云南省昆明市第一中學2024-2025學年高二下學期期中考試數(shù)

學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知百、鳥是平面內兩個不同的定點，則叩W|一|M比為定值”是“動點M的軌跡是雙曲

線”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知y=/'(x)函數(shù)》=/'(、)的導函數(shù)，其圖象如圖所示，則以下選項中正確的是［)

A.x=O和x=2是函數(shù)y=/(x)的兩個零點

B.函數(shù)y=/(x)的單調遞增區(qū)間為(-8,1)

C.函數(shù)y=/(x)在工=0處取得極小值，在x=2處取得極大值

D.函數(shù)y=/(x)的最大值為"2),最小值為/(0)

3.已知首項為1的數(shù)列｛/｝滿足竽=號，則%=()

A.：B.gC."D.：

4.從甲隊60人、乙隊40人中，按照分層抽樣的方法從兩隊共抽取10人，進行一輪答題.相

關統(tǒng)計情況如下：甲隊答對題目的平均數(shù)為1,方差為I；乙隊答對題目的平均數(shù)為1.5,方

差為0.4,則這10人答對題目的方差為()

A.0.8B.0.675C.0.74D.0.82

試卷第1頁，共4頁

5.設等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為邑，公差為d,若小+%＞0,%＜（）,則下列結論不正確

的是（）

A.t/<0B.當〃=8時，，取得最大值

C.a2+a5+an>0D.使得S,＞0成立的最大自然數(shù)〃是15

6.函數(shù)/（丫）=ccs2T-co*丫是（

A.偶函數(shù)，且最小值為一2B.偶函數(shù)，且最大值為2

C.周期函數(shù)，旦在上單調遞增D.非周期函數(shù)，且在上單調遞減

9

7.已知函數(shù)/3=丁+5/+。?有3個零點，則。的取值范圍是（）

8.漢設TH橢!四圓f「+烏=1（。＞。＞0）的左、右焦點分別為片、尸是橢圓上一點,

I?用=叱|（一工2K3NF、PF=3則橢圓離心率的取值范圍為（

32

也叵_1_5

5'5

旦叵]_5

2'4258

二、多選題

9.記數(shù)列｛4｝的前〃項和為S”，則下列條件使｛%｝一定為等比數(shù)列的是（）

A.｝=3B.C.S.=3"-2D.｝=〃

UHU\

10.已知圓O:/+J,2=4,P是直線/:x+y-6=0上一動點，過點尸作直線以，P3分別與

圓。相切于點力，B,貝IJ（）

A.圓O與直線/相離B.|以|存在最小值

C.|48|存在最大值D.存在點尸使得△力臺。為直角三角形

11.仕銳角V/1/KJ中，內用A,B,C的對邊分別為。，b,c,若b=2,且

試卷第2頁，共4頁

("an/-l)(6tan〃-1)=4,則()

A.C=yB.〃的取值范圍為2)

C.史士的最大值為2D.sin,-cos%的取值范圍為

c142

三、填空題

12.若(1-2x)'(x+2)=4+。［工+—?+&、6,貝ij/+%+…+4=.

13.若方程sin2工一日=；在(°，江)上的解為玉/2(玉<占)，則sin(*+X2)=.

14.現(xiàn)有編號為1,2,3,…，〃(〃>2,“wN)的〃個相同的袋子，每個袋中均裝有〃個形狀

和大小都相同的小球，且編號為儀4=1,2,3，…,〃)的袋中有4個紅球，”-4個白球.當片5

時，從編號為3的袋中無放回依次摸出兩個球，則摸到的兩個球都是紅球的概率為：

現(xiàn)隨機從〃個袋子中任選一個，再從袋中無放同依次摸出三個球，若第三次取出的球為白球

9

的概率為二，則〃的值為.

四、解答題

15.設S”為數(shù)列｛%｝的前〃項和，且滿足：4S”-2%=2”(〃eN)

⑴設證明凡｝是等比數(shù)列；

(2)求Q?

16.如圖，在三棱柱48C-44G中，V4BC為等邊三角形,四邊形4。。蜴是邊長為2的

正方形，AC\=2g,R為的中點，。為棱上一點，BD#平面4DC1.

⑴求證：D為BC中點;

(2)求直線8c與平面力OC所成角的正弦值.

