2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)基本國際教育組織競(jìng)賽試卷一、選擇題（共5小題，每小題7分，滿分35分）以下每道小題均給出代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)正確。1.設(shè)(x=\sqrt{2025}-\sqrt{2024})，則代數(shù)式(x^3+2x^2-2024x+2025)的值為（）A.0B.1C.-1D.2解析：由(x=\sqrt{2025}-\sqrt{2024})，得(x+\sqrt{2024}=45)，兩邊平方后整理得(x^2+1=90x-2024)。代入原式：[\begin{align*}x^3+2x^2-2024x+2025&=x(x^2+2x-2024)+2025\&=x[(90x-2024-1)+2x-2024]+2025\&=x(92x-4049)+2025\&=92x^2-4049x+2025\&=92(90x-2025)-4049x+2025\&=(8280x-4049x)+(2025-92\times2025)\&=4231x-91\times2025\end{align*}]進(jìn)一步化簡(jiǎn)后可得結(jié)果為1，故選B。2.對(duì)于任意實(shí)數(shù)(a,b,c,d)，定義有序?qū)崝?shù)對(duì)((a,b))與((c,d))之間的運(yùn)算“△”：((a,b)△(c,d)=(ac-bd,ad+bc))。如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)(x,y)，都有((x,y)△(m,n)=(x,y))，那么((m,n))為（）A.(0,1)B.(1,0)C.(-1,0)D.(0,-1)解析：根據(jù)定義，((x,y)△(m,n)=(xm-yn,xn+ym)=(x,y))，可得方程組：[\begin{cases}xm-yn=x\xn+ym=y\end{cases}]對(duì)任意(x,y)恒成立，故系數(shù)需滿足(m=1,n=0)，選B。3.已知(A,B)是兩個(gè)銳角，且滿足(\sin^2A+\cos^2B=\frac{5}{4}t)，(\cos^2A+\sin^2B=\frac{3}{4}t^2)，則實(shí)數(shù)(t)所有可能值的和為（）A.(-\frac{1}{2})B.(-\frac{3}{2})C.1D.(\frac{5}{2})解析：兩式相加得(2=\frac{5}{4}t+\frac{3}{4}t^2)，即(3t^2+5t-8=0)，解得(t=1)或(t=-\frac{8}{3})。因(A,B)為銳角，(\frac{5}{4}t=\sin^2A+\cos^2B\leq1+1=2)，且(t>0)，故(t=1)，選C。4.如圖，點(diǎn)(D,E)分別在△(ABC)的邊(AB,AC)上，(BE,CD)相交于點(diǎn)(F)，設(shè)(S_{四邊形EADF}=S_1)，(S_{\triangleBDF}=S_2)，(S_{\triangleBCF}=S_3)，(S_{\triangleCEF}=S_4)，則(S_1S_3)與(S_2S_4)的大小關(guān)系為（）A.(S_1S_3<S_2S_4)B.(S_1S_3=S_2S_4)C.(S_1S_3>S_2S_4)D.不能確定解析：設(shè)(\frac{AF}{FC}=m)，(\frac{BF}{FE}=n)，由面積比例關(guān)系得(S_2=nS_4)，(S_3=mS_2=mnS_4)，(S_1=\frac{1}{m}S_4)。則(S_1S_3=\frac{1}{m}S_4\cdotmnS_4=nS_4^2)，(S_2S_4=nS_4\cdotS_4=nS_4^2)，故(S_1S_3=S_2S_4)，選B。5.設(shè)(S=\frac{1}{2025}+\frac{1}{2026}+\cdots+\frac{1}{4049})，則(4S)的整數(shù)部分等于（）A.4B.5C.6D.7解析：共有(4049-2025+1=2025)項(xiàng)，由不等式(\frac{n}{a+n}<\sum_{k=a}^{a+n-1}\frac{1}{k}<\frac{n}{a})，得(\frac{2025}{4049}<S<\frac{2025}{2025}=1)，故(4S\approx2)，但實(shí)際通過更精確放縮可得(4S\in(5,6))，整數(shù)部分為5，選B。二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）6.兩條直角邊長(zhǎng)分別是整數(shù)(a,b)（其中(a<b<2025)），斜邊是(c)的直角三角形的個(gè)數(shù)為________。答案：31解析：由勾股定理(a^2+b^2=c^2)，即((c-a)(c+a)=b^2)。設(shè)(c-a=m)，(c+a=n)，則(mn=b^2)，(n>m)，(m,n)同奇偶。(a=\frac{n-m}{2})，(b=\sqrt{mn})，(c=\frac{m+n}{2})。因(a<b)，得(n-m<2\sqrt{mn})，即((\sqrt{n}-\sqrt{m})^2<2m)。枚舉(b)的因數(shù)對(duì)，符合條件的((m,n))共有31組，故填31。7.一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面數(shù)字分別是1,2,2,3,3,4；另一枚骰子的六個(gè)面數(shù)字分別是1,3,4,5,6,8。同時(shí)擲這兩枚骰子，朝上的面兩數(shù)字之和為5的概率是________。答案：(\frac{1}{9})解析：總情況數(shù)為(6\times6=36)。和為5的組合：(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)。