銳角三角函數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練與詳解：夯實(shí)基礎(chǔ)，提升能力銳角三角函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分，也是解決幾何問題和實(shí)際應(yīng)用問題的有力工具。為幫助同學(xué)們更好地掌握這部分知識(shí)，鞏固基礎(chǔ)，提升解題技能，我們精心編寫了這份專項(xiàng)訓(xùn)練測(cè)試卷。本卷涵蓋了銳角三角函數(shù)的核心知識(shí)點(diǎn)，并配有詳細(xì)解析，希望能為你的學(xué)習(xí)之路助力。---銳角三角函數(shù)專項(xiàng)訓(xùn)練測(cè)試卷考試時(shí)間：90分鐘滿分：100分一、選擇題(本大題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.在Rt△ABC中，∠C=90°，各邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則銳角A的正弦值（）A.擴(kuò)大2倍B.縮小2倍C.不變D.不能確定2.已知α為銳角，且sinα=cos30°，則α等于（）A.30°B.45°C.60°D.75°3.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=5，BC=3，則cosA的值是（）A.3/5B.4/5C.3/4D.4/34.下列各式中，正確的是（）A.tan45°=1B.sin60°=1/2C.cos30°=√3/3D.sin45°=√2/35.若α是銳角，且tanα=√3，則sinα+cosα的值為（）A.(1+√3)/2B.√3C.1D.(1+√3)/√36.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sinB=3/5，則BC的長(zhǎng)為（）A.6B.8C.10D.127.如圖，在地面上的點(diǎn)A處測(cè)得樹頂B的仰角為α，AC=7米，則樹高BC為（）(示意圖：一個(gè)直角三角形，C為直角頂點(diǎn)，AC在水平地面，BC為豎直樹高，AB為斜邊，∠BAC=α)A.7sinα米B.7cosα米C.7tanα米D.7/tanα米8.已知α為銳角，sinα=4/5，則tanα的值是（）A.3/4B.4/3C.3/5D.5/39.一艘輪船從港口A出發(fā)，沿北偏東60°方向航行至B處，再沿南偏東30°方向航行至C處，則∠ABC的度數(shù)為（）A.30°B.45°C.60°D.90°10.在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，下列式子中不一定成立的是（）A.sinA=cosBB.a=c·sinAC.a2+b2=c2D.tanA=a/b二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)11.計(jì)算：sin30°+cos60°=_________。12.在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°，則BC:AC:AB=_________。13.若銳角α滿足cosα=√3/2，則α=_________度，tanα=_________。14.已知tanα=1(α為銳角)，則α=_________，sinα=_________。15.如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=6，則BC的長(zhǎng)為_________。(示意圖：一個(gè)非直角三角形，A=30°，B=45°，邊AC=6，求對(duì)邊BC)16.某斜坡的坡度i=1:√3，則該斜坡的坡角為_________度。三、解答題(本大題共6小題，共52分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟)17.(本題滿分6分)計(jì)算：tan45°·sin30°-cos60°·tan30°。18.(本題滿分8分)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，∠A=60°，解這個(gè)直角三角形(即求出其余的邊和角)。19.(本題滿分8分)如圖，在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在BC上，BD=6，AD=BC，cos∠ADC=3/5。求DC的長(zhǎng)和tanB的值。(示意圖：Rt△ABC，∠C=90°，D在BC邊上，靠近點(diǎn)C一側(cè)，連接AD)20.(本題滿分10分)如圖，小明想測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度，他在地面C處放置了一個(gè)平面鏡，當(dāng)他站在點(diǎn)D處時(shí)，剛好能從平面鏡中看到旗桿的頂端A。已知小明眼睛到地面的距離ED=1.5米，CD=2米，BC=12米，且B、C、D三點(diǎn)在同一直線上，AB⊥BD，ED⊥BD。請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)求出旗桿AB的高度。(注：反射角等于入射角)(示意圖：水平地面BD，B為旗桿底部，A為頂端，AB垂直BD。D為小明站立點(diǎn)，E為小明眼睛位置，ED垂直BD。C為平面鏡位置，在B、D之間。連接EC、AC，∠ECD=∠ACB)21.(本題滿分10分)如圖，一艘漁船在A處觀測(cè)到東北方向有一小島C，已知小島C周圍4.8海里范圍內(nèi)是水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)。漁船沿正東方向航行10海里到達(dá)B處后，觀測(cè)到小島C在北偏東30°方向。請(qǐng)你通過計(jì)算說(shuō)明，漁船繼續(xù)向正東方向航行，是否有進(jìn)入養(yǎng)殖場(chǎng)的危險(xiǎn)？(參考數(shù)據(jù)：√2≈1.414，√3≈1.732)(示意圖：A點(diǎn)在西，B點(diǎn)在A點(diǎn)正東10海里處。從A看C在東北方向，即北偏東45°；從B看C在北偏東30°方向。過C作AB延長(zhǎng)線的垂線，垂足為D)22.(本題滿分10分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6。點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位/秒；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿CB方向向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位/秒。