試卷第3頁，共4頁

《云南省昆明市第一中學2024-2025學年高二下學期期中考試數(shù)學試卷》參考答案

題號12345678910

答案BCADDBCCADAB

題號11

答案ACD

1.B

【分析】利用特例法、雙曲線的定義以及充分條件、必要:條件的定義判斷可得出結論.

【詳解】若||M用-阿鵬=0,則阿用=阿瑪，此時，點M的軌跡是線段"巴的垂直平分線,

所以，“帆凰-阿可為定（TN“動點加的軌跡是雙曲線”：

若動點M的軌跡是雙曲線，貝師明|-阿瑪|為定值，

所以，啡町|一|八明||為定值”="動點M的軌跡是雙曲線”.

因此，“帆用一|M周|為定值”是“動點”的軌跡是雙曲線”的必要不充分條件.

故選：B.

2.C

【分析】由/'（X）的正負性可以確定函數(shù)/（X）的單調性以及極值點，可判斷BC；但因無具

體的解析式，故無法確定具體的函數(shù)值，故AD無法確定.

【詳解】由圖象可知，x<0或x>2時，/'（x）<0,0<x<2時，/'（x）>0,

則f（x）在（田⑼和（2,+?>）上單調遞減,在（0,2）上單調遞增，

則當x=0時/Q）取極小值,當x=2時/（力取極大值,故B錯誤,C正確,

由圖只能確定函數(shù)/（力的單調性以及極值點，無法確定具體的函數(shù)值，故AD無法確定.

故選：C

3.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用累乘法求解.

小21,1

【詳解】依題意，%=—=不31=r

02al436

故選：A.

4.D

【分析】根據(jù)分層抽樣的均值與方差公式計算即可.

答案第1頁，共12頁

【詳解】根據(jù)題意，按照分層抽樣的方法從甲隊中抽取10x就=6人，

40

從乙隊中抽取10x標=4人，

這10人答對題目的平均數(shù)為\(6X1+4X1.5)=1.2,

所以這10人答對題目的方差為］同1+("1.2『)+4(0.4+(1.5-1.2)可=0.82.

故選：D.

5.D

【分析】根據(jù)等差數(shù)列定義及其通項可判斷公差4<0,得出數(shù)列中各項的符號可得B正確，

再由等差數(shù)列性質可判斷C正確，由等差數(shù)列前〃項和公式可判斷D正確.

【詳解】對于A,因為等差數(shù)列｛4｝中，4+%>0,%<0,

所以4>0,為<0,"二%一。8<0，A正確：

對于B,由題意可知數(shù)列可J為遞減數(shù)列，且當時,an>0,當〃29時，*<0；

所以可得〃=8時，邑取得最大值，B正確；

對于C,由A知，數(shù)列前8項都大于0,所以%+%+&=6+2%>0,C正確；

對于D,易知九=8(6+%6)=8(6+。9)>0，￡

故S”>0成立的最大自然數(shù)〃=16,D錯誤.

故選：D.

6.B

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性判定方式以及函數(shù)的最值判斷A,B；根據(jù)周期性判斷，結合復

合函數(shù)的單調性判斷C,D.

【詳解】/(》)=852工-8立定義域為區(qū),關于原點對稱.

/(-x)=cos(-2x)-cos(-x)=cos2x-cosx=/(x),

所以/(x)為偶函數(shù)，又/(X)=COS2X-COSX=2COS2X-COSX-1,

令cosx=f,-1<?<1,f\t)=2r-t-\,

11o

當，時，即COSX=T，/(x)有最小值，最小值為一不，

448

答案第2頁，共12頁

當，=-1時，即cosx=-l時，/(X)有最大值，最大值為2,故A錯誤，故B正確；

因為/(x+2TT)=cos2(x+2?r)-cos(x+27t)=cos2x-cosx=J\x),所以/(x)為周期函數(shù),

因為y=cosx在(0句上單調遞減，在信兀J上單調遞減，

當xwI,/(x)=2cos2x-cosx-1,令cosx=i,()</<1,=\,/?)在0,-

單調遞減，在(;,1)單調遞增，

當xe兀］,/(X)=2COS2X-COSX-I,令cosx=/,-l</<0,f(t)=2t2-r-l,/〃)在

Iz/

(-1,0)單調遞減，

由復合函數(shù)的單調性知，/(X)在(0微)上先減后增，在(宗兀)上單調遞增；

故C,D錯誤，

故選：B.

