高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江西省萍鄉(xiāng)市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷第I卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，所以，因?yàn)?，所以?duì)恒成立，所以.故選：A.2.設(shè)，，是非零向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，則，；若，則，即.“”是“”的必要而不充分條件；故選：B.3.下圖是我國(guó)2018～2023年純電動(dòng)汽車銷量統(tǒng)計(jì)情況，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.我國(guó)純電動(dòng)汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長(zhǎng)趨勢(shì)B.這六年銷量第60百分位數(shù)為536.5萬(wàn)輛C.這六年增長(zhǎng)率最大的為2019年至2020年D.2020年銷量高于這六年銷量的平均值【答案】D【解析】A：由條形圖知，我國(guó)純電動(dòng)汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長(zhǎng)趨勢(shì)，對(duì)；B：由，故第60百分位數(shù)為2021年數(shù)據(jù)，為536.5萬(wàn)輛，對(duì)；C：由圖知：2019年到2020年增長(zhǎng)率超過(guò)了100%，其它都不超過(guò)100%，對(duì)；D：由，錯(cuò)；故選：D.4.直線過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，若使的直線恰有2條，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由拋物線方程知：拋物線焦點(diǎn)為，通徑長(zhǎng)為，當(dāng)垂直于軸時(shí)，兩點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)，且，即拋物線的焦點(diǎn)弦中，通徑最短，所以.故選：A．5.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為1的直線與交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在直線上，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，由題意可知直線的方程為，線段的中點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得，所以，另一方面，聯(lián)立，得.易知，由韋達(dá)定理得，解得，所以，故離心率，故D正確.故選：D.6.如圖，在平行四邊形中，為邊上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，知為銳角，又因?yàn)椋裕O(shè)，即，，，．由，得，又，故．則，因此，即．在中，由正弦定理，以及，整理計(jì)算得．故選：B．7.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程對(duì)應(yīng)的曲線為橢圓，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易得該橢圓的對(duì)稱中心為，且關(guān)于直線對(duì)稱，將代入方程，解得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為，，將代入方程，解得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以該橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，所以半焦距，所以其離心率為.故選：C．8.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)是C的右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)F2作的平分線的垂線，垂足是M，，若雙曲線C上一點(diǎn)T滿足，則點(diǎn)T到雙曲線C的兩條漸近線距離之和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)半焦距為c，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，由于PM是的平分線，，所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中點(diǎn).根據(jù)雙曲線的定義可知，即，由于是的中點(diǎn)，所以MO是中位線，所以，又雙曲線的離心率為，所以，，所以雙曲線C的方程為.所以，，雙曲線C的漸近線方程為，設(shè)，T到兩漸近線的距離之和為S，則，由，即，又T在上，則，即，解得，，由，故，即距離之和為.故選：A.9.在中，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由以及得，又由得，所以，且B，C均為銳角，即，，所以，因?yàn)椋?，設(shè)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，則.故選：B.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.10.已知雙曲線，則（）A.的取值范圍是B.時(shí)，的漸近線方程為C.的焦點(diǎn)坐標(biāo)為D.可以是等軸雙曲線【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)楸硎倦p曲線，所以，解得，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，雙曲線方程為，其漸近線方程為，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)A得0，所以焦點(diǎn)在軸上，設(shè)的半焦距為，則，解得，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，若為等軸雙曲線，則，解得，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD.11.如圖，正方形的中心與圓的圓心重合，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）A.是定值B.是定值C.是定值D.是定值【答案】ABD【解析】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，圓的半徑為，點(diǎn)坐標(biāo)為；則可得，且；易知；所以對(duì)于A選項(xiàng)，，為定值，即A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，為定值，所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，易知表達(dá)式中不能表示成只含有邊長(zhǎng)和半徑的式子，即與有關(guān)，故其不是定值，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，為定值，故D正確；故選：ABD.12.