各指標的重要性不同，并根據(jù)經(jīng)驗賦予的權(quán)重為：成本（0.2）、性能（0.4）、環(huán)境（0.2）、社會效益（0.2）。請計算每個方案的綜合評價值，并根據(jù)評價值對三個方案進行排序。如果科研團隊認為性能指標的重要性是成本的兩倍，環(huán)境影響的重要性是成本和社會效益的總和，請重新計算各方案的綜合評價值并進行排序。試卷答案一、描述統(tǒng)計通過計算和描述數(shù)據(jù)的集中趨勢（如均值、中位數(shù)）、離散程度（如方差、標準差）和分布形狀（如偏態(tài)、峰態(tài)），幫助科技研究者快速了解數(shù)據(jù)的基本特征，識別數(shù)據(jù)中的模式、異常值，為后續(xù)的深入分析和科學結(jié)論提供基礎(chǔ)。應(yīng)用場景包括：1）評估材料性能的均值和波動性（如材料的平均強度和強度的一致性）；2）分析生物實驗中不同組別樣本的生理指標分布情況（如不同藥物處理組下老鼠體重的分布）；3）研究傳感器數(shù)據(jù)的典型值和變異性（如某種環(huán)境監(jiān)測傳感器讀數(shù)的平均值和波動范圍）。二、材料A：樣本均值$\bar{X}_A=(85+88+82+86+87+84+90+83+86+85)/10=85.5$樣本方差$S_A^2=[(85-85.5)^2+...+(85-85.5)^2]/(10-1)=10.9$樣本標準差$S_A=\sqrt{10.9}\approx3.3$材料B：樣本均值$\bar{X}_B=(80+83+78+82+81+79+84+80+83+78)/10=81.0$樣本方差$S_B^2=[(80-81)^2+...+(78-81)^2]/(10-1)=7.7$樣本標準差$S_B=\sqrt{7.7}\approx2.8$初步判斷：材料B的樣本標準差（2.8MPa）小于材料A的樣本標準差（3.3MPa），說明在此次測試樣本中，材料B的抗拉強度值圍繞其均值的波動更小，即表現(xiàn)更穩(wěn)定。三、使用卡方檢驗（Chi-squaredtestforindependence）檢驗治療方式與康復(fù)情況是否獨立。1.提出假設(shè)：*零假設(shè)$H_0$：治療方式（新藥Xvs安慰劑）與康復(fù)情況（康復(fù)vs未康復(fù)）獨立。*備擇假設(shè)$H_1$：治療方式與康復(fù)情況不獨立（新藥X的治療效果顯著）。2.選擇檢驗方法及顯著性水平：*使用卡方檢驗。*顯著性水平$\alpha=0.05$。3.計算檢驗統(tǒng)計量：*列出觀測頻數(shù)表：||康復(fù)|未康復(fù)|合計||-------------|------|--------|------||處理組(X)|45|5|50||對照組(安慰劑)|30|20|50||合計|75|25|100|*計算期望頻數(shù)：*期望頻數(shù)(E)=(行合計*列合計)/總合計*$E_{11}=(50*75)/100=37.5$*$E_{12}=(50*25)/100=12.5$*$E_{21}=(50*75)/100=37.5$*$E_{22}=(50*25)/100=12.5$*計算檢驗統(tǒng)計量$\chi^2$：*$\chi^2=[(45-37.5)^2/37.5]+[(5-12.5)^2/12.5]+[(30-37.5)^2/37.5]+[(20-12.5)^2/12.5]$*$\chi^2=[7.5^2/37.5]+[(-7.5)^2/12.5]+[(-7.5)^2/37.5]+[7.5^2/12.5]$*$\chi^2=[0.5625]+[4.5]+[1.5625]+[4.5]=11.125$4.確定P值并做出統(tǒng)計決策：*查卡方分布表，自由度df=(行數(shù)-1)*(列數(shù)-1)=1*1=1。*在df=1,$\alpha=0.05$時，臨界值約為3.841。*由于計算得到的$\chi^2=11.125>3.841$，或者通過計算P值得知P<0.05。*拒絕零假設(shè)$H_0$。5.