7.C

【分析】根據(jù)題意，求導判斷函數(shù)單調性，結合/(“有3個不同的零點，列出不等式求解

即可.

【詳解】解：函數(shù)/")=丁+|/+。，則/(“=3/+9x,令/6)=0得x=—3或x=0,

令/(x)>0,解得：4>0或不<-3；令/(x)<0,解得：—3<xv0：

所以/(x)在(-8,-3)和(0,+8)上單調遞增，在(-3,0)上單調遞減，

77

又/(一3)=3+c,/(())=%

/、?7

要使/(x)有3個不同的零點，Mc<0<C+y,

27

解得：——<c<0.

故選：C

8.C

【分析】設|PR|=/，由橢圓定義和勾股定理得到=《$，換元后得到

(入+1)

=4-1根據(jù)二次函數(shù)單調性求出得到離心率的取值范圍.

(2+1)-52；228

答案第3頁，共12頁

【詳解】設4（-c,0）,1（c,0）,由橢圓的定義可得,\PF｝\+\PF2\=2af

可設戶閭=乙可得歸附=力，即有（2+巾=2%①

由/￡尸?=，可得歸用，|刊寸=加2,即為（g+1）/=41,②

八?2萬+1

由②?①可得e=7-~—r,令〃?=義+1,可得2=加一1,

U+1）

22+1〃一一26+2J11V1

即有------；----=2------+-由一K4K3,

(^7"\m2)23

4113

可得？工〃?￡4,即一W-W土，

34m4

則加=2時，取得最小值g；〃1=g或4時，取得最大值

即有得也WeW叵.

2824

故選：C

【點睛】方法點睛：求橢圓的離心率或離心率的取值范圍，常見有三種方法：①求出〃，c,

代入公式e=￡；

a

②根據(jù)條件得到關于。力"的齊次式，結合〃=/-°2轉化為〃，C的齊次式，然后等式（不等

式）兩邊分別除以?；?轉化為關于離心率的方程（不等式），解方程（不等式）即可得離心率或

離心率的取值范圍；

③由題H條件得到離心率關于變量的函數(shù)，結合變量的取值范圍得到離心率的取值范圍.

9.AD

【分析】利用等比數(shù)列定義，逐項判斷即可.

【詳解】對于A,由等比數(shù)列定義知，｛4｝一定為等比數(shù)列，A是;

對于R.當%=0時,=44,2成立，｛《｝不成等比數(shù)列.B不是:

對于C,由S'=3"-2,得％=號=1,%=52-￡=6,%=￡-邑=18,%嗎必不成等比數(shù)列，

C不是：

S

對于D,由丁=〃，得。產0嗎=可，｛叫是公比為1的等比數(shù)列，D是.

故選：AD

1（）.AB

答案第4頁，共12頁

【分析】求出圓心。到直線的距離判斷A；利用切線長定理計算判斷B；利用四邊形面積求

得|48|二41-西斤，借助|PO|的范圍求解判斷C；根據(jù)“80為直角三角形求得

\PO\=2y/2,根據(jù)圓心到直線的最小距離即可判斷D.

【詳解】圓。：/+/=4的圓心0(0,0),半徑/?=2,

對于A,點O到直線/的距離"=導30>2=〃，故圓。與直線/相離，正確；

對于B,|PJ|=^|PO|2-\AOf=yl\POf-r2>y]d2-r2=V14,

當且僅當PO_L/時取等號，正確；

對于C,由。。垂直平分檢得，5市8=；戶。||44|=25,。=|尸如40|,

,H21PHi力。|4PHI4-/I44#

則4>MM=▼曠=阿=41—而yN4J一麗丁—,當且僅當『°J_，時取等

號，

所以不存在最大值，錯誤；

對于D,由A可知，|PO,d=3及，若△480為直角三角形，則40P=45,

從而忸0|=加以0|=2夜，又26<3五,所以不存在點夕使得“80為直角三角形，錯誤.

故選：AB

【分析】對A：轉化已知條件求得lan(4+8)=-6,結合tanC=-tan(4+8),從而求得C；

對B：利用正弦定理和角度關系，求得〃關于A的函數(shù)關系，結合A的范圍，求其值域即可:

對C：利用余弦定理，求得。力1的齊次式，結合基本不等式，即可求解；對D：將sin?/-cos%

轉化為關于8的函數(shù)，結合8的范圍，求其值域即可.

