高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省天壹名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線：的傾斜角為（）A.45° B.60° C.120° D.135°【答案】D【解析】因?yàn)橹本€的斜率為-1，所以的傾斜角為135°.故選：D.2.等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)的和，若，，則（）A.50 B.100 C.400 D.500【答案】D【解析】，故選：D.3.已知是直線的方向向量，是平面的法向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，∴，解得，所以C正確.故選：C.4.如圖，已知三棱錐，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（）A B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.故選：C.5.曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】導(dǎo)數(shù)為，可得在處的切線斜率為，切點(diǎn)為，即有在處的切線方程為，即為．故選：D．6.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，解得.故選：A.7.若拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為9，則該拋物線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為，所以，拋物線的方程為.故選：B.8.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，得，，則，，而恒成立，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列雙曲線中，以直線為漸近線的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】由得，因此以為漸近線的雙曲線方程為，即，當(dāng)時(shí)，方程為，即；當(dāng)時(shí)，方程為，即；故選：AD.10.設(shè)圓，直線，則下列結(jié)論正確的為（）A.的半徑為5 B.恒過(guò)定點(diǎn)C.可能與相切 D.當(dāng)時(shí)，被截得的弦長(zhǎng)最短【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，即，∴的半徑為5，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以恒過(guò)定點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，故點(diǎn)在圓C的內(nèi)部，所以一定與圓相交，故C不正確；對(duì)于D，圓心，設(shè)直線恒過(guò)定點(diǎn)，則當(dāng)直線與直線相互垂直時(shí)，被截得的弦長(zhǎng)最短，故，即，則，故D正確.故選：ABD.11.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且滿足，則（）A. B.是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.是等比數(shù)列【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由，得，又，則，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，，不成等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，是等比數(shù)列，C正確；對(duì)于D，由，得，，是等比數(shù)列，D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等差數(shù)列中，，則________.【答案】6【解析】由題意可得，解得，故.13.已知，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則_____.【答案】0或【解析】依題意，，所以或.14.在長(zhǎng)方體中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，當(dāng)平面時(shí)，的值為_____.【答案】【解析】根據(jù)已知條件，建立如圖所示：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，則，令，有，，所以，平面，則，即，解得.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知，．（1）求線段的垂直平分線的直線方程；（2）若一圓的圓心在直線上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該圓的方程．解：（1）因?yàn)?，，所以的中點(diǎn)為，斜率，所以線段的垂直平分線的斜率為，即的直線方程為，化簡(jiǎn)得.（2）聯(lián)立解得，，即圓心為，所以圓的半徑，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得極大值.（1）求的值；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值.解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)闀r(shí)取得極大值；所以，，.①當(dāng)時(shí)，，由解得或；由解得；所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時(shí)取得極小值，不符合題意，所以舍去.②當(dāng)時(shí)，由解得或；由解得；所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時(shí)取得極大值，符合題意.綜上可得：（2）由（1）可知，，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以在上極大值為，極小值為；又由于，函數(shù)在上的最大值是，最小值是.17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn).（1）求與底面所成角的正弦值；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的大小.（1）解：因?yàn)榈酌?，所以在底面上的射影是，所以為與底面所成角，在中，，設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為2，則，則，，所以；（2）證明：因?yàn)榈酌妫酌?，所以，又，，且平面，平面，平面；又因?yàn)槠矫妫挥梢阎?，，且?面，面；（3）解：以坐標(biāo)原點(diǎn)、為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系；設(shè)底面的邊長(zhǎng)為2,則A2,0,0，，，，所以，，，，設(shè)平面與平面的法向量分別為，，則，即，令，則；，即，令，所以；則平面與平面的夾角的余弦值為，所以平面與平面的夾角為.18.點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若直線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)（A，不重合），設(shè)直線，的斜率分別是、，證明：為定值.（1）解：設(shè)點(diǎn)Mx,y，依題意，，即.整理得點(diǎn)的軌跡方程：；（2）證明：由題，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，，.當(dāng)?shù)男甭什粸?時(shí)，則可設(shè)的方程為：，設(shè)Ax1,y1，聯(lián)立：，整理得：；所以，即，且，，又，..綜上所述，為定值.19.若項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足：，我們稱其為階的“對(duì)稱數(shù)列”.例如：數(shù)列1，3，3，1為4階的“對(duì)稱數(shù)列”；數(shù)列8，4，3，4，8為5階的“對(duì)稱數(shù)列”.（1）若數(shù)列為7階的“對(duì)稱數(shù)列”，其中，，，是等差數(shù)列，且，請(qǐng)求出數(shù)列的每一項(xiàng)；（2）若數(shù)列為階的“對(duì)稱數(shù)列”，其中，，，是首項(xiàng)為1、公比為2的等比數(shù)列.①求數(shù)列的前項(xiàng)和；②若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由題知，，，是等差數(shù)列，且，，所以，解得；所以，.由階的“對(duì)稱數(shù)列”的定義可知：，，.所以數(shù)列的每一項(xiàng)依次為2，4，6，8，6，4，2.