高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省楚天協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線，直線，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由直線，則其斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則有，故，由，故.故選：A.2.雙曲線的漸近線方程為，則（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】因?yàn)殡p曲線方程為，所以，所以漸近線方程為，即得，所以.故選：D.3.已知數(shù)列滿足：，，則所有可能的取值的集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，，，，…，所以是周期為3的周期數(shù)列，根據(jù)選項(xiàng)，結(jié)合集合元素?zé)o序性.故選：C.4.如圖，在正四面體中，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】記線段的中點(diǎn)為，由正四面體的性質(zhì)可知，為的重心，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，，所以，，所以所以.故選：B.5.已知事件，滿足，，則（）A.若與相互獨(dú)立，則B.若與互斥，C.因?yàn)?，所以與相互對(duì)立D.若，則【答案】D【解析】選項(xiàng)A，若與相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立，所以，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，若與互斥，則，不可能同時(shí)發(fā)生，即，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，，則由于不確定與是否互斥，所以無(wú)法確定兩事件是否對(duì)立，如拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察試驗(yàn)的結(jié)果，設(shè)事件“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”；事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不大于3”，則，，但事件，并不互斥，也不對(duì)立，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，若，則，則，故D正確.故選：D.6.已知圓上的所有點(diǎn)都在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，配方得，則該圓圓心為，半徑為3，由題意可得解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.7.已知是等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且滿足，，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，則得到，故，得或1（舍去），，.設(shè)，由等比數(shù)列性質(zhì)可知，數(shù)列也為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為4，故.故選：C.8.已知雙曲線與直線相交于，兩點(diǎn)，其中中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，中點(diǎn)，則，，，兩式相減得，經(jīng)檢驗(yàn)成立.所以該雙曲線的離心率為.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.的前10項(xiàng)和為50 B.是遞增數(shù)列C.當(dāng)時(shí)，取得最小值 D.若，則的最小值為11【答案】ABD【解析】設(shè)公差為，則，，，，對(duì)于A：，知A正確；對(duì)于B，由知B正確；對(duì)于C，由通項(xiàng)公式知道，知C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由時(shí)，，且，知D正確.故選：ABD.10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則（）A.直線與所成角的余弦值為B.平面C.點(diǎn)到直線的距離為1D.在上的投影向量為【答案】BC【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，且，分別為棱，的中點(diǎn)，可知，，可得，，，，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋灾本€與所成角的余弦值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，所以，，因?yàn)?，所以平面，B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄康哪ｉL(zhǎng)為，且，點(diǎn)到直線的距離為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：在上的投影向量為，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，過(guò)，分別作直線的垂線，垂足依次為，，若長(zhǎng)的最小值為4，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.若的傾斜角為，點(diǎn)在第一象限，則C.若，則的斜率為1D.若點(diǎn)，在上，且，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A：由題意得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)殚L(zhǎng)的最小值為4，所以，解得，故A正確對(duì)于B：所以拋物線的方程為，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，所以，，所以，，由拋物線的定義可得，，，若的傾斜角為，則，所以，，所以，，所以，，所以，，所以，故B正確；對(duì)于C：若，則，所以，所以，所以，所以，解得，所以直線的斜率為1或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)，，由，得為的重心，所以，，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為______.【答案】【解析】設(shè)與直線平行且與橢圓相切直線方程為，聯(lián)立方程，消去得整理得，所以，解得，當(dāng)時(shí)，兩平行直線的距離為，當(dāng)時(shí)，兩平行直線的距離為.所以點(diǎn)到直線的最短距離為.13.已知圓，圓，其中，，若兩圓外切，則的取值范圍為______.【答案】【解析】圓，則，半徑，圓，則，半徑，因?yàn)閮蓤A外切，所以，即，即，則點(diǎn)在以為圓心，半徑為2的圓上，即在圓上，令，則表示過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)的直線的斜率，則該直線一定過(guò)點(diǎn)，且與圓有公共點(diǎn)，由題意作圖，由圖可知該直線斜率一定存在（若斜率不存在，則直線與圓相離），設(shè)該直線方程為，即，設(shè)圓心到直線的距離為，則，即解得，即的取值范圍是.14.在長(zhǎng)方體（如圖1）中，已知，，上底面繞著其中心旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)十面體（如圖2），則該十面體的外接球的體積為______.【答案】【解析】該十面體的外接球的球心是上下底面中心連線的中點(diǎn)，該點(diǎn)到該十面體每個(gè)頂點(diǎn)的距離均為，所以這個(gè)十面體的外接球的半徑為，所以體積.