2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國(guó)際另類藝術(shù)創(chuàng)新組織競(jìng)賽素養(yǎng)試卷一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）1.分形幾何與藝術(shù)創(chuàng)作在分形藝術(shù)中，科赫雪花是由等邊三角形通過迭代生成的經(jīng)典圖案。若初始三角形邊長(zhǎng)為1，經(jīng)過第3次迭代后，圖形的周長(zhǎng)為（）A.3×(4/3)3B.3×(3/4)3C.3×(1/3)3D.3×(2/3)3解析：科赫雪花的迭代規(guī)律為每次將每條邊三等分，以中間段為底邊向外作等邊三角形，因此每迭代一次邊長(zhǎng)變?yōu)樵瓉淼?/3，邊數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍，周長(zhǎng)變?yōu)樵瓉淼?/3。初始周長(zhǎng)為3×1=3，第3次迭代后周長(zhǎng)為3×(4/3)3，答案選A。2.黃金分割與繪畫構(gòu)圖達(dá)芬奇的《蒙娜麗莎》中，人物面部寬度與長(zhǎng)度的比例接近黃金分割數(shù)φ（約1.618）。若某矩形畫作的寬為80cm，且符合黃金分割比例（長(zhǎng):寬=φ），則其長(zhǎng)約為（）A.49.4cmB.80.0cmC.129.4cmD.161.8cm解析：根據(jù)黃金分割定義，長(zhǎng)=寬×φ=80×1.618≈129.4cm，答案選C。3.拓?fù)鋵W(xué)與裝置藝術(shù)某裝置藝術(shù)作品由3個(gè)完全相同的莫比烏斯環(huán)嵌套而成，每個(gè)莫比烏斯環(huán)的單側(cè)曲面特征使得螞蟻沿環(huán)爬行時(shí)（）A.需繞行2圈回到起點(diǎn)B.始終在同一平面內(nèi)移動(dòng)C.能同時(shí)接觸環(huán)的內(nèi)外表面D.軌跡長(zhǎng)度為環(huán)周長(zhǎng)的1/2解析：莫比烏斯環(huán)是單側(cè)曲面，螞蟻爬行一周即可遍歷整個(gè)曲面，無需繞行2圈，且能同時(shí)接觸傳統(tǒng)意義上的“內(nèi)外表面”，答案選C。4.對(duì)稱群與剪紙藝術(shù)中國(guó)剪紙中的“喜”字圖案通常具有多種對(duì)稱性。下列變換中不屬于該圖案對(duì)稱群元素的是（）A.180°旋轉(zhuǎn)B.左右翻轉(zhuǎn)C.上下翻轉(zhuǎn)D.平移變換解析：平面圖形的對(duì)稱群包括旋轉(zhuǎn)、反射（翻轉(zhuǎn)）等變換，但剪紙圖案為有限圖形，平移變換會(huì)導(dǎo)致圖形超出原邊界，不屬于對(duì)稱群元素，答案選D。5.非歐幾何與建筑設(shè)計(jì)悉尼歌劇院的貝殼形屋頂可抽象為雙曲拋物面，其曲面方程滿足（）A.x2/a2+y2/b2=zB.x2/a2-y2/b2=zC.x2+y2+z2=R2D.z=ax+by+c解析：雙曲拋物面（馬鞍面）的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/a2-y2/b2=z，答案選B。6.概率統(tǒng)計(jì)與音樂節(jié)奏一段爵士樂即興演奏中，鼓手隨機(jī)選擇“切分音”（強(qiáng)拍弱位或弱拍強(qiáng)位）的概率為0.3，若連續(xù)演奏4小節(jié)，至少出現(xiàn)1次切分音的概率為（）A.0.3?B.1-0.3?C.1-0.7?D.0.7?解析：“至少1次”的對(duì)立事件為“0次”，概率=1-(1-0.3)?=1-0.7?，答案選C。7.射影幾何與透視繪畫文藝復(fù)興時(shí)期畫家布魯內(nèi)萊斯基通過透視法繪制佛羅倫薩大教堂，其原理基于射影幾何中的（）A.中心投影B.平行投影C.仿射變換D.反演變換解析：透視繪畫通過單點(diǎn)或多點(diǎn)中心投影模擬人眼視角，使二維畫面產(chǎn)生三維空間感，答案選A。8.群論與民族圖案非洲蠟染布的幾何圖案常由基本圖形通過平移、旋轉(zhuǎn)、反射生成。若某圖案的對(duì)稱群階數(shù)為12（即包含12個(gè)對(duì)稱變換），則其基本單元的對(duì)稱操作可能包括（）A.3次旋轉(zhuǎn)+4次反射B.4次旋轉(zhuǎn)+8次反射C.6次旋轉(zhuǎn)+6次反射D.12次旋轉(zhuǎn)+0次反射解析：有限對(duì)稱群中，旋轉(zhuǎn)操作數(shù)與反射操作數(shù)滿足群階數(shù)=旋轉(zhuǎn)數(shù)+反射數(shù)。