高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省益陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的斜率為，故選：B.2.過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)與直線平行的直線可設(shè)為，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，所以方程為.故選：A.3.已知兩個(gè)向量，則的值是（）A. B. C.1 D.5【答案】D【解析】根據(jù)可得，解得，故選：D.4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.36 B.64 C.72 D.88【答案】C【解析】由可得，故，進(jìn)而可得，故，故選：C.5.已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】由于雙曲線的兩條漸近線互相垂直，故漸近線的斜率為，即，故，故選：A.6.已知圓.過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，當(dāng)弦的長(zhǎng)最短時(shí)，直線的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閳A的半徑為，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，則有，可知當(dāng)最大時(shí)弦的長(zhǎng)最短，所以當(dāng)直線時(shí)，弦的長(zhǎng)最短，設(shè)直線的斜率為，則有，因?yàn)?，所以，所以，直線的方程為.故選：D.7.在四面體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，即，所以，，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，同理可得，故選：C.8.已知點(diǎn)、及直線，如果上有且僅有個(gè)點(diǎn)，使得是直角三角形，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)為直角時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，直線與直線有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)為直角時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，直線與直線有一個(gè)公共點(diǎn)，由題意可知，在直線上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得為直角，此時(shí)，，則點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，且該圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，且圓的方程為，所以，直線與圓相切，直線的一般方程為，則，解得.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.已知直線，則（）A.的傾斜角為B.在軸上的截距為C.原點(diǎn)到的距離為1D.與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2【答案】ABC【解析】選項(xiàng)A：直線的傾斜角為，斜率，則，由得，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：令則則在軸上的截距為，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：原點(diǎn)到的距離為，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.C. D.數(shù)列為等比數(shù)列【答案】AB【解析】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，故A正確；數(shù)列的前項(xiàng)和為，故B正確；因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；令，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.在線段上存在一點(diǎn)，使得B.三棱錐的體積為C.與平面所成角的余弦值的最小值為D.若平面，則平面與正方體的截面面積是【答案】BCD【解析】在棱長(zhǎng)為1的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)，對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，與不共線，當(dāng)時(shí)，與不共線，因此不平行，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，點(diǎn)到平面的距離，，，則，，因此三棱錐的體積，B正確；對(duì)于C，，設(shè)與平面所成的角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，C正確；對(duì)于D，，取中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面截正方體的截面為正六邊形，，則，，于是，而，平面，則垂直于該截面，該截面與的交點(diǎn)為，因此平面，截面正六邊形的面積為，D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知兩個(gè)向量，則__________.【答案】【解析】.13.已知圓，直線與交于兩點(diǎn)，則的面積等于__________.【答案】【解析】的圓心為半徑為，故圓心到直線的距離為，弦長(zhǎng)，故.14.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)，若，則與的內(nèi)切圓的半徑之和的最小值等于______.【答案】2【解析】因?yàn)榈膬?nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)，如圖，，為另外兩個(gè)切點(diǎn)，由切線長(zhǎng)定理可知，，，因?yàn)樵谳S上，所以，所以，所以，，，雙曲線的方程為：，如圖，設(shè)兩內(nèi)切圓圓心分別為，，半徑分別為，，設(shè)，，與圓分別相切于點(diǎn)，，，由切線長(zhǎng)定理得，而，兩式相加得，所以是雙曲線的右頂點(diǎn)，軸，所以的橫坐標(biāo)為，同理可求得的橫坐標(biāo)為，則，設(shè)直線的傾斜角為，由雙曲線漸近線為，傾斜角分別為，要使直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，則，有，在，中，有，，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求；（2）若，記，求的值.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由題意知，則，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，又因?yàn)椋裕?16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上.（1）求焦點(diǎn)的坐標(biāo)及的值；（2）設(shè)的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，求過(guò)三點(diǎn)的圓的方程.解：（1）由題意可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)在上，.解得（舍去），.（2）由拋物線可得準(zhǔn)線方程為，所以，.由（1）知.設(shè)過(guò)三點(diǎn)的圓的方程為，代入點(diǎn)得，解得.所以，過(guò)三點(diǎn)的圓的方程為（或者）.17.如圖，在正三棱柱中，為的中點(diǎn)，為棱上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）若，求證：平面；（2）若為的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：正三棱柱平面平面.為正三角形，為中點(diǎn)，.又平面平面平面.又平面，.所以，..又平面,故平面.（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以及過(guò)點(diǎn)且垂直平面的垂線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可取.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可取.平面與平面夾角的余弦值為.18.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且的離心率為.（1）求的方程；（2）設(shè)分別是的左頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)，與直線平行的直線與交于兩點(diǎn).①若以線段為直徑的圓與直線相切，求在軸上的截距；②當(dāng)直線斜率存在時(shí)，分別將其記為，證明：為定值.解：（1）由題意可知解得.故的方程為.（2）①由題意知.則直線的方程為.設(shè)平行于直線的直線的方程為.聯(lián)立，消去得：.，解得：.設(shè)與橢圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，..又直線與直線的距離，由于以線段為直徑的圓與直線相切，則，即.解得.經(jīng)檢驗(yàn)：，故在軸上的截距為；②由.為定值.19.若各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，對(duì)任意的，均有成立，則稱數(shù)列為“下凸正整數(shù)數(shù)列”.（1）若數(shù)列是“下凸正整數(shù)數(shù)列”，求出所有的數(shù)對(duì)；（2）設(shè)數(shù)列滿足，且，判斷數(shù)列是否為“下凸正整數(shù)數(shù)列”，并說(shuō)明理由；（3）已知“下凸正整數(shù)數(shù)列”中，，，，，求最大值.