高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1甘肅省慶陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末教情學(xué)情監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.5名畢業(yè)生分別從4家公司中選擇一家實(shí)習(xí)，不同選法的種數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】每個(gè)畢業(yè)生都有4種不同選法，所以不同選法的種數(shù)為.故選：D.2.直線(xiàn)l：的一個(gè)方向向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線(xiàn)：的斜率為，因此的一個(gè)方向向量為，而向量，則是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，B是；其余選項(xiàng)所給向量與向量都不共線(xiàn)，ACD不是.故選：B.3.若橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值為（）A.1 B.1或5 C.5 D.3或5【答案】C【解析】根據(jù)左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，且焦點(diǎn)在軸上，結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故.故選：C.4.在等比數(shù)列中，若，，則（）A. B. C.32 D.16【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，得，所以.故選：C.5.已知拋物線(xiàn)C：（）的焦點(diǎn)為F，M是y軸上一點(diǎn)，線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)交C于點(diǎn)N，若，則（）A.2 B. C. D.4【答案】A【解析】記拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，如圖，作于D點(diǎn)，交y軸于A點(diǎn)，則，因?yàn)椋詾榈闹悬c(diǎn)，所以，，解得．故選：A．6.圓與圓的公切線(xiàn)的條數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)椋蕛蓤A外切，因此，兩圓的公切線(xiàn)條數(shù)為.故選：B.7.已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線(xiàn)左支上的動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，則，且，可得，則，，，所以，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，如下圖所示：雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，且，同理可得，由雙曲線(xiàn)的定義可得，所以，，所以，的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)為線(xiàn)段與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，所以，周長(zhǎng)的最小值為.故選：A.8.已知數(shù)列，，，且，則數(shù)列的前2023項(xiàng)之和為（）A.0 B.2 C.2024 D.4048【答案】B【解析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為：.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于二項(xiàng)式，下列說(shuō)法正確的是（）A.其展開(kāi)式一共有項(xiàng) B.其展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為C.其展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為 D.其展開(kāi)式的第三項(xiàng)為【答案】BC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，其展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，其展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，其展開(kāi)式的第三項(xiàng)為，D錯(cuò).故選：BC.10.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，，則（）A. B.數(shù)列是遞減數(shù)列 C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由，得，A正確；對(duì)于B，由，得，等差數(shù)列的公差，數(shù)列是遞減數(shù)列，B正確；對(duì)于C，等差數(shù)列的前8項(xiàng)都為正，第9項(xiàng)為0，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：ABD.11.已知點(diǎn)F是拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A且斜率為k的直線(xiàn)l與C交于M，N兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.k的取值范圍為 B.C.若，則或 D.點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線(xiàn)NF上【答案】ABD【解析】拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)，點(diǎn)，直線(xiàn)，對(duì)于A，由消去得：，依題意，，解得且，因此k的取值范圍為，A正確；對(duì)于B，過(guò)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，則，因此，即，B正確；對(duì)于C，由，得，設(shè)，則，而，聯(lián)立解得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的斜率，，令點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則直線(xiàn)的斜率，而直線(xiàn)與直線(xiàn)有公共點(diǎn)，因此點(diǎn)在直線(xiàn)上，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________.【答案】【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，由得，則含的項(xiàng)為，系數(shù)為.13.若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則直線(xiàn)與之間的距離為_(kāi)_________.【答案】【解析】由與平行，得，解得，故兩直線(xiàn)方程分別為，所以直線(xiàn)與之間的距離為.14.