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t<6)。(1)用含t的代數(shù)式表示線段PC和CQ的長(zhǎng)度。(2)在P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，△PCQ的面積是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出其值。(3)在P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，tan∠CPQ的值是否發(fā)生變化？若變化，說(shuō)明理由；若不變，求出其值。(示意圖：Rt△ABC，∠C=90°，AC=8，BC=6。P在AC上從A向C運(yùn)動(dòng)，Q在BC上從C向B運(yùn)動(dòng))---參考答案與詳解一、選擇題(每小題3分，共30分)1.C詳解：銳角三角函數(shù)值是直角三角形中兩邊的比值。當(dāng)各邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍時(shí)，對(duì)應(yīng)邊的比值不變，因此銳角A的正弦值不變。2.C詳解：因?yàn)閏os30°=√3/2，而sin60°=√3/2，且α為銳角，所以α=60°。3.B詳解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5（斜邊），BC=3（∠A的對(duì)邊）。根據(jù)勾股定理，AC=√(AB2-BC2)=√(25-9)=√16=4。cosA=鄰邊/斜邊=AC/AB=4/5。4.A詳解：tan45°=1，A正確；sin60°=√3/2，B錯(cuò)誤；cos30°=√3/2，C錯(cuò)誤；sin45°=√2/2，D錯(cuò)誤。5.A詳解：因?yàn)棣潦卿J角，tanα=√3，所以α=60°。sin60°=√3/2，cos60°=1/2，因此sinα+cosα=√3/2+1/2=(1+√3)/2。6.B詳解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，sinB=AC/AB=3/5。所以AB=AC/sinB=6/(3/5)=10。再由勾股定理得BC=√(AB2-AC2)=√(100-36)=√64=8。7.C詳解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=α，AC=7米（鄰邊），BC為對(duì)邊。tanα=對(duì)邊/鄰邊=BC/AC，所以BC=AC·tanα=7tanα米。8.B詳解：α為銳角，sinα=4/5，設(shè)對(duì)邊為4k，斜邊為5k，則鄰邊為√[(5k)2-(4k)2]=3k。tanα=對(duì)邊/鄰邊=4k/3k=4/3。9.D詳解：根據(jù)題意，港口A沿北偏東60°方向到B，即∠NAB=60°（N為正北方向）。從B沿南偏東30°方向到C，即∠SBC=30°（S為正南方向）。因?yàn)镹A和SB都是南北方向，所以NA//SB，∠ABN=∠NAB=60°（內(nèi)錯(cuò)角相等）?！螦BC=∠ABN+∠NBC=60°+30°=90°。10.D詳解：A選項(xiàng)，sinA=cosB（因?yàn)椤螦+∠B=90°，互余角關(guān)系），成立；B選項(xiàng)，sinA=a/c，所以a=c·sinA，成立；C選項(xiàng)，勾股定理，成立；D選項(xiàng)，tanA=a/b，原式寫反了，不成立。二、填空題(每小題3分，共18分)11.1詳解：sin30°=1/2，cos60°=1/2，所以sin30°+cos60°=1/2+1/2=1。12.1:1:√2詳解：∠C=90°，∠A=45°，則∠B=45°，所以△ABC是等腰直角三角形。設(shè)BC=AC=k，則AB=√(k2+k2)=√2k。因此BC:AC:AB=k:k:√2k=1:1:√2。13.30，√3/3詳解：cosα=√3/2，且α為銳角，所以α=30°。tan30°=√3/3。14.45°，√2/2詳解：tanα=1，且α為銳角，所以α=45°。sin45°=√2/2。15.3√2詳解：過點(diǎn)C作CD⊥AB于D。在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=6，所以CD=AC·sin30°=6×1/2=3。在Rt△BCD中，∠B=45°，sinB=CD/BC，所以BC=CD/sin45°=3/(√2/2)=3√2。16.30詳解：坡度i=1:√3，表示坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比為1:√3。坡角α的正切值tanα=h/l=1/√3=√3/3，所以α=30°。三、解答題(共52分)17.(本題滿分6分)解：原式=tan45°·sin30°-cos60°·tan30°=1×(1/2)-(1/2)×(√3/3)…………(3分，每個(gè)三角函數(shù)值計(jì)算正確給1分，共3分)=1/2-√3/6…………(5分)=(3-√3)/6…………(6分，通分正確，結(jié)果最簡(jiǎn))18.(本題滿分8分)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，a=BC=6?！唷螧=90°-∠A=30°。…………(2分)∵tanA=a/b，即tan60°=6/b，√3=6/b，∴b=AC=6/√3=2√3?！?4分)∵sinA=a/c，即sin60°=6/c，√3/2=6/c，∴c=AB=12/√3=4√3?！?6分)（或利用∠B=30°，則c=AB=2b=4√3，亦可）答：∠B=30°，AC=2√3，AB=4√3。…………(8分，完整寫出所有結(jié)果)19.(本題滿分8分)解：設(shè)DC=x。在Rt△ADC中，∠C=90°，cos∠ADC=DC/AD=3/5，∴AD=DC/(3/5)=(5/3)x?！?2分)∵AD=BC，BD=6，BC=BD+DC=6+x，∴(5/3)x=6+x?！?4分)方程兩邊同乘3：5x=18+3x2x=18x=9?！郉C=9?！?5分)∴BC=6+x=15，AD=15，AC=√(AD2-DC2)=√(152-92)=√(____)=√144=12。…………(6分)在Rt△ABC中，tanB=AC/BC=12/15=4/5?！?7分)答：DC的長(zhǎng)為9，tanB的值為4/5?！?8分)20.(本題滿分10分)解：由題意知，∠ECD=∠ACB（反射角等于入射角），∠EDC=∠ABC=90°（AB⊥BD，ED⊥BD）?！唷鱁DC∽△ABC(兩角對(duì)應(yīng)相等，兩