直四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為4，，點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.B.直線與平面所成角為定值．C.點(diǎn)到平面的距離的最小值為.D.的最小值為-2．【答案】BC【解析】直四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為4，則底面為菱形，又，則和都是等邊三角形，設(shè)與相交于點(diǎn)，由，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)垂直于底面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，由，有，即，所以點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)，以為圓心，2為半徑的半圓弧，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；平面的法向量為，，直線與平面所成的角為，則，又由，則，所以直線與平面所成的角為定值，B選項(xiàng)正確；，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，得，，所以點(diǎn)到平面的距離，，所以時(shí)，，所以點(diǎn)到平面的距離的最小值為，C選項(xiàng)正確；，，其幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方減12，由，點(diǎn)到點(diǎn)距離最小值為，的最小值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.第II卷三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.13.已知雙曲線的離心率分別為和，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】，，由題意得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.14.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】由于，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.15.法國(guó)數(shù)學(xué)家盧卡斯在研究一元二次方程的兩個(gè)根不同冪的和時(shí)，發(fā)現(xiàn)了，，…，由此推算______________.【答案】123【解析】因?yàn)?，，，，所以，所以，所?四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.16.如圖所示的五面體為直三棱柱截去一個(gè)三棱錐后的幾何體，，，D為的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).（1）判斷BF和CE是否垂直，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)（），是否存在，使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）BF和CE不垂直，理由如下：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，，，，因?yàn)?，所以BF和CE不垂直.（2）假設(shè)存在使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為，由，得，顯然平面ABC的一個(gè)法向量為，，設(shè)平面PBF的法向量為，則，取，得，設(shè)平面ABC與平面PBF的夾角為，則，而，解得，所以存在實(shí)數(shù)，使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為.17.將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，所得的向上的點(diǎn)數(shù)分別記為，設(shè)表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，的值為隨機(jī)變量X.（1）求在的條件下，的概率；（2）求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.解：（1）記拋擲骰子的樣本點(diǎn)為，則樣本空間為，樣本空間容量為36，設(shè)事件A為：，事件B為：，則A為：{，，}，其包含的樣本點(diǎn)數(shù)為21，，其包含的樣本點(diǎn)數(shù)為14，根據(jù)條件概率得；（2）隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4，5，6，，，，，，，，所以其分布列為：X0123456P所以數(shù)學(xué)期望18.如左圖所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，邊AD上一點(diǎn)E滿足.現(xiàn)將沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右圖所示.（1）求證：；（2）求異面直線與BE的距離；（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.（1）證明：在圖1中，連接CE，易求.∴四邊形ABCE為菱形.連接AC交BE于點(diǎn)O，則.∴在圖2中，，.又于O，∴平面.又平面，∴；（2）解：由勾股定理可得，∴.過(guò)作的垂線OM，交于M，則OM即異面直線與BE的距離，；（3）解：在圖2中延長(zhǎng)BE，CD，設(shè)，連接AG.∵平面，平面.又平面，平面.∴是平面與平面的交線，∵平面平面BCDE，，平面平面，∴平面，又平面，∴，作，垂足為H，連接CH，又，∴平面OCH，又平面OCH，∴.∴即為平面與平面所成銳二面角的平面角.由（1）知，，為等邊三角形，∴，∵，∴，解得.在中，，∴.∴平面與平面所成銳二面角的余弦值.19.已知，，M是圓O：上任意一點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為N，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)T，記點(diǎn)T的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)（）為曲線C上一點(diǎn)，不與x軸垂直的直線l與曲線C交于G，H兩點(diǎn)（異于E點(diǎn)）.若直線GE，HE的斜率之積為2，求證：直線l過(guò)定點(diǎn).（1）解：連接OM，由題意可得，且M為的中點(diǎn)，又O為的中點(diǎn)，所以，且|.因?yàn)榫€段的中垂線與直線相交于點(diǎn)T，所以，所以，由雙曲線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)T的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線.設(shè)其方程為（，），則，，，故曲線C的方程為.（2）證明：由（1）知依題意直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，，，由，得，，由，得，所以，.則，整理得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，直線l過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線l的方程為，直線l過(guò)定點(diǎn)，不合題意，舍去.