結(jié)論：在0.05的顯著性水平下，有足夠的統(tǒng)計證據(jù)表明新藥X治療該疾病的康復(fù)情況與安慰劑組存在顯著差異。結(jié)合數(shù)據(jù)（康復(fù)率45%vs30%），可以得出結(jié)論：新藥X比安慰劑在治療該疾病方面具有顯著療效。四、1.系數(shù)含義：*$\beta_0=0.5$：當所有自變量$X1,X2,X3$都為0時，logit(P(Y=1))的值。雖然實際中$X1,X2,X3$不可能為0，但它構(gòu)成了模型的基礎(chǔ)。*$\beta_1=1.2$：資金投入$X1$每增加一個單位（百萬元），logit(P(Y=1))增加1.2，即成功概率的對數(shù)增加1.2。等價于資金投入每增加1個單位，項目成功的概率變?yōu)樵瓉淼?e^{1.2}\approx3.32$倍。*$\beta_2=0.3$：研發(fā)人員數(shù)量$X2$每增加一人，logit(P(Y=1))增加0.3，即成功概率的對數(shù)增加0.3。等價于人員數(shù)量每增加1人，項目成功的概率變?yōu)樵瓉淼?e^{0.3}\approx1.35$倍。*$\beta_3=-0.4$：研發(fā)時間$X3$每增加一個月，logit(P(Y=1))減少0.4，即成功概率的對數(shù)減少0.4。等價于時間每增加1個月，項目成功的概率變?yōu)樵瓉淼?e^{-0.4}\approx0.67$。2.預(yù)測項目成功概率：*logit(P(Y=1))=0.5+1.2*(200)+0.3*(20)-0.4*(18)*logit(P(Y=1))=0.5+240+6-7.2*logit(P(Y=1))=239.3*成功概率P(Y=1)=1/(1+$e^{-239.3}$)*由于239.3非常大，$e^{-239.3}$非常接近0。*P(Y=1)≈1/(1+0)=1*預(yù)測該項目成功的概率非常高，接近100%。五、1.計算期望收益：*期望收益E=(成功概率*成功收益)+(失敗概率*失敗收益)*E=(0.6*1000萬元)+(0.4*-500萬元)*E=600-200=400萬元2.決策：*比較期望收益和不投資的收益（0萬元）。因為期望收益（400萬元）大于不投資的收益（0萬元），所以公司應(yīng)選擇投資該項目。3.等可能性準則（Laplace準則）：*該準則假設(shè)所有可能的結(jié)果發(fā)生的概率相等。*結(jié)果有“成功”和“失敗”兩種，概率相等，各為1/2=0.5。*期望收益（按等概率計算）=(0.5*1000萬元)+(0.5*-500萬元)=500-250=250萬元。*因為250萬元>0萬元，所以按照等可能性準則，公司也應(yīng)選擇投資該項目。六、1.標準形式：*目標函數(shù)（最大化）：MaxZ=50x1+40x2*約束條件：*x1+x2≤100->x1+x2+s1=100(s1為松弛變量)*2x1+x2≥60->2x1+x2-s2=60(s2為剩余變量)*x1≥0,x2≥0*標準形式為：MaxZ=50x1+40x2s.t.x1+x2+s1=1002x1+x2-s2=60x1,x2,s1,s2≥02.實際意義：*目標函數(shù)Z=50x1+40x2：表示總生產(chǎn)成本，其中50是原材料A每單位（假設(shè)是千克或噸）的成本，40是原材料B每單位成本，x1和x2分別是兩種原材料的計劃使用量。*約束條件x1+x2≤100：表示兩種原材料的總用量不能超過100單位（如100千克或100噸），這是生產(chǎn)能力的限制或預(yù)算限制。*約束條件2x1+x2≥60：表示產(chǎn)品純度要求，即兩種原材料的組合必須滿足至少60個單位的某種“純度指標”（可能是質(zhì)量分數(shù)或其他衡量標準），2x1+x2代表當前組合的純度貢獻。*非負限制x1≥0,x2≥0：表示兩種原材料的用量不能為負。七、1.原始權(quán)重計算：*方案T1：$V_1=0.2*70+0.4*80+0.2*60+0.2*75=14+32+12+15=73$*方案T2：$V_2=0.2*