答案第5頁，共12頁

【詳解】對A：(由tan/-l)(6tanB—1)=4,gp3tanJtan5-(tanA+tanB)=3,

tan4+tan8_石

1-tanJtanB

所以lan(/l+8)=-6=TanC,故tanC=JL又V/8C為銳角三角形，故C=g，

A正確：

對B：由A可知，C=^,故前夕=＜］彳+孚，由正弦定理一^^二，可得

3\3;sinAsinB

a=2

sinA.（彳，兀、，

sinA+—\

I3）

2sinA_2sinA(、4

故可得i./6一-又4e10,—，故sin/w0,貝ij也；

sinA+—1-sinA+——cosA

I3；22+tanA

八,兀

0<J<—

2解得可X）

由VABC為銳角二角形可得;故tanAG,Ioo

則磊《。,3）,則i,故B錯誤;

對C：由余弦定理cosC=。*"_—=」可得(a+力)2-c,2=3ab,

lab2

等式兩邊同除/可得/土吆］11=3乂方二q所以（土吆丫“，解得”^42,

\cJcc4\c/\cJc

當且僅當即行，時取得等號，故C正確;

對D：sinl=sin(B+C)=si《8V)=gsin84~^cosS,故

sin2A=—sin2B+—cos2B+-^-sin2B,

444

?^^sin)R=-^-s'inl-cos2A=l-sin

故sin2.4—cos*—sin2R--cos2R+

444442

nnn7i

由B可知力,又8=$一4￡,故

<6f2年56

71111.

-sin|2^--|e

26)

也即sin%-cos,8的取值范圍為（gg,故D正確.

故選：ACD.

答案第6頁，共12頁

12.-5

【分析】利用賦值法給x賦值。和1即可求解.

【詳解】令x=l,則4+%+…+&=(1-2),(1+2)=-3,

令x=0,則/=(l—0)s(0+2)=2,

故答案為：-5

13.-/0.5

2

【分析】由正弦函數(shù)的對稱性得到3一析二兀，即可求解.

2~2

【詳解】由于0<x<。，所以0<2x<2兀，-巴<2x-巴<2，

333

由于sin(2工一四=->(),所以0<2工一百<兀，

\3J33

n兀

根據(jù)正弦函數(shù)的性質可知2*一§+2/-孑—兀—兀，

---------------二再+勺—，

所以內+%=—

故答案為：T

【分析】利用古典概率進行求解，利用互斥事件概率加法公式解決即可.

【詳解】當〃=5時編號為3的袋中有3個紅球，2個白球.則從編號為3的袋中無放回依次

摸出兩個球，摸到的兩個球都是紅球的概率為尸=*=卷.

5x410

現(xiàn)隨機從〃個袋子中任選一個，所以有〃種選法；

假設袋子中有左伏二1,2,3,…個紅球，〃-左個白球，從袋中無放回依次摸出三個球，有

〃1)(〃-2)種方法;

若第三次取出的球為白球有四種情況：紅紅白、紅白白，白紅白，白白白，取法數(shù)為

女(攵-1)(“_〃)+%(〃_及)(〃_攵-1)+(“一攵)％A-1)+(

答案第7頁，共12頁

二（〃一1）（〃一2）（〃一4）：

則若第三次取出的球為白球的概率為Pk=,

因為A=1,2,3,…,〃，

所以第三次取出的球為白球的概率為

八〃一1n—2〃-3n-n

P=—^+―^+^^+…+―

n'n~n'n~

（〃-1）+（〃—2）+（〃—3）-…+1

二宗

（〃T）（〃-1+1）〃_]g

=------工------~~2n~~20，

ir

解得〃=1（）.

故答案為:三3;10.

15.（1）證明見解析;

4n-l

（2）52fl=—.

【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，結合S”+|-S.=a2及等比數(shù)列的定義推理作答.

（2）利用并項求和法，結合等比數(shù)列前〃項和公式求解作答.

n

【詳解】（1）因為▼“wN,4Sn-2an=2t則4s向一2%川=2'"，

兩式相減得:4%.「24討+24=*-2',整理可得〃用+%=2”7,即2=207,

b2"

于是-^-=^77=2,

所以數(shù)列也｝是等比數(shù)列.

