高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市東城區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試卷第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.若直線l過，兩點，則直線l的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，直線的斜率，∴直線l的傾斜角為.故選：A.2.已知向量，，若，則實數(shù)k的值為（）A.6 B.2 C. D.【答案】D【解析】因，，所以，所以，.故選：D.3.已知直線，，若，則實數(shù)a的值為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，解得.故選：C.4.已知拋物線的準線方程為，則p的值為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】由題意得，拋物線的準線方程為，∴，解得.故選：B.5.在一次業(yè)余歌唱比賽中，隨機從觀眾中抽出10人擔任評委．下面是他們給某位選手的打分情況：43444545464849495051設(shè)這10個分數(shù)的平均數(shù)為，再從中去掉一個最高分，去掉一個最低分，設(shè)剩余8個分數(shù)的平均數(shù)為，則（）A. B.且C.且 D.且【答案】A【解析】由題意得，，，∴.故選：A.6.如圖，在棱長為2的正方體中，M為棱的中點，則點C到平面的距離為（）A.5 B. C.1 D.【答案】D【解析】由條件可知，平面，平面，所以，，設(shè)點到平面的距離為，由，所以，解得：.故選：D.7.做一個木梯需要7根橫梁，這7根橫梁的長度從上到下成等差數(shù)列，現(xiàn)有長為的一根木桿剛好可以截成最上面的三根橫梁，長為的一根木桿剛好可以截成最下面的三根橫梁，那么正中間的一根橫梁的長度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】記7根橫梁的長度從上到下成等差數(shù)列，由題意得，，，∴，，故，，∵，∴，即正中間的一根橫梁的長度是.故選：B.8.設(shè)坐標原點為O，拋物線的焦點為F，M為線段的中點，過點M且垂直于x軸的直線與拋物線C的一個公共點為D，若的周長為8，則p的值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】拋物線的方程為，，，M為線段的中點，，過點且垂直于軸的直線為，點的橫坐標為，點在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義，，由題意可知，，的周長為8，，即，.故選：B.9.已知點，，直線，記點A到直線l的距離為，點B到直線l的距離為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由題意得，.由得，，令，則，滿足，但，故充分性不成立；令，滿足，但，，，故必要性不成立.所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.10.在平面直角坐標系中，圓C截x軸所得弦長為1，截y軸所得弦長為2，則這樣的圓C的面積（）A.有最大值，有最小值 B.有最大值，無最小值C.無最大值，有最小值 D.無最大值，無最小值【答案】C【解析】如圖，圓C與軸交于兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于兩點（點在點的上方），設(shè)，則線段中點坐標為，線段中點坐標為，∵，∴，由得，，整理得，即，由得，，∴圓的半徑，即圓的半徑無最大值，有最小值1，∴圓C的面積無最大值，有最小值.故選：C.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題，共5小題，每小題5分，共25分.11.等比數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的前5項和是____________．【答案】11【解析】設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，所以，所以，，所以.12.雙曲線的離心率為____________，漸近線方程為____________．【答案】【解析】由題可得雙曲線的焦點在x軸上，且，所以雙曲線的離心率為，漸近線方程為.13.已知均為空間向量，其中，，，若從這4個向量中任取3個向量，均能構(gòu)成空間中的一組基底，則向量的坐標可以為____________．【答案】（答案不唯一）【解析】∵，，，∴，∴，∴可以構(gòu)成空間的單位正交基底，設(shè)，則，∵從這4個向量中任取3個向量，均能構(gòu)成空間中的一組基底，∴與中的任意兩個向量均不共面，根據(jù)平面向量基本定理可得均不為零，∴向量的坐標可以為（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）.14.某景觀亭（如圖1）的上部可視為正四棱錐（如圖2）．已知長為4米，且平面平面，則頂點S到直線的距離為____________米；正四棱錐的側(cè)面積為____________平方米．【答案】【解析】設(shè)平面和平面交于過點的直線，因為，平面，平面，所以平面，平面，且平面平面，所以，取的中點，連結(jié)，，，即，，因為平面平面，所以，且，，所以，所以點到的距離為；正四棱錐的側(cè)面積為.15.關(guān)于曲線，，給出下列四個結(jié)論：①對任意，曲線與直線沒有公共點；②對任意，曲線上的點的橫坐標的取值范圍為R；③對任意，曲線為軸對稱圖形；④當為奇數(shù)時，曲線與軸、軸所圍成區(qū)域的面積為，則．其中所有正確結(jié)論的序號是____________．【答案】①③④【解析】對①：令，則，故曲線與直線沒有公共點，故①正確；對②：當時，有，則，故②錯誤；對③：若為奇數(shù)，則對點，有，故對任意點在曲線上，點也在曲線上，此時曲線關(guān)于直線對稱，若為偶數(shù)，則對點，有，故對任意點在曲線上，點也在曲線上，此時曲線關(guān)于直線對稱，故③正確；對④：當為奇數(shù)時，令，則y=-1，令，則，故曲線與軸、軸分別交于點1,0、，故即為曲線在的部分與軸、軸所圍成圖形面積，對曲線與上橫坐標相同的點、，當x∈0,1時，有，則，有，則，則，即當x∈0,1時，，即，即在x∈0,1，曲線與曲線上橫坐標相同的點，曲線上的點的縱坐標的絕對值都小于曲線上的點的縱坐標的絕對值，且兩者的絕對值都小于，則，故④正確.