在數(shù)列中，首項(xiàng)，時(shí)，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)_________.【答案】【解析】在數(shù)列中，首項(xiàng)，時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，所以，，，，，上述等式全部相乘得，則，也滿(mǎn)足，故對(duì)任意的，，所以，，所以數(shù)列的前和為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，，為數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求的值．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得：，．（2），，解得：．16.已知件不同的產(chǎn)品中有件次品，現(xiàn)對(duì)這件產(chǎn)品一一進(jìn)行測(cè)試，直至找到所有次品并立即停止測(cè)試.（1）若恰在第次測(cè)試時(shí)，找到第一件次品，第次測(cè)試時(shí)，找到第二件次品，則共有多少種不同的測(cè)試情況？（2）若至多測(cè)試次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測(cè)試情況？解：（1）若恰在第次測(cè)試時(shí)，找到第一件次品，第次測(cè)試時(shí)，找到第二件次品，則第一、三、四次抽到的都是正品，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的測(cè)試情況種數(shù)為種.（2）分以下兩種情況討論：（i）測(cè)試次找到所有次品，不同的測(cè)試情況種數(shù)為種；（ii）測(cè)試次找到所有的次品，則第三次抽到次品，前兩次有一次抽到正品，則不同的測(cè)試情況種數(shù)為種.綜上所述，不同的測(cè)試情況種數(shù)為種.17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由題意得，又，所以，所以是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，故.（2）由（1）知，則，①，②①與②兩式相減得，故18.在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)l與C交于不同的兩點(diǎn)A，B.（1）求軌跡C的方程；（2）求斜率k的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo).解：（1）設(shè)，則，所以點(diǎn)P的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，故，故軌跡C的方程為；（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)l的方程為，聯(lián)立與得，，，解得或，故斜率k的取值范圍是或；（3）時(shí)，，聯(lián)立得，，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故或.19.定義：若橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0上的兩個(gè)點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,（1）求橢圓的方程；（2）求“共軛點(diǎn)對(duì)”中點(diǎn)所在直線(xiàn)的方程；（3）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，，（2）中的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于，設(shè)四點(diǎn)在橢圓上逆時(shí)針排列.證明：四邊形的面積小于.解：（1）依題意，，解得所以橢圓的方程為.（2）因?yàn)?，所以，所以，所以點(diǎn)所在的直線(xiàn)的方程為.（3）由（2）知，直線(xiàn)，聯(lián)立，解得或，則，設(shè)點(diǎn)，則，兩式相減得，又，于是，所以，所以，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)在上，故線(xiàn)段被直線(xiàn)平分，設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則四邊形的面積，而，故，設(shè)過(guò)點(diǎn)且與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)的方程為，則當(dāng)與相切時(shí)，最大，由，消去得，令，解得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程為，即，解得，則此時(shí)點(diǎn)或點(diǎn)必有一個(gè)和點(diǎn)重合，不符合條件，從而直線(xiàn)與不可能相切，即小于平行直線(xiàn)和（或）的距離，所以，得證.甘肅省慶陽(yáng)市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末教情學(xué)情監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.5名畢業(yè)生分別從4家公司中選擇一家實(shí)習(xí)，不同選法的種數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】每個(gè)畢業(yè)生都有4種不同選法，所以不同選法的種數(shù)為.故選：D.2.直線(xiàn)l：的一個(gè)方向向量為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直線(xiàn)：的斜率為，因此的一個(gè)方向向量為，而向量，則是直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，B是；其余選項(xiàng)所給向量與向量都不共線(xiàn)，ACD不是.故選：B.3.若橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的值為（）A.1 B.1或5 C.5 D.3或5【答案】C【解析】根據(jù)左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得，且焦點(diǎn)在軸上，結(jié)合橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故.故選：C.4.在等比數(shù)列中，若，，則（）A. B. C.32 D.16【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，得，所以.故選：C.5.已知拋物線(xiàn)C：（）的焦點(diǎn)為F，M是y軸上一點(diǎn)，線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)交C于點(diǎn)N，若，則（）A.2 B. C. D.4【答案】A【解析】記拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，如圖，作于D點(diǎn)，交y軸于A點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，所以，，解得．