解：（1）因?yàn)閿?shù)列為“下凸正整數(shù)數(shù)列”，則，所以，，可得，又、，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，不符合題意.即所求的數(shù)對(duì)有、.（2）數(shù)列是“下凸正整數(shù)數(shù)列”，理由如下：因?yàn)?，所以?對(duì)任意的，所以，，即，且.則當(dāng)時(shí)，，，，，，累加得，則，也滿足，故對(duì)任意的，.①由可知是正整數(shù)，②因，其中且，即成立，綜合①②可得數(shù)列是“下凸正整數(shù)數(shù)列”.（3）因?yàn)椋瑢?duì)任意的，令，則且，故對(duì)任意的恒成立，當(dāng)，，，時(shí)，因?yàn)?，所以，，此時(shí)，，即，解得，故.若取，則對(duì)任意的，，此時(shí)，數(shù)列為“下凸正整數(shù)數(shù)列”，且，即符合題意.綜上，的最大值為.湖南省益陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】的斜率為，故選：B.2.過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)與直線平行的直線可設(shè)為，因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，所以方程為.故選：A.3.已知兩個(gè)向量，則的值是（）A. B. C.1 D.5【答案】D【解析】根據(jù)可得，解得，故選：D.4.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.36 B.64 C.72 D.88【答案】C【解析】由可得，故，進(jìn)而可得，故，故選：C.5.已知雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則的離心率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】由于雙曲線的兩條漸近線互相垂直，故漸近線的斜率為，即，故，故選：A.6.已知圓.過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，當(dāng)弦的長(zhǎng)最短時(shí)，直線的方程是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閳A的半徑為，設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為，則有，可知當(dāng)最大時(shí)弦的長(zhǎng)最短，所以當(dāng)直線時(shí)，弦的長(zhǎng)最短，設(shè)直線的斜率為，則有，因?yàn)椋?，所以，直線的方程為.故選：D.7.在四面體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，設(shè)，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，即，所以，，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，同理可得，故選：C.8.已知點(diǎn)、及直線，如果上有且僅有個(gè)點(diǎn)，使得是直角三角形，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】當(dāng)為直角時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，直線與直線有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)為直角時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，直線與直線有一個(gè)公共點(diǎn)，由題意可知，在直線上有且只有一個(gè)點(diǎn)，使得為直角，此時(shí)，，則點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，且該圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，且圓的方程為，所以，直線與圓相切，直線的一般方程為，則，解得.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.已知直線，則（）A.的傾斜角為B.在軸上的截距為C.原點(diǎn)到的距離為1D.與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2【答案】ABC【解析】選項(xiàng)A：直線的傾斜角為，斜率，則，由得，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：令則則在軸上的截距為，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：原點(diǎn)到的距離為，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D：與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（）A. B.C. D.數(shù)列為等比數(shù)列【答案】AB【解析】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，所以，故A正確；數(shù)列的前項(xiàng)和為，故B正確；因?yàn)椋蔆錯(cuò)誤；令，所以數(shù)列為等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.在線段上存在一點(diǎn)，使得B.三棱錐的體積為C.與平面所成角的余弦值的最小值為D.若平面，則平面與正方體的截面面積是【答案】BCD【解析】在棱長(zhǎng)為1的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn)，對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，與不共線，當(dāng)時(shí)，與不共線，因此不平行，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，點(diǎn)到平面的距離，，，則，，因此三棱錐的體積，B正確；對(duì)于C，，設(shè)與平面所成的角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值，C正確；對(duì)于D，，取中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面截正方體的截面為正六邊形，，則，，于是，而，平面，則垂直于該截面，該截面與的交點(diǎn)為，因此平面，截面正六邊形的面積為，D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知兩個(gè)向量，則__________.【答案】【解析】.13.已知圓，直線與交于兩點(diǎn)，則的面積等于__________.【答案】【解析】的圓心為半徑為，故圓心到直線的距離為，弦長(zhǎng)，故.14.已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與的右支交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)的內(nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)，若，則與的內(nèi)切圓的半徑之和的最小值等于______.【答案】2【解析】因?yàn)榈膬?nèi)切圓與邊相切于點(diǎn)，如圖，，為另外兩個(gè)切點(diǎn)，由切線長(zhǎng)定理可知，，，因?yàn)樵谳S上，所以，所以，所以，，，雙曲線的方程為：，如圖，設(shè)兩內(nèi)切圓圓心分別為，，半徑分別為，，設(shè)，，與圓分別相切于點(diǎn)，，，由切線長(zhǎng)定理得，而，兩式相加得，所以是雙曲線的右頂點(diǎn)，軸，所以的橫坐標(biāo)為，同理可求得的橫坐標(biāo)為，則，設(shè)直線的傾斜角為，由雙曲線漸近線為，傾斜角分別為，要使直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，則，有，在，中，有，，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求；（2）若，記，求的值.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由題意知，則，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，又因?yàn)椋裕?16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上.（1）求焦點(diǎn)的坐標(biāo)及的值；（2）設(shè)的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，求過(guò)三點(diǎn)的圓的方程.解：（1）由題意可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)為.點(diǎn)在上，.解得（舍去），.（2）由拋物線可得準(zhǔn)線方程為，所以，.由（1）知.設(shè)過(guò)三點(diǎn)的圓的方程為，代入點(diǎn)得，解得.所以，過(guò)三點(diǎn)的圓的方程為（或者）.17.如圖，在正三棱柱中，為的中點(diǎn)，為棱上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）若，求證：平面；（2）若為的中點(diǎn)，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：正三棱柱平面平面.為正三角形，為中點(diǎn)，.又平面平面平面.又平面，.所以，..又平面,故平面.（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以及過(guò)點(diǎn)且垂直平面的垂線分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可取.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可取