（2）①由題知：，，，是首項(xiàng)為1、公比為2、項(xiàng)數(shù)為的等比數(shù)列，所以；所以.②若，則為，，，，，，，依題意，，，，是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；，由“對(duì)稱數(shù)列”的定義可知：；且，，，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，；由①可知：；當(dāng)時(shí)，有，；綜上：即：.湖南省天壹名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線：的傾斜角為（）A.45° B.60° C.120° D.135°【答案】D【解析】因?yàn)橹本€的斜率為-1，所以的傾斜角為135°.故選：D.2.等差數(shù)列中，為其前項(xiàng)的和，若，，則（）A.50 B.100 C.400 D.500【答案】D【解析】，故選：D.3.已知是直線的方向向量，是平面的法向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，∴，解得，所以C正確.故選：C.4.如圖，已知三棱錐，點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，，，用，，表示，則等于（）A B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以.故選：C.5.曲線在點(diǎn)處的切線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】導(dǎo)數(shù)為，可得在處的切線斜率為，切點(diǎn)為，即有在處的切線方程為，即為．故選：D．6.已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，解得.故選：A.7.若拋物線上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為9，則該拋物線的方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離為，所以，拋物線的方程為.故選：B.8.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)，求導(dǎo)得，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，得，，則，，而恒成立，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列雙曲線中，以直線為漸近線的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】由得，因此以為漸近線的雙曲線方程為，即，當(dāng)時(shí)，方程為，即；當(dāng)時(shí)，方程為，即；故選：AD.10.設(shè)圓，直線，則下列結(jié)論正確的為（）A.的半徑為5 B.恒過(guò)定點(diǎn)C.可能與相切 D.當(dāng)時(shí)，被截得的弦長(zhǎng)最短【答案】ABD【解析】對(duì)于A，，即，∴的半徑為5，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以恒過(guò)定點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋庶c(diǎn)在圓C的內(nèi)部，所以一定與圓相交，故C不正確；對(duì)于D，圓心，設(shè)直線恒過(guò)定點(diǎn)，則當(dāng)直線與直線相互垂直時(shí)，被截得的弦長(zhǎng)最短，故，即，則，故D正確.故選：ABD.11.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且滿足，則（）A. B.是等比數(shù)列C.是等比數(shù)列 D.是等比數(shù)列【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由，得，又，則，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，，不成等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，是等比數(shù)列，C正確；對(duì)于D，由，得，，是等比數(shù)列，D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等差數(shù)列中，，則________.【答案】6【解析】由題意可得，解得，故.13.已知，兩點(diǎn)到直線的距離相等，則_____.【答案】0或【解析】依題意，，所以或.14.在長(zhǎng)方體中，，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，當(dāng)平面時(shí)，的值為_____.【答案】【解析】根據(jù)已知條件，建立如圖所示：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，，，則，令，有，，所以，平面，則，即，解得.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知，．（1）求線段的垂直平分線的直線方程；（2）若一圓的圓心在直線上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該圓的方程．解：（1）因?yàn)?，，所以的中點(diǎn)為，斜率，所以線段的垂直平分線的斜率為，即的直線方程為，化簡(jiǎn)得.（2）聯(lián)立解得，，即圓心為，所以圓的半徑，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.16.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)取得極大值.（1）求的值；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值.解：（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)闀r(shí)取得極大值；所以，，.①當(dāng)時(shí)，，由解得或；由解得；所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時(shí)取得極小值，不符合題意，所以舍去.②當(dāng)時(shí)，由解得或；由解得；所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時(shí)取得極大值，符合題意.綜上可得：（2）由（1）可知，，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以在上極大值為，極小值為；又由于，函數(shù)在上的最大值是，最小值是.17.如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn).（1）求與底面所成角的正弦值；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的大小.（1）解：因?yàn)榈酌?，所以在底面上的射影是，所以為與底面所成角，在中，，設(shè)底面正方形邊長(zhǎng)為2，則，則，，所以；（2）證明：因?yàn)榈酌妫酌?，所以，又，，且平面，平面，平面；又因?yàn)槠矫妫挥梢阎?，，且?面，面；（3）解：以坐標(biāo)原點(diǎn)、為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標(biāo)系；設(shè)底面的邊長(zhǎng)為2,則A2,0,0，，，，所以，，，，設(shè)平面與平面的法向量分別為，，則，即，令，則；，即，令，所以；則平面與平面的夾角的余弦值為，所以平面與平面的夾角為.18.點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到定直線的距離之比是.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若直線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)（A，不重合），設(shè)直線，的斜率分別是、，證明：為定值.（1）解：設(shè)點(diǎn)Mx,y，依題意，，即.整理得點(diǎn)的軌跡方程：；（2）證明：由題，當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，，.當(dāng)?shù)男甭什粸?時(shí)，則可設(shè)的方程為：，設(shè)Ax1,y1，聯(lián)立：，整理得：；所以，即，且，，又，..綜上所述，為定值.19.若項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列滿足：，我們稱其為階的“對(duì)稱數(shù)列”.例如：數(shù)列1，3，3，1為4階的“對(duì)稱數(shù)列”；數(shù)列8，4，3，4，8為5階的“對(duì)稱數(shù)列”.（1）若數(shù)列為7階的“對(duì)稱數(shù)列”，其中，，，是