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，將兩次得到的點(diǎn)數(shù)分別記為，.（1）求是奇數(shù)的概率；（2）求直線與雙曲線有公共點(diǎn)的概率.解：（1）由題意可知，基本事件的總數(shù)為：.設(shè)“是奇數(shù)”為事件，則事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，共18個(gè)，所以.（2）設(shè)“直線與雙曲線有公共點(diǎn)”為事件，因?yàn)殡p曲線的漸近線為，所以，得，則事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè),故16.已知圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的圓心為，直線過(guò)點(diǎn).（1）若直線與圓相切，求直線的方程；（2）若直線與圓交于，兩點(diǎn)，，求直線的方程.解：（1）由題意可知圓的圓心坐標(biāo)，半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，此時(shí)直線與圓相切，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，化為一般式：，直線與圓相切，則，解得，所以直線的方程為：，即，綜上，當(dāng)直線與圓相切，直線的方程為或；（2）圓的圓心坐標(biāo)，半徑，設(shè)，因?yàn)閳A關(guān)于直線的對(duì)稱圓的圓心為，所以，解得，即圓的圓心為，半徑為4，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，直線的方程，此時(shí)圓心到直線距離等于，，符合；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，直線的方程為，化為一般式：，圓心到直線的距離，若直線與圓交于，兩點(diǎn)，，根據(jù)勾股定理可得，即，解得，所以直線的方程為或.17.如圖，在五棱錐中，平面平面，，.（1）證明：平面；（2）若四邊形為正方形，且，，為邊的中點(diǎn)，，當(dāng)取何值時(shí)，直線與平面所成的角最小.（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫?，平面，平面平面所以平面，又平面，所以，又因，，且，平面所以平?（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直間直角坐標(biāo)系.由，則，，，可得與軸夾角為，所以，，，，，平面的法向量記為，由得，令，得，，即，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即時(shí)，直線與平面的所成的角取得最小值.18.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（3）在與之間插入個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在3項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的3項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由，得，兩式相減，得.數(shù)列是等比數(shù)列，又時(shí)，代入可得，，.（2）因?yàn)椋裕?，則②，①-②得，因此，.（3）由題意得，即，故，假設(shè)在數(shù)列中存在三項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，即，①、、成等差數(shù)列，，則①式可化為，故.這與題設(shè)矛盾，在數(shù)列中不存在三項(xiàng)，，（其中，，成等差數(shù)列）成等比數(shù)列19.已知點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換的作用下，點(diǎn)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換.如：在變換的作用下得到.（1）已知曲線在的作用下得到曲線，求的方程；（2）已知橢圓在變換下保持位置關(guān)系不變性，即點(diǎn)在曲線上，在變換下點(diǎn)也在曲線上；直線與相切，在變換下直線與曲線也相切.已知點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，直線是在處的切線.用上述結(jié)論求的方程；（3）已知直線與曲線在第四象限的交點(diǎn)為，在處的切線被所截得的弦長(zhǎng)記為，求.解：（1）設(shè)上任意一點(diǎn)，上任意一點(diǎn)，由題意得，所以，得，所以的方程為，（2）橢圓上任意一點(diǎn)在變換下的上對(duì)應(yīng)點(diǎn)，所以代入可得，所以的方程為，點(diǎn)在變換下的的坐標(biāo)為，所以直線與圓在處相切，設(shè)直線在處與圓相切，在上任取不同于的點(diǎn)，所以，所以，即，所以圓在點(diǎn)處的切線為，所以圓在的切線為，設(shè)上任取一點(diǎn)，則對(duì)應(yīng)于直線上一點(diǎn)，則有代入，得，所以的方程為（3）由，解得，即，由（2）得在處的切線方程為，設(shè)在處的切線與交于兩點(diǎn)分別為，，由，消元得，整理得，所以，，所以，所以.湖北省楚天協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線，直線，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由直線，則其斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則有，故，由，故.故選：A.2.雙曲線的漸近線方程為，則（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】因?yàn)殡p曲線方程為，所以，所以漸近線方程為，即得，所以.故選：D.3.已知數(shù)列滿足：，，則所有可能的取值的集合為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，，，，，，…，所以是周期為3的周期數(shù)列，根據(jù)選項(xiàng)，結(jié)合集合元素?zé)o序性.故選：C.4.如圖，在正四面體中，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，垂足為點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】記線段的中點(diǎn)為，由正四面體的性質(zhì)可知，為的重心，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，所以，，所以，，所以所以.故選：B.5.已知事件，滿足，，則（）A.若與相互獨(dú)立，則B.若與互斥，C.因?yàn)?，所以與相互對(duì)立D.若，則【答案】D【解析】選項(xiàng)A，若與相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立，所以，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，若與互斥，則，不可能同時(shí)發(fā)生，即，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，，則由于不確定與是否互斥，所以無(wú)法確定兩事件是否對(duì)立，如拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察試驗(yàn)的結(jié)果，設(shè)事件“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”；事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不大于3”，則，，但事件，并不互斥，也不對(duì)立，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，若，則，則，故D正確.故選：D.6.