2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國際社區(qū)藝術(shù)創(chuàng)新組織競(jìng)賽素養(yǎng)試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）幾何與藝術(shù)構(gòu)圖某社區(qū)藝術(shù)節(jié)海報(bào)設(shè)計(jì)中，采用了正六邊形與圓形的組合圖案。已知正六邊形邊長(zhǎng)為6cm，其內(nèi)切圓與外接圓的半徑之比為（）A.1:√2B.√3:2C.1:2D.√2:√3解析思路：正六邊形內(nèi)切圓半徑為邊心距（√3/2×邊長(zhǎng)），外接圓半徑等于邊長(zhǎng)，因此比值為√3/2:1=√3:2，選B。數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)與社區(qū)文化某社區(qū)對(duì)100名居民參與藝術(shù)活動(dòng)的時(shí)長(zhǎng)（單位：小時(shí)/周）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：|時(shí)長(zhǎng)區(qū)間|0-2|2-4|4-6|6-8|8以上||----------|-----|-----|-----|-----|-------||人數(shù)|15|30|25|20|10|則該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在（）A.2-4區(qū)間B.4-6區(qū)間C.6-8區(qū)間D.無法確定解析思路：中位數(shù)為第50、51位數(shù)據(jù)的平均值，前兩區(qū)間累計(jì)人數(shù)45，前三區(qū)間累計(jì)70，因此中位數(shù)落在4-6區(qū)間，選B。函數(shù)與藝術(shù)創(chuàng)作社區(qū)壁畫創(chuàng)作中，某志愿者用坐標(biāo)平面模擬墻面，繪制了一條拋物線形彩帶，其頂點(diǎn)為（3,8），且經(jīng)過點(diǎn)（1,4）。該拋物線的解析式為（）A.y=-x2+6x-1B.y=-x2+3x+8C.y=-2x2+12x-10D.y=-0.5x2+3x+3.5解析思路：設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-3)2+8，代入（1,4）得4=a(1-3)2+8→a=-1，展開得y=-x2+6x-1，選A。邏輯推理與圖案設(shè)計(jì)社區(qū)地磚鋪設(shè)采用以下規(guī)律：每塊正方形地磚的4個(gè)角分別標(biāo)注數(shù)字1、2、3、4，按“1→2→3→4→1”順時(shí)針循環(huán)排列。若某行地磚從左到右的角標(biāo)依次為3、4、1、x、3，則x的值為（）A.2B.3C.4D.1解析思路：循環(huán)周期為4，3（第1位）→4（第2位）→1（第3位）→2（第4位）→3（第5位），因此x=2，選A。概率與抽獎(jiǎng)活動(dòng)社區(qū)藝術(shù)市集設(shè)置抽獎(jiǎng)箱，內(nèi)含紅色（書畫作品）、藍(lán)色（手工制品）、黃色（文創(chuàng)周邊）球各5個(gè)，每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后放回。連續(xù)抽取3次，至少抽到1個(gè)紅色球的概率為（）A.1/3B.19/27C.2/3D.26/27解析思路：對(duì)立事件為“全非紅色”，概率為(2/3)3=8/27，因此所求概率=1-8/27=19/27，選B。立體幾何與雕塑制作學(xué)生用棱長(zhǎng)為2cm的正方體橡皮泥塊，拼接成一個(gè)底面為正三角形、側(cè)棱長(zhǎng)為6cm的三棱柱雕塑。至少需要（）個(gè)正方體橡皮泥塊。A.9B.12C.18D.24解析思路：三棱柱底面積=√3/4×(2√3)2=3√3cm2（底面正三角形邊長(zhǎng)為2√3，需3個(gè)正方體并排），體積=3√3×6≈31.18cm3，正方體體積=8cm3，31.18÷8≈3.89，向上取整為4？（注：實(shí)際拼接需考慮空間密鋪，底面至少3個(gè)正方體，高6cm需3層，共3×3=9個(gè)，選A）方程與社區(qū)規(guī)劃社區(qū)計(jì)劃修建一個(gè)長(zhǎng)方形藝術(shù)長(zhǎng)廊，周長(zhǎng)為40m，且長(zhǎng)比寬多4m。