（2）由（1）知，"=2"T,又/H，則%-+%=%T=22E=4I

所以

\-4"4"-1

S2n=（。|+%）+（%+%）+（氏+&）+…+（%”-1+%〃）=4+與+儀+?一+6?4=-----=——

1-43

16.（1）證明見解析；

⑵半

答案第8頁，共12頁

【分析】(1)根據(jù)線面平行推出線線平行，由此證明四邊形4RG。為平行四邊形，根據(jù)邊

長關系即可求證；

(2)根據(jù)勾股定理得到再根據(jù)線線垂直證明出線面垂直，再以。為坐標原點,

力力為z軸，為x軸，。，為y軸的空間直角坐標系，利用直線方向向量和平面法向量

求出正弦值.

【詳解】(1)BD]//平面ADC},BD】u平面BB￡C,平面力。6C平面BB￡C=DC,,

??,BDJIDC,,又因為8O〃AG，

/.四邊形8RG。為平行四邊形，且因為〃為4G的中點，

??.忸。|=|?！陓=；|叱

.，.。為8c中點.

(2)根據(jù)勾股定理可知|力。|=6,DC、=后,且4G=2X/L

再根據(jù)勾股定理可得|力。|：+PG『=HG|2,故力力1DC,,

又因為4O/8C,BCDDC)=D,BC,Dqu平面BB￡C,

所以《Q_L平面85?。，

如圖建立以。為坐標原點，力力為z軸，。8為x軸，為y軸的空間直角坐標系，

4(1,0,0),C(-l,0,0),而=(2,0,0),

D(O,o,o),/(o,o,b),c,(-1,2,0),/二(o,o,6),=(-i,2,o),

設平面力。。1的法向量為而=(x,y,z),

nDA=Jiz=0

則一一令y=i,解得1二(2』,o),

n-DC,=-x+2y=0

答案第9頁，共12頁

sina=Icos值函卜儂=；=拽，

?'A同國2x755

故直線8C與平面ADCX所成角的正弦值為巫.

17.⑴(e-l)x-y+；=0

2

(2)答案見解析

【分析】(1)當k=1,對y=/(x)求導，求出在由導數(shù)的幾何意義求解即可;

(2)先對原函數(shù)求導，然后利用分類討論的思想進行分析求解即可.

【詳解】⑴1.*.八x)=e-,

當x=l時，/(D=e-1,

二切點坐標為［。-3)，

又廣⑴=e-l,.?.切線斜率為e-1,

???曲線N=/(x)在x=l處切線方程為：(e-l)x-y+g=。.

(2)v/(x)=ke'-^x2,xsR,

g(x)=/'(X)=ke{-X,XeR,g\x)=kex,x€R,

①當kWO時，g'(x)<0成立，

「./*)的單調遞減區(qū)間為R,無單調遞增區(qū)間.

②當氏>0時，令g'(x)=%e'—1=0=>x=-In〃，

所以當xv-lnk時，g'(x)<0,g(x)在(-8,-Ink)上單調遞減

x>-In左時，g'(x)>0,g(x)在(Tnk,+co)上單調遞增

綜上：AK0時，/(》)的單調遞減區(qū)間為R,無單調遞增區(qū)間；

后>0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為(-1皿,+00),單調遞減區(qū)間為(田,-1皿)；

18.(1)0.7

4S

(2)〃=9或10時，尸(X=l)有最大值為黃

【分析】(1)根據(jù)條件概率公式和全概率公式求解即可；

(2)利用超幾何分布表示出P(X=1),列出不等式即可求最大值.

答案第10頁，共12頁

【詳解】(1)設4="第一天去A餐廳用餐“，4="第一天去8餐廳用餐”，

4="第二天去力餐廳用餐”，

根據(jù)題意得P(4)=P(BJ=05尸(414)=06P(414)=0.8,

由全概率公式,得：P(4)=P(4)P(4|4)+1(A)P(4|3j=0.5x0.6+0.5x0.8=0.7,

所以，王同學笫二天去月餐廳用餐的概率為()7

(2)由題意，X的可能取值有：0,1,2,3,

.、C1C215〃(〃一1)

由超幾何分布可知PX=1=寄=-一一’

C.5(〃+5)(〃+4)(〃+3]

15〃(〃一1)

令%=(〃+5)(〃+4)(〃+3r若凡最大，則"%+/，；%，