已知圓上的所有點(diǎn)都在第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，配方得，則該圓圓心為，半徑為3，由題意可得解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A.7.已知是等比數(shù)列，前項(xiàng)和為，且滿足，，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，則得到，故，得或1（舍去），，.設(shè)，由等比數(shù)列性質(zhì)可知，數(shù)列也為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為，公比為4，故.故選：C.8.已知雙曲線與直線相交于，兩點(diǎn)，其中中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)，中點(diǎn)，則，，，兩式相減得，經(jīng)檢驗(yàn)成立.所以該雙曲線的離心率為.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.的前10項(xiàng)和為50 B.是遞增數(shù)列C.當(dāng)時(shí)，取得最小值 D.若，則的最小值為11【答案】ABD【解析】設(shè)公差為，則，，，，對(duì)于A：，知A正確；對(duì)于B，由知B正確；對(duì)于C，由通項(xiàng)公式知道，知C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由時(shí)，，且，知D正確.故選：ABD.10.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則（）A.直線與所成角的余弦值為B.平面C.點(diǎn)到直線的距離為1D.在上的投影向量為【答案】BC【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，且，分別為棱，的中點(diǎn)，可知，，可得，，，，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，所以直線與所成角的余弦值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，所以，，因?yàn)椋云矫?，B選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)樵诜较蛏系耐队跋蛄康哪ｉL(zhǎng)為，且，點(diǎn)到直線的距離為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：在上的投影向量為，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知直線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，且與交于，兩點(diǎn)，過(guò)，分別作直線的垂線，垂足依次為，，若長(zhǎng)的最小值為4，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.若的傾斜角為，點(diǎn)在第一象限，則C.若，則的斜率為1D.若點(diǎn)，在上，且，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A：由題意得拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)殚L(zhǎng)的最小值為4，所以，解得，故A正確對(duì)于B：所以拋物線的方程為，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，得，所以，，所以，，由拋物線的定義可得，，，若的傾斜角為，則，所以，，所以，，所以，，所以，，所以，故B正確；對(duì)于C：若，則，所以，所以，所以，所以，解得，所以直線的斜率為1或，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：設(shè)，，由，得為的重心，所以，，所以，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.橢圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為______.【答案】【解析】設(shè)與直線平行且與橢圓相切直線方程為，聯(lián)立方程，消去得整理得，所以，解得，當(dāng)時(shí)，兩平行直線的距離為，當(dāng)時(shí)，兩平行直線的距離為.所以點(diǎn)到直線的最短距離為.13.已知圓，圓，其中，，若兩圓外切，則的取值范圍為______.【答案】【解析】圓，則，半徑，圓，則，半徑，因?yàn)閮蓤A外切，所以，即，即，則點(diǎn)在以為圓心，半徑為2的圓上，即在圓上，令，則表示過(guò)點(diǎn)與點(diǎn)的直線的斜率，則該直線一定過(guò)點(diǎn)，且與圓有公共點(diǎn)，由題意作圖，由圖可知該直線斜率一定存在（若斜率不存在，則直線與圓相離），設(shè)該直線方程為，即，設(shè)圓心到直線的距離為，則，即解得，即的取值范圍是.14.在長(zhǎng)方體（如圖1）中，已知，，上底面繞著其中心旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)十面體（如圖2），則該十面體的外接球的體積為______.【答案】【解析】該十面體的外接球的球心是上下底面中心連線的中點(diǎn)，該點(diǎn)到該十面體每個(gè)頂點(diǎn)的距離均為，所以這個(gè)十面體的外接球的半徑為，所以體積.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，將兩次得到的點(diǎn)數(shù)分別記為，.（1）求是奇數(shù)的概率；（2）求直線與雙曲線有公共點(diǎn)的概率.解：（1）由題意可知，基本事件的總數(shù)為：.設(shè)“是奇數(shù)”為事件，則事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，共18個(gè)，所以.（2）設(shè)“直線與雙曲線有公共點(diǎn)”為事件，因?yàn)殡p曲線的漸近線為，所以，得，則事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共15個(gè),故16.已知圓關(guān)于直線的對(duì)稱圓的圓心為，直線過(guò)點(diǎn).（1）若直線與圓相切，求直線的方程；（2）若直線與圓交于，兩點(diǎn)，，求直線的方程.解：（1）由題意可知圓的圓心坐標(biāo)，半徑，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，此時(shí)直線與圓相切，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，化為一般式：，直線與圓相切，則，解得，所以直線的方程為：，即，綜上，當(dāng)直線與圓相切，直線的方程為或；（2）圓的圓心坐標(biāo)，半徑，設(shè)，因?yàn)閳A關(guān)于直線的對(duì)稱圓的圓心為，所以，解得，即圓的圓心為，半徑為4，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，直線的方程，此時(shí)圓心到直線距離等于，，符合；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，直線的方程為，化為一般式：，圓心到直線的距離，若直線與圓交于，兩點(diǎn)，，根據(jù)勾股定理可得，即，解得，所以直線的方程為或.17.如圖，在五棱錐中，平面平面，，.（1）證明：平面；（2）若四邊形為正方形，且，，為邊的中點(diǎn)，，當(dāng)取何值時(shí)，直線與平面所成的角最小.（1）證明：因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面，平面平面所以平面，又平面，所以，又因，，且，平面所以平?（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸建立空間直間直角坐標(biāo)系.由，則，，，可得與軸夾角為，所以，，，，，