設(shè)長(zhǎng)廊寬為xm，可列方程為（）A.x+(x+4)=40B.2[x+(x+4)]=40C.x(x+4)=40D.x+4=40÷2解析思路：長(zhǎng)方形周長(zhǎng)=2(長(zhǎng)+寬)，長(zhǎng)=x+4，因此方程為2[x+(x+4)]=40，選B。三角函數(shù)與舞臺(tái)燈光藝術(shù)節(jié)舞臺(tái)燈光與地面成60°角照射，燈源距離舞臺(tái)地面高度為4√3m，光束在地面形成的光斑直徑為（）A.4mB.8mC.12mD.16m解析思路：光斑半徑=燈高×tan(30°)=4√3×(1/√3)=4m，直徑=8m，選B。不等式與資源分配社區(qū)為藝術(shù)展覽采購畫框，A、B兩種畫框單價(jià)分別為50元、80元，計(jì)劃總費(fèi)用不超過2000元，且A種畫框數(shù)量不少于B種的2倍。設(shè)采購A種x個(gè)，B種y個(gè)，下列不等式組正確的是（）A.{50x+80y≤2000,x≥2y}B.{50x+80y<2000,x>2y}C.{50x+80y≥2000,x≤2y}D.{50x+80y≤2000,y≥2x}解析思路：總費(fèi)用“不超過”即≤2000，A數(shù)量“不少于B的2倍”即x≥2y，選A。創(chuàng)新實(shí)踐與跨學(xué)科綜合某國際社區(qū)藝術(shù)項(xiàng)目中，需將一幅長(zhǎng)1.2m、寬0.8m的矩形畫作，按比例縮小后放入邊長(zhǎng)為20cm的正方形展示框內(nèi)，要求畫作完整且邊框均勻?？s小后的畫作最大面積為（）A.288cm2B.320cm2C.360cm2D.400cm2解析思路：畫作長(zhǎng)寬比=3:2，展示框邊長(zhǎng)20cm，按比例縮小后最大邊長(zhǎng)為20cm（寬），此時(shí)長(zhǎng)=30cm>20cm，需以長(zhǎng)為限制：120cm→20cm，比例1:6，寬=80÷6≈13.33cm，面積=20×13.33≈266.67？（注：正確思路為按短邊比例，寬0.8m=80cm，80cm→20cm，比例1:4，長(zhǎng)=120÷4=30cm>20cm，矛盾；按長(zhǎng)邊120cm→20cm，比例1:6，寬=80÷6≈13.33cm，面積=20×13.33≈266.67，無選項(xiàng)？可能題目應(yīng)為“放大”？若放大則展示框邊長(zhǎng)20cm為寬，長(zhǎng)=30cm，面積=600cm2，仍無選項(xiàng)。此處可能題目數(shù)據(jù)有誤，暫選A（288=16×18，比例3:2，18+16≤20×2）。二、填空題（共5題，每題6分，共30分）11.數(shù)列與傳統(tǒng)紋樣社區(qū)剪紙活動(dòng)中，一種“回”字形紋樣按以下規(guī)律排列：第1層有8個(gè)小正方形，第2層有16個(gè)，第3層有24個(gè)……則第n層有______個(gè)小正方形。答案：8n（公差為8的等差數(shù)列，首項(xiàng)8，通項(xiàng)公式8n）解析幾何與裝置藝術(shù)在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2,3）、B（4,0）為社區(qū)裝置藝術(shù)的兩個(gè)固定支點(diǎn)，若在x軸上找一點(diǎn)C，使△ABC為等腰三角形，則C點(diǎn)坐標(biāo)為______。答案：（-3,0）、（9,0）、（4+√13,0）、（4-√13,0）（分AB=AC、AB=BC、AC=BC三種情況計(jì)算）概率與非遺傳承社區(qū)非遺體驗(yàn)課設(shè)置“扎染”“陶藝”“剪紙”三個(gè)項(xiàng)目，每位參與者隨機(jī)選擇一項(xiàng)?，F(xiàn)有3名學(xué)生依次選擇，至少有2人選擇同一項(xiàng)目的概率為______。答案：5/9（總情況33=27，對(duì)立事件“全不同”=3×2×1=6，概率=1-6/27=7/9？注：“至少2人同一項(xiàng)目”包含“2人同一+3人同一”，2人同一：C(3,2)×3×2=18，3人同一：3，共21，21/27=7/9，原答案5/9錯(cuò)誤，修正為7/9）函數(shù)與音樂韻律某學(xué)生用數(shù)學(xué)模型模擬鋼琴鍵音高，發(fā)現(xiàn)音高f（單位：赫茲）與按鍵序號(hào)n（從左至右1到88）滿足f=440×2^((n-49)/12)。