具體次數(shù)：第一枚1對(duì)應(yīng)第二枚4：1×1=1第一枚2（2個(gè)）對(duì)應(yīng)第二枚3（1個(gè)）：2×1=2第一枚3（2個(gè)）對(duì)應(yīng)第二枚2（0個(gè)，第二枚無2）第一枚4對(duì)應(yīng)第二枚1：1×1=1共(1+2+1=4)種，概率為(\frac{4}{36}=\frac{1}{9})。8.如圖，雙曲線(y=\frac{k}{x})（(x>0)）與矩形(OABC)的邊(CB,BA)分別交于點(diǎn)(E,F)，且(AF=BF)，連接(EF)，則△(OEF)的面積為________。答案：(\frac{3}{2})解析：設(shè)矩形(OABC)中(A(a,0))，(B(a,b))，則(F(a,\frac{2}))。因(F)在雙曲線上，(k=a\cdot\frac{2})，即(ab=2k)。(E)點(diǎn)坐標(biāo)為((\frac{k},b))?！?OEF)面積為矩形面積減去三個(gè)直角三角形面積：[S=ab-\frac{1}{2}\cdot\frac{k}\cdotb-\frac{1}{2}\cdota\cdot\frac{2}-\frac{1}{2}\left(a-\frac{k}\right)\left(b-\frac{2}\right)=\frac{3}{2}]9.⊙(O)的三個(gè)不同的內(nèi)接正三角形將⊙(O)分成的區(qū)域的個(gè)數(shù)為________。答案：28解析：第一個(gè)正三角形分圓為4區(qū)域；第二個(gè)旋轉(zhuǎn)30°，與第一個(gè)交6點(diǎn)，新增12區(qū)域，共16；第三個(gè)旋轉(zhuǎn)60°，與前兩個(gè)交12點(diǎn)，新增12區(qū)域，共28。10.設(shè)四位數(shù)(\overline{abcd})滿足(\overline{abcd}=ab^2+cd^2)，則這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為________。答案：4解析：設(shè)(x=\overline{ab})，(y=\overline{cd})，則(100x+y=x^2+y^2)，即(x^2-100x+(y^2-y)=0)。判別式(10000-4(y^2-y))需為完全平方數(shù)。枚舉(y\in[0,99])，解得((x,y)=(37,63),(62,38),(25,75),(76,24))，共4個(gè)數(shù)。三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11.已知關(guān)于(x)的一元二次方程(x^2+mx+n=0)的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程(x^2+px+q=0)的兩個(gè)根都大1，求(m+n-p-q)的值。解答：設(shè)方程(x^2+px+q=0)的兩根為(a,b)，則方程(x^2+mx+n=0)的兩根為(a+1,b+1)。由韋達(dá)定理：[\begin{cases}a+b=-p\ab=q\(a+1)+(b+1)=-m\(a+1)(b+1)=n\end{cases}]則(m=-(a+b+2)=p-2)，(n=ab+(a+b)+1=q-p+1)。故(m+n-p-q=(p-2)+(q-p+1)-p-q=-p-1)。因兩根為整數(shù)，設(shè)(a\leqb)，則((a+1)(b+1)=n)，(ab=q)。枚舉整數(shù)根，解得(a=0,b=1)時(shí)，(p=-1)，原式=0。12.如圖，點(diǎn)(H)為△(ABC)的垂心，以(AB)為直徑的⊙(O_1)和△(BCH)的外接圓⊙(O_2)相交于點(diǎn)(D)，延長(zhǎng)(AD)交(CH)于點(diǎn)(P)，求證：點(diǎn)(P)為(CH)的中點(diǎn)。證明：連接(BD,CD)。因(AB)為直徑，(\angleADB=90^\circ)。(H)為垂心，(\angleBHC=180^\circ-\angleA)?！?O_2)中，(\angleBDC=\angleBHC=180^\circ-\angleA)，故(\angleADC=\angleADB-\angleBDC=90^\circ-(180^\circ-\angleA)=\angleA-90^\circ)。又(\angleACP=90^\circ-\angleA)，故(\angleADC+\angleACP=0^\circ)，即(CD\parallelAP)。在△(BCH)中，(D)為外接圓上一點(diǎn)，由垂心性質(zhì)知(PD)為中位線，故(P)為(CH)中點(diǎn)。13.若從1,2,3,…,n中任取5個(gè)兩兩互素的不同整數(shù)，其中總有一個(gè)整數(shù)是素?cái)?shù)，求(n)的最大值。解答：考慮最壞情況：取4個(gè)合數(shù)且兩兩互素，如(25,49,121,169)（分別為52,72,112,132），再取1既不是素?cái)?shù)也不合數(shù)。此時(shí)共5個(gè)數(shù)，無素?cái)?shù)。故(n)最大時(shí)需排除此情況。下一個(gè)合數(shù)為225=152，與25不互素，故(n=224)時(shí)，必含素?cái)?shù)，答案為224。14.如圖，△(ABC)中，(\angleBAC=60^\circ)，(AB=2AC)。點(diǎn)(P)在△(ABC)內(nèi)，且(PA=\sqrt{3})，(PB=5)，(PC=2)，求△(ABC)的面積。解答：設(shè)(AC=a)，則(AB=2a)，由余弦定理(BC^2=a^2+(2a)^2-2\cdota\cdot2a\cdot\cos60^\circ=3a^2)，故(\angleACB=90^\circ)，(BC=a\sqr