2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽配極原理試卷一、選擇題（每題5分，共30分）1.關(guān)于配極原理的基本概念，下列說(shuō)法正確的是（）A.配極變換是一種保距離變換B.點(diǎn)P關(guān)于圓O的極線必過(guò)點(diǎn)P的反演點(diǎn)C.若點(diǎn)P在圓O上，則其極線為圓O在點(diǎn)P處的切線D.配極變換中，極點(diǎn)與極線的對(duì)應(yīng)關(guān)系不具有對(duì)稱性解析：配極原理是射影幾何中的重要內(nèi)容，核心是建立點(diǎn)與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系。選項(xiàng)A錯(cuò)誤，配極變換不保距離，但保結(jié)合性（即點(diǎn)在直線上對(duì)應(yīng)直線過(guò)點(diǎn)）；選項(xiàng)B錯(cuò)誤，反演點(diǎn)與極線是不同概念，極線方程為(xx_0+yy_0=r^2)（圓(x^2+y^2=r^2)），與反演點(diǎn)((\frac{r^2x_0}{x_0^2+y_0^2},\frac{r^2y_0}{x_0^2+y_0^2}))無(wú)必然過(guò)線關(guān)系；選項(xiàng)C正確，圓上點(diǎn)的極線即為切線；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，配極變換具有對(duì)稱性，即若點(diǎn)P的極線為l，則l的極點(diǎn)為P。2.已知圓O的方程為(x^2+y^2=4)，點(diǎn)P(1,1)關(guān)于圓O的極線方程為（）A.(x+y=2)B.(x+y=4)C.(x+y=1)D.(x+y=\sqrt{2})解析：對(duì)于圓(x^2+y^2=r^2)，點(diǎn)((x_0,y_0))的極線方程為(xx_0+yy_0=r^2)。代入(x_0=1,y_0=1,r^2=4)，得極線方程為(x+y=4)，故選B。3.若點(diǎn)P在圓O的外部，則其極線與圓O的位置關(guān)系是（）A.相離B.相切C.相交D.無(wú)法確定解析：設(shè)圓O半徑為r，點(diǎn)P到圓心距離為d。點(diǎn)P在圓外時(shí)(d>r)，極線到圓心的距離為(\frac{r^2}z3jilz61osys)（由點(diǎn)到直線距離公式推導(dǎo)）。因?yàn)?d>r)，所以(\frac{r^2}z3jilz61osys<r)，即極線到圓心距離小于半徑，故極線與圓相交，選C。4.在△ABC中，若點(diǎn)A關(guān)于△ABC外接圓的極線過(guò)點(diǎn)B，則下列結(jié)論正確的是（）A.AB⊥ACB.AB=ACC.∠ABC=90°D.AB為外接圓直徑解析：由配極原理的對(duì)稱性，點(diǎn)A的極線過(guò)點(diǎn)B等價(jià)于點(diǎn)B的極線過(guò)點(diǎn)A。若AB為直徑，則A、B為直徑端點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)A的極線為過(guò)B的切線（因直徑端點(diǎn)的極線為切線），滿足極線過(guò)B，故選D。5.已知圓O的兩條切線PA、PB（A、B為切點(diǎn)），則直線AB的方程是（）A.點(diǎn)P關(guān)于圓O的極線B.點(diǎn)O關(guān)于圓O的極線C.直線AB的極點(diǎn)為OD.以上均不正確解析：切線PA、PB的切點(diǎn)弦AB即為點(diǎn)P的極線，這是配極原理的重要推論——極點(diǎn)在圓外時(shí)，極線為切點(diǎn)弦所在直線，故選A。6.配極變換在解決幾何問(wèn)題時(shí)的核心作用是（）A.將角度關(guān)系轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)度關(guān)系B.將點(diǎn)共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線共點(diǎn)問(wèn)題C.將圓轉(zhuǎn)化為橢圓D.簡(jiǎn)化復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算解析：配極變換的本質(zhì)是點(diǎn)線對(duì)偶，可將“點(diǎn)共線”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“線共點(diǎn)”問(wèn)題（如帕斯卡定理與布列安桑定理的對(duì)偶性），這是其在幾何證明中的核心應(yīng)用，故選B。