則第52個(gè)鍵的音高是第49個(gè)鍵的______倍。答案：2^(1/4)（n=52時(shí)，指數(shù)=(52-49)/12=1/4，因此倍數(shù)為2^(1/4)）幾何變換與書法創(chuàng)作書法作品中“福”字的某個(gè)偏旁可視為由線段AB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段A'B'。若點(diǎn)A坐標(biāo)為（1,0），點(diǎn)O坐標(biāo)為（0,0），則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為______。答案：（0.5,√3/2）（旋轉(zhuǎn)公式：x'=xcosθ-ysinθ，y'=xsinθ+ycosθ，θ=60°，x'=1×0.5-0×√3/2=0.5，y'=1×√3/2+0×0.5=√3/2）三、解答題（共5題，共70分）16.社區(qū)藝術(shù)預(yù)算規(guī)劃（12分）某社區(qū)計(jì)劃采購A、B兩種藝術(shù)材料，A材料單價(jià)50元/套，B材料單價(jià)80元/套。（1）若采購總費(fèi)用不超過3000元，且A材料數(shù)量不少于B材料的2倍，求最多可采購B材料多少套？（2）實(shí)際采購時(shí)，A材料打8折，B材料買3送1，采購費(fèi)用仍為3000元，求采購方案中A、B材料數(shù)量的正整數(shù)解。*解答*：（1）設(shè)采購B材料x套，A材料≥2x套，50×2x+80x≤3000→180x≤3000→x≤16.67，最多采購16套B材料。（2）A材料單價(jià)40元/套，B材料買3送1即60元/套（80×3÷4=60）。設(shè)A材料a套，B材料b套（b為4的倍數(shù)），40a+60b=3000→2a+3b=150。正整數(shù)解：b=4k，2a=150-12k→a=75-6k，k=1時(shí)（b=4），a=69；k=2時(shí)（b=8），a=63；……k=12時(shí)（b=48），a=3。共12組解。藝術(shù)節(jié)舞臺(tái)設(shè)計(jì)（14分）舞臺(tái)為矩形ABCD，AB=10m，BC=6m，中心O處懸掛一盞燈，燈光照射范圍為圓形，其邊緣與AB邊相切于中點(diǎn)M，與CD邊交于E、F兩點(diǎn)。（1）求燈光圓形的半徑R；（2）求EF的長(zhǎng)度。解答：（1）以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，O為矩形中心（5,3），AB邊中點(diǎn)M（5,6），燈到AB距離=6-3=3m，相切則半徑R=3m。（2）CD邊方程為y=0，圓心O（5,3）到CD距離d=3m，EF=2√(R2-d2)=2√(9-9)=0？（注：矛盾，應(yīng)為AB邊在y=6，CD邊在y=0，圓心O（5,3），半徑R=3時(shí)，圓與CD邊相切于（5,0），EF長(zhǎng)度為0，可能題目應(yīng)為“與AD邊相切”？若與AD邊（x=0）相切，則半徑R=5m，到CD邊距離3m，EF=2√(25-9)=8m，更合理。此處按原題條件，EF=0，或修正題目條件后EF=8m。）居民藝術(shù)參與度分析（14分）社區(qū)對(duì)參與繪畫、音樂、舞蹈三類活動(dòng)的居民進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下：參與繪畫或音樂的居民共120人；參與音樂或舞蹈的居民共150人；參與繪畫或舞蹈的居民共130人；三類都參與的居民有20人。（1）求參與至少一類活動(dòng)的居民總?cè)藬?shù)；（2）若參與繪畫的居民比參與舞蹈的多10人，求只參與音樂活動(dòng)的人數(shù)。解答：設(shè)繪畫A，音樂B，舞蹈C，|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|。已知|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|=120，|B∪C|=|B|+|C|-|B∩C|=150，|A∪C|=|A|+|C|-|A∩C|=130。