選項(xiàng)C中6+6=12，符合條件，答案選C。9.分形維數(shù)與數(shù)字藝術(shù)某數(shù)字藝術(shù)作品采用曼德博集合算法生成，其分形維數(shù)D滿足log(N)/log(1/r)=D，其中N為尺度縮小r倍后的自相似單元數(shù)量。若將圖形邊長(zhǎng)縮小1/3后得到5個(gè)自相似單元，則D約為（）A.0.68B.1.46C.1.73D.2.00解析：代入公式D=log(5)/log(3)≈1.46，答案選B。10.圖論與網(wǎng)絡(luò)藝術(shù)某網(wǎng)絡(luò)藝術(shù)裝置由10個(gè)節(jié)點(diǎn)（頂點(diǎn)）和15條邊組成，若該圖為連通圖且無多重邊，則其邊數(shù)與樹圖的邊數(shù)之差為（）A.5B.6C.10D.15解析：樹圖的邊數(shù)=節(jié)點(diǎn)數(shù)-1=9，因此差為15-9=6，答案選B。二、填空題（共5題，每題6分，共30分）11.鑲嵌藝術(shù)中的密鋪問題荷蘭藝術(shù)家埃舍爾的《晝與夜》采用正多邊形密鋪平面，其中僅用正三角形、正方形、正六邊形能實(shí)現(xiàn)無縫密鋪，這是因?yàn)樗鼈兊膬?nèi)角分別為60°、90°、120°，均為______的約數(shù)。答案：360°解析：密鋪要求拼接處內(nèi)角和為360°，60°×6=360°，90°×4=360°，120°×3=360°。12.音樂音階的數(shù)學(xué)本質(zhì)鋼琴鍵盤上的十二平均律將一個(gè)八度音程分為12個(gè)半音，頻率比為2^(1/12)。若某音的頻率為440Hz（A4），則其上方純五度音（7個(gè)半音）的頻率為______Hz。答案：660解析：頻率比=2^(7/12)≈1.5，440×1.5=660Hz。13.折紙幾何與立體構(gòu)成將一張正方形紙片沿對(duì)角線對(duì)折3次后展開，紙上會(huì)留下______條折痕，這些折痕構(gòu)成的圖案具有______對(duì)稱性。答案：7；旋轉(zhuǎn)對(duì)稱（或8階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱）解析：對(duì)折n次后折痕數(shù)=2?-1=7，展開后折痕形成8個(gè)全等的直角三角形，具有8階旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。14.拓?fù)涞葍r(jià)與雕塑形態(tài)雕塑家野口勇的作品《無限之環(huán)》可視為拓?fù)涞葍r(jià)于______（填幾何體名稱），其形態(tài)特征是______。答案：圓環(huán)（或輪胎面）；無邊界、閉曲面、虧格為115.斐波那契數(shù)列與植物藝術(shù)向日葵花盤的種子排列形成斐波那契螺旋，若順時(shí)針螺旋數(shù)為34，則逆時(shí)針螺旋數(shù)最可能為______，這兩個(gè)數(shù)的比值接近______。答案：55；黃金分割數(shù)（或φ≈1.618）三、解答題（共3題，共70分）16.分形藝術(shù)創(chuàng)作與迭代算法（20分）題目：設(shè)計(jì)一個(gè)基于“謝爾賓斯基三角形”的分形藝術(shù)作品，要求：（1）描述第0次（初始）、第1次、第2次迭代的圖形特征；（2）計(jì)算第n次迭代后圖形的面積與初始面積的比值；（3）若用該分形圖案制作邊長(zhǎng)為2米的地毯，且迭代3次，求地毯中“孔洞”的總面積。解答：（1）迭代特征：第0次：正三角形，面積S?=(√3/4)a2（a為邊長(zhǎng)）；第1次：連接三邊中點(diǎn)，挖去中心小正三角形，保留4個(gè)全等小三角形；第2次：對(duì)每個(gè)小三角形重復(fù)上述操作，挖去4個(gè)更小的中心三角形，保留16個(gè)小三角形。（2）面積比值：每次迭代保留原面積的3/4（挖去1/4），故第n次迭代后面積S?=S?×(3/4)?，比值為(3/4)?。（3）孔洞總面積：初始面積S?=(√3/4)×22=√3≈1.732m2。迭代3次后剩余面積S?=√3×(3/4)3=√3×27/64≈0.717m2，孔洞面積=S?-S?≈1.732-0.717≈1.015m2。17.對(duì)稱美學(xué)與建筑設(shè)計(jì)（25分）題目：某博物館建筑擬采用正十二邊形作為平面布局，其外接圓半徑為50米。（1）求正十二邊形的邊長(zhǎng)；（2）計(jì)算每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；（3）若在每個(gè)邊上安裝長(zhǎng)為邊長(zhǎng)1/2的LED燈帶，求燈帶總長(zhǎng)度。