二、填空題（每題6分，共30分）7.點(diǎn)(2,3)關(guān)于圓((x-1)^2+(y-2)^2=4)的極線方程為_(kāi)_______。解析：對(duì)于一般圓((x-a)^2+(y-b)^2=r^2)，點(diǎn)((x_0,y_0))的極線方程為((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2)。代入圓心(1,2)，(x_0=2,y_0=3,r^2=4)，得((2-1)(x-1)+(3-2)(y-2)=4)，化簡(jiǎn)為(x+y-7=0)。8.若點(diǎn)P的極線經(jīng)過(guò)圓心，則點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系是________。解析：圓心O的極線為無(wú)窮遠(yuǎn)線（因圓心到極線距離為(\frac{r^2}z3jilz61osys)，若極線過(guò)O，則(\frac{r^2}z3jilz61osys=0)，即(d\to\infty)），故點(diǎn)P為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)P在圓外（實(shí)際平面中可理解為極線過(guò)圓心等價(jià)于點(diǎn)P在無(wú)窮遠(yuǎn)，對(duì)應(yīng)圓外）。9.在半徑為5的圓O中，點(diǎn)P的極線與圓O相切，則OP的長(zhǎng)度為_(kāi)_______。解析：極線與圓相切時(shí)，極線到圓心距離為r=5。由極線到圓心距離公式(\frac{r^2}{OP}=5)，得(OP=\frac{r^2}{5}=\frac{25}{5}=5)。10.已知點(diǎn)A、B關(guān)于圓O的極線分別為l1、l2，若A在l2上，則B與l1的位置關(guān)系是________。解析：由配極對(duì)稱性，A在B的極線l2上，則B必在A的極線l1上，故B在l1上。11.配極變換的對(duì)偶原則指：“點(diǎn)共線”對(duì)應(yīng)“________”。解析：對(duì)偶原則是射影幾何基本原理，配極變換中“點(diǎn)共線”對(duì)應(yīng)“線共點(diǎn)”，即若若干點(diǎn)在同一直線上，則它們的極線必交于同一點(diǎn)。三、解答題（共40分）12.（10分）已知圓O：(x^2+y^2=9)，點(diǎn)P(4,0)，過(guò)點(diǎn)P作圓O的兩條切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，求直線AB的方程。解：由配極原理，點(diǎn)P的極線即為切點(diǎn)弦AB所在直線。對(duì)于圓(x^2+y^2=r^2)，點(diǎn)((x_0,y_0))的極線方程為(xx_0+yy_0=r^2)。代入P(4,0)，(r^2=9)，得極線方程為(4x=9)，即(x=\frac{9}{4})。因此，直線AB的方程為(x=\frac{9}{4})。13.（12分）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求點(diǎn)A關(guān)于△ABC外接圓的極線方程。解：（1）建立坐標(biāo)系：以BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，設(shè)B(-3,0)，C(3,0)，A(0,h)。由AB=5，得(\sqrt{3^2+h^2}=5)，解得h=4，故A(0,4)。（2）求外接圓方程：設(shè)外接圓方程為(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0)，代入B、C、A三點(diǎn)坐標(biāo)：B(-3,0)：(9-3D+F=0)C(3,0)：(9+3D+F=0)A(0,4)：(16+4E+F=0)解得D=0，F(xiàn)=-9，E=-(\frac{7}{4})，故外接圓方程為(x^2+y^2-\frac{7}{4}y-9=0)，即(x^2+(y-\frac{7}{8})^2=(\frac{25}{8})^2)。