綜上所述，直線l過(guò)定點(diǎn).20.在幾何學(xué)常常需要考慮曲線的彎曲程度，為此我們需要刻畫(huà)曲線的彎曲程度．考察如圖所示的光滑曲線C：上的曲線段，其弧長(zhǎng)為，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)從A沿曲線段運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的切線也隨著轉(zhuǎn)動(dòng)到B點(diǎn)的切線，記這兩條切線之間的夾角為（它等于的傾斜角與的傾斜角之差）．顯然，當(dāng)弧長(zhǎng)固定時(shí)，夾角越大，曲線的彎曲程度就越大；當(dāng)夾角固定時(shí)，弧長(zhǎng)越小則彎曲程度越大，因此可以定義為曲線段的平均曲率；顯然當(dāng)B越接近A，即越小，K就越能精確刻畫(huà)曲線C在點(diǎn)A處的彎曲程度，因此定義（若極限存在）為曲線C在點(diǎn)A處的曲率．（其中y＇，y＇＇分別表示在點(diǎn)A處的一階、二階導(dǎo)數(shù)）（1）求單位圓上圓心角為60°的圓弧的平均曲率；（2）求橢圓在處的曲率；（3）定義為曲線的“柯西曲率”．已知在曲線上存在兩點(diǎn)和，且P，Q處的“柯西曲率”相同，求的取值范圍．解：（1）．（2），，，故，，故．（3），，故，其中，令，，則，則，其中（不妨）令，在遞減，在遞增，故；令，，令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，可得，即，故有，則在遞增，又，，故，故．江西省萍鄉(xiāng)市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷第I卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由得，所以，因?yàn)椋詫?duì)恒成立，所以.故選：A.2.設(shè)，，是非零向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】若，則，；若，則，即.“”是“”的必要而不充分條件；故選：B.3.下圖是我國(guó)2018～2023年純電動(dòng)汽車銷量統(tǒng)計(jì)情況，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.我國(guó)純電動(dòng)汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長(zhǎng)趨勢(shì)B.這六年銷量第60百分位數(shù)為536.5萬(wàn)輛C.這六年增長(zhǎng)率最大的為2019年至2020年D.2020年銷量高于這六年銷量的平均值【答案】D【解析】A：由條形圖知，我國(guó)純電動(dòng)汽車銷量呈現(xiàn)逐年增長(zhǎng)趨勢(shì)，對(duì)；B：由，故第60百分位數(shù)為2021年數(shù)據(jù)，為536.5萬(wàn)輛，對(duì)；C：由圖知：2019年到2020年增長(zhǎng)率超過(guò)了100%，其它都不超過(guò)100%，對(duì)；D：由，錯(cuò)；故選：D.4.直線過(guò)拋物線：的焦點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，若使的直線恰有2條，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由拋物線方程知：拋物線焦點(diǎn)為，通徑長(zhǎng)為，當(dāng)垂直于軸時(shí)，兩點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)，且，即拋物線的焦點(diǎn)弦中，通徑最短，所以.故選：A．5.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為1的直線與交于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)在直線上，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)，由題意可知直線的方程為，線段的中點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，聯(lián)立，解得，所以，另一方面，聯(lián)立，得.易知，由韋達(dá)定理得，解得，所以，故離心率，故D正確.故選：D.6.如圖，在平行四邊形中，為邊上異于端點(diǎn)的一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，知為銳角，又因?yàn)?，所以．設(shè)，即，，，．由，得，又，故．則，因此，即．在中，由正弦定理，以及，整理計(jì)算得．故選：B．7.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程對(duì)應(yīng)的曲線為橢圓，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易得該橢圓的對(duì)稱中心為，且關(guān)于直線對(duì)稱，將代入方程，解得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)為，，將代入方程，解得兩交點(diǎn)坐標(biāo)為，，所以該橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，所以半焦距，所以其離心率為.故選：C．8.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C:的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，離心率為，點(diǎn)是C的右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)F2作的平分線的垂線，垂足是M，，若雙曲線C上一點(diǎn)T滿足，則點(diǎn)T到雙曲線C的兩條漸近線距離之和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè)半焦距為c，延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，由于PM是的平分線，，所以是等腰三角形，所以，且M是NF2的中點(diǎn).根據(jù)雙曲線的定義可知，即，由于是的中點(diǎn)，所以MO是中位線，所以，又雙曲線的離心率為，所以，，所以雙曲線C的方程為.所以，，雙曲線C的漸近線方程為，設(shè)，T到兩漸近線的距離之和為S，則，由，即，又T在上，則，即，解得，，由，故，即距離之和為.故選：A.9.在中，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由以及得，又由得，所以，且B，C均為銳角，即，，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)，則.故選：B.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.10.已知雙曲線，則（）A.的取值范圍是B.時(shí)，的漸近線方程為C.的焦點(diǎn)坐標(biāo)為D.可以是等軸雙曲線【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)楸硎倦p曲線，所以，解得，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，雙曲線方程為，其漸近線方程為，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)A得0，所以焦點(diǎn)在軸上，設(shè)的半焦距為，則，解得，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，若為等軸雙曲線，則，解得，所以選項(xiàng)D正確，故選：ACD.11.