解答：（1）邊長(zhǎng)計(jì)算：正n邊形邊長(zhǎng)公式a=2R×sin(π/n)，其中R=50m，n=12。a=2×50×sin(π/12)=100×sin15°≈100×0.2588≈25.88米。（2）內(nèi)角計(jì)算：正n邊形內(nèi)角公式θ=(n-2)×180°/n=(12-2)×180°/12=150°。（3）燈帶總長(zhǎng)度：每條邊燈帶長(zhǎng)=25.88×1/2≈12.94米，12條邊總長(zhǎng)度=12×12.94≈155.28米。18.概率模型與行為藝術(shù)（25分）題目：某行為藝術(shù)表演中，100名參與者隨機(jī)選擇紅、黃、藍(lán)三種顏色的彩帶，每人選擇每種顏色的概率均為1/3，且選擇相互獨(dú)立。（1）求恰好有30人選擇紅色的概率（用組合數(shù)表示即可）；（2）若用X表示選擇黃色的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望E(X)與方差D(X)；（3）藝術(shù)家計(jì)劃當(dāng)某種顏色的選擇人數(shù)超過40時(shí)觸發(fā)特殊燈光效果，求該事件發(fā)生的概率（只需說明計(jì)算思路，無需具體數(shù)值）。解答：（1）恰好30人選擇紅色：服從二項(xiàng)分布B(100,1/3)，概率P=C(100,30)×(1/3)3?×(2/3)??。（2）期望與方差：X~B(100,1/3)，故E(X)=np=100×1/3≈33.33，D(X)=np(1-p)=100×1/3×2/3≈22.22。（3）觸發(fā)燈光效果的概率：事件為“紅色>40”或“黃色>40”或“藍(lán)色>40”，利用概率加法公式：P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)，其中A、B、C分別表示紅、黃、藍(lán)人數(shù)超過40。由于總?cè)藬?shù)為100，P(ABC)=0（不可能三種顏色均超過40），且P(A)=P(B)=P(C)，P(AB)=P(AC)=P(BC)，故可簡(jiǎn)化計(jì)算。四、創(chuàng)新實(shí)踐題（共1題，60分）19.跨學(xué)科藝術(shù)創(chuàng)作方案設(shè)計(jì)題目：以“數(shù)學(xué)與藝術(shù)的共生”為主題，設(shè)計(jì)一個(gè)融合至少3種數(shù)學(xué)概念的藝術(shù)作品方案，要求：（1）明確作品名稱、形式（如裝置藝術(shù)、數(shù)字繪畫、雕塑等）；（2）闡述所涉及的數(shù)學(xué)概念及其在作品中的具體體現(xiàn)；（3）用流程圖或文字描述作品的創(chuàng)作步驟與技術(shù)實(shí)現(xiàn)；（4）分析作品的數(shù)學(xué)美感與藝術(shù)價(jià)值。參考方案示例：作品名稱：《π之詩(shī)：無限不循環(huán)的視覺狂想》形式：交互式數(shù)字投影裝置數(shù)學(xué)概念融合：圓周率π的小數(shù)展開：將π的前1000位小數(shù)轉(zhuǎn)化為RGB顏色值（每3位小數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)像素點(diǎn)的R、G、B分量），生成動(dòng)態(tài)色彩流；傅里葉變換：對(duì)π的小數(shù)序列進(jìn)行傅里葉變換，將頻率譜轉(zhuǎn)化為聲波，形成作品的背景音樂；非歐幾何曲面：投影載體采用雙曲拋物面結(jié)構(gòu)，使色彩流在曲面上呈現(xiàn)扭曲、延展的視覺效果，模擬“無限不循環(huán)”的空間隱喻。創(chuàng)作步驟：數(shù)據(jù)處理：通過編程提取π的小數(shù)數(shù)據(jù)，編寫算法將其映射為色彩與聲波參數(shù)；曲面建模：使用3D建模軟件構(gòu)建尺寸為3m×2m的雙曲拋物面支架；交互設(shè)計(jì)：安裝紅外傳感器，觀眾觸摸曲面時(shí)觸發(fā)局部區(qū)域的π小數(shù)加速播放與聲波變調(diào)；系統(tǒng)集成：將投影設(shè)備、音響與傳感器連接，調(diào)試實(shí)時(shí)響應(yīng)效果。數(shù)學(xué)美感與藝術(shù)價(jià)值：邏輯性與隨機(jī)性的統(tǒng)一：π的確定性小數(shù)序列通過算法轉(zhuǎn)化為看似隨機(jī)的色彩與聲音，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)與