2025-2026學(xué)年湖南省長沙市北雅中學(xué)九年級上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、單選題(★★)1.在實數(shù)，，，中，有理數(shù)有（）

A．個B．個C．個D．個(★)2.某桑蠶絲的直徑約為米，將用科學(xué)記數(shù)法表示是（）

A．B．C．D．(★★★)3.已知樣本數(shù)據(jù)：3，2，1，7，2，下列說法不正確的是（）

A．平均數(shù)是3B．中位數(shù)是1C．眾數(shù)是2D．方差是4.4(★)4.下列方程中，一定是關(guān)于的一元二次方程的是（）

A．B．C．D．(★)5.喜迎國慶佳節(jié)，某商品原價300元，連續(xù)兩次降價后售價為225元，下列所列方程中，正確的是（）

A．B．C．D．(★★★)6.已知是關(guān)于的一元二次方程的兩個實數(shù)根,則式子的值是（）

A．B．C．D．(★★★)7.已知二次函數(shù)的表達式為（為常數(shù)），當時，，在自變量滿足的取值范圍時，對應(yīng)函數(shù)值的最小值為，則的值為（）

A．B．C．或D．或(★★★★)8.平面直角坐標系中，P點坐標為，且實數(shù)m，n滿足，則點P到原點O的距離的最小值為（）

A．B．C．D．(★★★★)9.已知整式，其中，，，均為整數(shù)，，且，下列結(jié)論：①滿足條件的整式M中至少有2個單項式；②若，則方程一定有實數(shù)解；③若，則滿足條件的整式M共有5個；④若，則方程至少有一個正實數(shù)解，其中說法正確的個數(shù)是（）

A．1B．2C．3D．4二、多選題(★★★★★)10.如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線的對稱軸為，與x軸的一個交點位于，兩點之間．下列結(jié)論：①；②若，為方程的兩個根，則；③；④若拋物線與x軸的兩交點和其頂點組成的三角形頂角為，則．其中正確的有（）

A．①B．②C．③D．④三、填空題(★★)11.若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是____________．(★★★)12.將拋物線_______向左平移1個單位，再向下平移2個單位后得到拋物線的解析式為．(★★★★)13.如圖，在平行四邊形中，，，是銳角，于點E，F(xiàn)是的中點，連結(jié)．若，則的長為__________．(★★)14.飛機著陸時速度快，通常借助直道滑行一段距離來保持飛機穩(wěn)定．據(jù)統(tǒng)計某飛機著陸后滑行的距離（單位：）與滑行的時間（單位：）的函數(shù)解析式是，那么飛機著陸后滑行________才能停下來．(★★★)15.如圖，在矩形中，，點P為邊上的一個動點，線段繞點B順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，．當點落在邊上時，的值為_______；當線段的長度最小時，的度數(shù)為_______．(★★★★)16.如圖，拋物線與直線經(jīng)過點，且相交于另一點B；拋物線與y軸交于點C，與x軸交于另一點；點N在線段上，過點N的直線交拋物線于點M，且軸；當點N在線段上移動時（不與A、B重合），當時，a的取值范圍是________．四、解答題(★★★)17.計算：．(★★★)18.（1）解方程：．（2）先化簡，再求值：，其中x滿足方程：．(★★★)19.方程是關(guān)于x的一元二次方程，該方程的兩個實數(shù)根分別為，．(1)求m的取值范圍；(2)若，求m的值．(★★)20.一分鐘跳繩不僅是學(xué)生體質(zhì)測試的重要項目之一，也是近年來中考體育的重要考試選項之一．某校為了解八年級學(xué)生一分鐘跳繩情況，現(xiàn)從八年級學(xué)生中隨機抽取了部分學(xué)生進行一分鐘跳繩測試，這些學(xué)生的成績記為x（跳繩個數(shù)），對數(shù)據(jù)進行整理，將所得的數(shù)據(jù)分為5組：（A組：；B組：；C組：；D組：：E組：，對數(shù)據(jù)進行分析后，得到如下部分信息：Ⅰ．被抽取的學(xué)生的跳繩個數(shù)頻數(shù)分布直方圖被抽取的學(xué)生的跳繩個數(shù)扇形統(tǒng)計圖Ⅱ．被抽取的學(xué)生的跳繩個數(shù)在C組的數(shù)據(jù)是：191，195，197，197，197，197．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)本次抽查的學(xué)生人數(shù)是______人；(2)補全頻數(shù)分布直方圖；(3)八年級被抽取的學(xué)生跳繩個數(shù)的中位數(shù)為______；(4)若該校八年級選擇跳繩項目的學(xué)生有600名，估計年級學(xué)生跳繩個數(shù)不少于200個的人數(shù)．(★★★★)21.如圖1，拋物線與軸交于，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，且過點．(1)求拋物線表達式；(2)如圖，點為拋物線在軸左側(cè)的一個動點，過點作軸，交直線于點，交軸于點，連接，，，若時，求點的坐標．(★★★)22.如圖，在中，，以為一邊作平行四邊形，且，連接交的延長線于點F，，延長交于點G．(1)求證：點A是的中點．(2)若，，求的長．(★★★)23.為促進銷售，某地水果種植戶借助網(wǎng)絡(luò)平臺，在線下批發(fā)的基礎(chǔ)上同步網(wǎng)絡(luò)零售水果．已知銷售相同數(shù)量的水果，網(wǎng)絡(luò)零售的銷售額為450元，線下批發(fā)銷售額為300元，且網(wǎng)絡(luò)零售的單價比線下批發(fā)的單價貴15元．(1)求網(wǎng)絡(luò)零售和線下批發(fā)水果的單價分別為每千克多少元？(2)該種植戶某天網(wǎng)絡(luò)零售和線下批發(fā)共銷售水果100千克，且網(wǎng)絡(luò)銷售的數(shù)量低于線下批發(fā)數(shù)量的2倍，設(shè)網(wǎng)絡(luò)零售a（a為正整數(shù)）千克，獲得的總銷售額為W元．請寫出W與a之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當網(wǎng)絡(luò)銷售水果的數(shù)量為多少時，當天所獲得的總銷售額最大？最大銷售額是多少？(★★★★)24.已知拋物線與x軸交于，兩點，y軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，P為直線下方拋物線上一點，于點Q，當長度最大時，求點P的坐標：(3)如圖2，過點分別作直線交拋物線于點E、F，直線（，且）交拋物線于點G、H，點M、N分別為線段、的中點，．求證：直線必經(jīng)過一定點，并求該定點坐標．(★★★★)25.我們不妨約定：如果一個函數(shù)的圖象上存在不同兩點關(guān)于y軸對稱，那么我們稱這樣的對稱點為“欣妮對”，這樣的函數(shù)為“對稱函數(shù)”．(1)判斷函數(shù)（k，b為常數(shù)）是否為“對稱函數(shù)”，并說明理由．(2)若關(guān)于x的函