如圖，正方形的中心與圓的圓心重合，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列敘述正確的是（）A.是定值B.是定值C.是定值D.是定值【答案】ABD【解析】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：不妨設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，圓的半徑為，點(diǎn)坐標(biāo)為；則可得，且；易知；所以對(duì)于A選項(xiàng)，，為定值，即A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，為定值，所以B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，易知表達(dá)式中不能表示成只含有邊長(zhǎng)和半徑的式子，即與有關(guān)，故其不是定值，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，為定值，故D正確；故選：ABD.12.直四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為4，，點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，且滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.B.直線與平面所成角為定值．C.點(diǎn)到平面的距離的最小值為.D.的最小值為-2．【答案】BC【解析】直四棱柱的所有棱長(zhǎng)都為4，則底面為菱形，又，則和都是等邊三角形，設(shè)與相交于點(diǎn)，由，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，過(guò)垂直于底面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有，，點(diǎn)在四邊形及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，由，有，即，所以點(diǎn)的軌跡為平面內(nèi)，以為圓心，2為半徑的半圓弧，所以點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；平面的法向量為，，直線與平面所成的角為，則，又由，則，所以直線與平面所成的角為定值，B選項(xiàng)正確；，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，令，得，，所以點(diǎn)到平面的距離，，所以時(shí)，，所以點(diǎn)到平面的距離的最小值為，C選項(xiàng)正確；，，其幾何意義為點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方減12，由，點(diǎn)到點(diǎn)距離最小值為，的最小值為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.第II卷三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.13.已知雙曲線的離心率分別為和，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】，，由題意得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.14.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】由于，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為.15.法國(guó)數(shù)學(xué)家盧卡斯在研究一元二次方程的兩個(gè)根不同冪的和時(shí)，發(fā)現(xiàn)了，，…，由此推算______________.【答案】123【解析】因?yàn)?，，，，所以，所以，所?四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.16.如圖所示的五面體為直三棱柱截去一個(gè)三棱錐后的幾何體，，，D為的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn).（1）判斷BF和CE是否垂直，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)（），是否存在，使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）BF和CE不垂直，理由如下：以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線CA，CB，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，，，，，因?yàn)?，所以BF和CE不垂直.（2）假設(shè)存在使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為，由，得，顯然平面ABC的一個(gè)法向量為，，設(shè)平面PBF的法向量為，則，取，得，設(shè)平面ABC與平面PBF的夾角為，則，而，解得，所以存在實(shí)數(shù)，使得平面ABC與平面PBF夾角的余弦值為.17.將一枚質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲兩次，所得的向上的點(diǎn)數(shù)分別記為，設(shè)表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，的值為隨機(jī)變量X.（1）求在的條件下，的概率；（2）求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.解：（1）記拋擲骰子的樣本點(diǎn)為，則樣本空間為，樣本空間容量為36，設(shè)事件A為：，事件B為：，則A為：{，，}，其包含的樣本點(diǎn)數(shù)為21，，其包含的樣本點(diǎn)數(shù)為14，根據(jù)條件概率得；（2）隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4，5，6，，，，，，，，所以其分布列為：X0123456P所以數(shù)學(xué)期望18.如左圖所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，邊AD上一點(diǎn)E滿足.現(xiàn)將沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右圖所示.（1）求證：；（2）求異面直線與BE的距離；（3）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.（1）證明：在圖1中，連接CE，易求.∴四邊形ABCE為菱形.連接AC交BE于點(diǎn)O，則.∴在圖2中，，.又于O，∴平面.又平面，∴；（2）解：由勾股定理可得，∴.過(guò)作的垂線OM，交于M，則OM即異面直線與BE的距離，；（3）解：在圖2中延長(zhǎng)BE，CD，設(shè)，連接AG.∵平面，平面.又平面，平面.∴是平面與平面的交線，∵平面平面BCDE，，平面平面，∴平面，又平面，∴，作，垂足為