（3）求極線方程：對(duì)于圓(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0)，點(diǎn)((x_0,y_0))的極線方程為(xx_0+yy_0+D\frac{x+x_0}{2}+E\frac{y+y_0}{2}+F=0)。代入A(0,4)，D=0，E=-(\frac{7}{4})，F(xiàn)=-9，得：(0+4y+0+\frac{-\frac{7}{4}(y+4)}{2}-9=0)化簡(jiǎn)得：(4y-\frac{7}{8}(y+4)-9=0)(32y-7y-28-72=0)(25y=100)即極線方程為(y=4)。14.（18分）證明：圓的外切四邊形的對(duì)角線交點(diǎn)與圓心的連線垂直于對(duì)邊切點(diǎn)連線。證明：（1）設(shè)圓O的外切四邊形ABCD，四邊切點(diǎn)分別為E、F、G、H（AB切于E，BC切于F，CD切于G，DA切于H），對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)P，對(duì)邊切點(diǎn)連線為EG、FH。（2）由配極原理，點(diǎn)A的極線為EH（切點(diǎn)弦），點(diǎn)C的極線為FG。因?yàn)锳C為A、C的連線，所以AC的極點(diǎn)為EH與FG的交點(diǎn)Q（由配極變換的結(jié)合性，兩點(diǎn)連線的極點(diǎn)為兩極線交點(diǎn)）。（3）同理，BD的極點(diǎn)為EF與GH的交點(diǎn)R。（4）由于ABCD為外切四邊形，其對(duì)角線交點(diǎn)P滿足P的極線為EG（或FH，由外切四邊形性質(zhì)）。（5）要證OP⊥EG，只需證OP為EG的垂線。因EG的極點(diǎn)為P，故OP為極點(diǎn)P與圓心O的連線，而極線EG的方向向量與OP的方向向量滿足垂直關(guān)系（由極線方程推導(dǎo)：設(shè)P(x0,y0)，極線EG方程為xx0+yy0=r2，其法向量為(x0,y0)，即OP方向，故OP⊥EG）。（6）綜上，圓心O與對(duì)角線交點(diǎn)P的連線OP垂直于對(duì)邊切點(diǎn)連線EG，同理可證OP⊥FH，命題得證。四、拓展題（共20分）15.（20分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(m,n)為拋物線外一點(diǎn)，過(guò)P作拋物線的兩條切線PA、PB（A、B為切點(diǎn)），類比圓的配極原理，定義拋物線的“極線”為切點(diǎn)弦AB所在直線。（1）求點(diǎn)P(m,n)關(guān)于拋物線(y^2=4x)的極線方程；（2）若點(diǎn)P在直線x=-1上，證明：點(diǎn)P的極線過(guò)焦點(diǎn)F。解：（1）設(shè)切點(diǎn)A((x_1,y_1))、B((x_2,y_2))，拋物線(y^2=4x)在點(diǎn)A處的切線方程為(y_1y=2(x+x_1))（由導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)：(y'=\frac{2}{y})，切線斜率(k=\frac{2}{y_1})，方程為(y-y_1=\frac{2}{y_1}(x-x_1))，結(jié)合(y_1^2=4x_1)化簡(jiǎn)得(y_1y=2x+2x_1=2x+\frac{y_1^2}{2})，即(y_1y=2(x+x_1))）。因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)P(m,n)，所以(y_1n=2(m+x_1))，又(x_1=\frac{y_1^2}{4})，代入得(y_1n=2m+\frac{y_1^2}{2})，即(y_1^2-2ny_1+4m=0)。同理，對(duì)切點(diǎn)B有(y_2^2-2ny_2+4m=0)。因此，y1、y2是方程(y^2-2ny+4m=0)的兩根，由韋達(dá)定理得(y_1+y_2=2n)，(y_1y_2=4m)。切點(diǎn)弦AB的方程：設(shè)AB方程為(x=ty+s)，聯(lián)立拋物線方程(y^2=4(ty+s))，即(y^2-4ty-4s=0)。由韋達(dá)定理(y_1+y_2=4t)，(y_1y_2=-4s)。對(duì)比得(4t=2n\Rightarrowt=\frac{n}{2})，(-4s=4m\Rightarrows=-m)。故AB方程為(x=\frac{n}{2}y-m)，即(ny=2(x+m))。因此，點(diǎn)P(m,n)的極