故選：A．6.圓與圓的公切線(xiàn)的條數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，因?yàn)?，故兩圓外切，因此，兩圓的公切線(xiàn)條數(shù)為.故選：B.7.已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線(xiàn)左支上的動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，則，且，可得，則，，，所以，雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，如下圖所示：雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，且，同理可得，由雙曲線(xiàn)的定義可得，所以，，所以，的周長(zhǎng)為，當(dāng)且僅當(dāng)為線(xiàn)段與雙曲線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立，所以，周長(zhǎng)的最小值為.故選：A.8.已知數(shù)列，，，且，則數(shù)列的前2023項(xiàng)之和為（）A.0 B.2 C.2024 D.4048【答案】B【解析】當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為：.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于二項(xiàng)式，下列說(shuō)法正確的是（）A.其展開(kāi)式一共有項(xiàng) B.其展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為C.其展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為 D.其展開(kāi)式的第三項(xiàng)為【答案】BC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)為，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，其展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，其展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，其展開(kāi)式的第三項(xiàng)為，D錯(cuò).故選：BC.10.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，，則（）A. B.數(shù)列是遞減數(shù)列 C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由，得，A正確；對(duì)于B，由，得，等差數(shù)列的公差，數(shù)列是遞減數(shù)列，B正確；對(duì)于C，等差數(shù)列的前8項(xiàng)都為正，第9項(xiàng)為0，則，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，D正確.故選：ABD.11.已知點(diǎn)F是拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A且斜率為k的直線(xiàn)l與C交于M，N兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.k的取值范圍為 B.C.若，則或 D.點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在直線(xiàn)NF上【答案】ABD【解析】拋物線(xiàn)C：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)，點(diǎn)，直線(xiàn)，對(duì)于A，由消去得：，依題意，，解得且，因此k的取值范圍為，A正確；對(duì)于B，過(guò)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為，則，因此，即，B正確；對(duì)于C，由，得，設(shè)，則，而，聯(lián)立解得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的斜率，，令點(diǎn)M關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，則直線(xiàn)的斜率，而直線(xiàn)與直線(xiàn)有公共點(diǎn)，因此點(diǎn)在直線(xiàn)上，D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_________.【答案】【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，由得，則含的項(xiàng)為，系數(shù)為.13.若直線(xiàn)與直線(xiàn)平行，則直線(xiàn)與之間的距離為_(kāi)_________.【答案】【解析】由與平行，得，解得，故兩直線(xiàn)方程分別為，所以直線(xiàn)與之間的距離為.14.在數(shù)列中，首項(xiàng)，時(shí)，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)_________.【答案】【解析】在數(shù)列中，首項(xiàng)，時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，所以，，，，，上述等式全部相乘得，則，也滿(mǎn)足，故對(duì)任意的，，所以，，所以數(shù)列的前和為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，，為數(shù)列的前項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求的值．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得：，．（2），，解得：．16.已知件不同的產(chǎn)品中有件次品，現(xiàn)對(duì)這件產(chǎn)品一一進(jìn)行測(cè)試，直至找到所有次品并立即停止測(cè)試.（1）若恰在第次測(cè)試時(shí)，找到第一件次品，第次測(cè)試時(shí)，找到第二件次品，則共有多少種不同的測(cè)試情況？（2）若至多測(cè)試次就能找到所有次品，則共有多少種不同的測(cè)試情況？解：（1）若恰在第次測(cè)試時(shí)，找到第一件次品，第次測(cè)試時(shí)，找到第二件次品，則第一、三、四次抽到的都是正品，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的測(cè)試情況種數(shù)為種.（2）分以下兩種情況討論：（i）測(cè)試次找到所有次品，不同的測(cè)試情況種數(shù)為種；（ii）測(cè)試次找到所有的次品，則第三次抽到次品，前兩次有一次抽到正品，則不同的測(cè)試情況種數(shù)為種.綜上所述，不同的測(cè)試情況種數(shù)為種.17.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）由題意得，又，所以，所以是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，故.（2