三式相加得2(|A|+|B|+|C|)-(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|)=400。設(shè)S=|A|+|B|+|C|，T=|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|，則2S-T=400。總?cè)藬?shù)=S-T+20=(2S-T)-S+20=400-S+20=420-S。（1）缺少條件，無法直接求解？（注：補(bǔ)充條件“參與繪畫的居民比參與舞蹈的多10人”，即|A|=|C|+10。設(shè)|C|=x，|A|=x+10，由|A∪C|=130→(x+10)+x-|A∩C|=130→|A∩C|=2x-120。同理，|A∩B|=(x+10)+|B|-120，|B∩C|=|B|+x-150。T=(x+10+B-120)+(2x-120)+(B+x-150)=4x+2B-380。代入2S-T=400，S=(x+10)+B+x=2x+B+10，2S=4x+2B+20，因此(4x+2B+20)-(4x+2B-380)=400→400=400，恒成立。需另設(shè)總?cè)藬?shù)為N，N=420-S=420-(2x+B+10)=410-2x-B。因|A∩C|=2x-120≥20（三類都參與20人），x≥70。假設(shè)x=70，則|A|=80，|A∩C|=20，|B∩C|=B+70-150=B-80≥20→B≥100，|A∩B|=80+B-120=B-40≥20→B≥60，取B=100，則N=410-140-100=170，總?cè)藬?shù)170人。（2）只參與音樂人數(shù)=|B|-(|A∩B|+|B∩C|-|A∩B∩C|)=100-[(100-40)+(100-80)-20]=100-(60+20-20)=40人。環(huán)保藝術(shù)裝置制作（15分）學(xué)生用廢棄塑料瓶制作圓柱形容器，每個(gè)容器由一個(gè)底面和側(cè)面組成，底面材料為硬紙板（單價(jià)0.5元/dm2），側(cè)面材料為塑料薄膜（單價(jià)0.3元/dm2）。（1）若容器容積為10πdm3，求制作成本最低時(shí)的底面半徑r；（2）若社區(qū)計(jì)劃制作20個(gè)容器，總預(yù)算不超過100元，且每個(gè)容器高度不低于2dm，求單個(gè)容器的最大容積。解答：（1）容積V=πr2h=10π→h=10/r2。成本C=0.5×πr2（底面）+0.3×2πrh（側(cè)面）=0.5πr2+0.6πr×(10/r2)=0.5πr2+6π/r。求導(dǎo)C’=πr-6π/r2，令C’=0→r3=6→r=3√6dm≈1.82dm。（2）單個(gè)成本≤5元，h≥2dm。C=0.5πr2+0.6πrh≤5，h=V/(πr2)≥2→V≤2πr2。由C≤5→0.5πr2+0.6πr×(2)≤5→0.5πr2+1.2πr≤5→r2+2.4r-10/π≈r2+2.4r-3.18≤0，解得r≈0.9dm，V≤2π(0.9)2≈5.09dm3。國際文化交流中的數(shù)學(xué)（15分）某國際社區(qū)藝術(shù)展中，來自不同國家的學(xué)生合作設(shè)計(jì)了一個(gè)“數(shù)字圖騰柱”，規(guī)則如下：圖騰柱由n層立方體組成，第k層（1≤k≤n）的立方體數(shù)量為a_k；數(shù)列{a_k}滿足a?=1，a?=3，且當(dāng)k≥3時(shí)，a_k=a_{k-1}+a_{k-2}（斐波那契數(shù)列）；每層立方體表面都涂有該國國旗顏色，相鄰兩層顏色不同，且頂層與底層顏色也不同。（1）求第10層的立方體數(shù)量a??；（2）若圖騰柱共有10層，使用紅、藍(lán)、黃三種顏色涂色，求不同的涂色方案數(shù)。解答：（1）斐波那契數(shù)列：a?=1，a?=3，a?=4，a?=7，a?=11，a?=18，a?=29，a?=47，a?=76，a??=123。（2）涂色問題：n=10層，相鄰不同色，頂層與底層不同色。用三種顏色，先涂底層3種，第2層2種，第3-9層各2種，第10層：若第9層與底層同色，則第10層有2種；若第9層與底層不同色，則第10層有1種。設(shè)n層時(shí)方案數(shù)為f(n)，f(n)=f(n-1)×1+[3×2^{n-2}-f(n-1)]×2？（或用遞推公式：f(n)=(m-1)^n+(-1)^n(m-1)，m=3色，f(n)=2^n+2(-1)^n。n=10時(shí)，f(1