故答案為：①③④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.從某小區(qū)隨機抽取了100戶居民進行了網(wǎng)費調(diào)查，將他們的網(wǎng)費分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）根據(jù)該頻率分布直方圖，求x的值；（2）已知該小區(qū)共2000戶，估計該小區(qū)中網(wǎng)費落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)；（3）假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點值代替，估計該小區(qū)的戶均網(wǎng)費．解：（1）由該頻率分布直方圖，得．（2）在樣本中，網(wǎng)費落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，所以估計該小區(qū)中網(wǎng)費落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)約為戶．（3）由（1）可知，這六個組頻率分別為0.06，0.12，0.22，0.30，0.18，0.12．因為同組中每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點值代替，估計該樣本的平均值約為．所以估計該小區(qū)的戶均網(wǎng)費為189元．17.已知圓與x軸相切．（1）求圓C的圓心坐標及半徑；（2）直線與圓C交于A，B兩點，求線段的長．解：（1）配方得，由此可得圓心坐標為．因為圓C與x軸相切，所以圓心到x軸的距離為．所以半徑長為2．（2）因為直線與圓C交于A，B兩點，所以圓心C到直線l距離為．由（Ⅰ）可知，所以．18.如圖，在長方體中，，．（1）求證：平面；（2）若點P是線段的中點，求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：由題意得，四邊形為正方形，∴．∵平面，平面，∴，∵，平面，，∴平面．（2）解：如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，則，，，，，．∴，，．由（1）得，是平面的一個法向量．設(shè)平面的一個法向量為，則即令，得，，故．設(shè)平面與平面的夾角為，則．∴平面與平面的夾角的余弦值為．19.已知數(shù)列滿足：，．（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求的通項公式以及前n項和；（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，求的通項公式．解：（1）因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以．所以．所以，即，解得．所以數(shù)列的通項公式，即，所以數(shù)列的前n項和，即．（2）因為數(shù)列是等比數(shù)列，所以．由，得，即，解得．所以．數(shù)列的通項公式為．20.已知橢圓的離心率為，并且經(jīng)過點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）直線與橢圓C交于不同的兩點A，B，點M是線段的中點，直線過點M，且與直線l垂直．記直線與y軸的交點為N．請問：是否存在直線l，使得？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．解：（1）由題意橢圓的離心率為，并且經(jīng)過點,可知，，所以．所以．所以橢圓C的標準方程為．（2）設(shè)，，．聯(lián)立，整理得，，．從而，．．，因為M是線段的中點，所以，則，故．直線的方程為，即．令，得，則，所以．欲使，只需，，解得，滿足要求．所以，故存在滿足要求的直線l，其方程為，即或．21.設(shè)n為正整數(shù)，集合，對于集合中的任意元素和，記．設(shè)是的子集，且滿足：對于中的任意兩個不同的元素，，都有，則稱集合具有性質(zhì)．（1）當時，若，，求，的值；（2）已知正整數(shù)，集合為的子集．求證：“集合具有性質(zhì)”的充要條件為“對中任意兩個不同的元素，都有，且”；（3）給定不小于2的偶數(shù)n，設(shè)具有性質(zhì)，求集合中元素個數(shù)的最大值．解：（1）因為，，由定義可知：，．（2）①若集合具有性質(zhì)，任取中不同元素，，令，，有．由的定義可知，對任意正整數(shù)n，都有，所以有，．②若對中任意兩個不同的元素，，都有，，那么．綜上，結(jié)論成立．（3）設(shè)具有性質(zhì)的集合的元素個數(shù)最大值為，下證：，，其中n為偶數(shù)．當時，則，由于，，，則，，中至多有一個屬于，當時，元素個數(shù)取到最大值為2．即．一方面，若集合，分別具有性質(zhì)，，令集合，其中，對中任意兩個不同的元素，，都有，由于，因此．另一方面，設(shè)具有性質(zhì)的集合元素個數(shù)取到最大值為，設(shè)和為的兩個不同元素，則有．因此，，由于，因此．綜上，，n為偶數(shù)．所以．北京市東城區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末統(tǒng)一檢測數(shù)學(xué)試卷第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1.若直線l過，兩點，則直線l的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意得，直線的斜率，∴直線l的傾斜角為.故選：A.2.已知向量，，若，則實數(shù)k的值為（）A.6 B.2 C. D.【答案】D【解析】因，，所以，所以，.故選：D.3.已知直線，，若，則實數(shù)a的值為（）A.3 B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴，解得.故選：C.4.已知拋物線的準線方程為，則p的值為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】B【解析】由題意得，拋物線的準線方程為，∴，解得.故選：B.5.在一次業(yè)余歌唱比賽中，隨機從觀眾中抽出10人擔任評委．下面是他們給某位選手的打分情況：43444545464849495051設(shè)這10個分數(shù)的平均數(shù)為，再從中去掉一個最高分，去掉一個最低分，設(shè)剩余8個分數(shù)的平均數(shù)為，則（）A. B.且C.且 D.且【答案】A【解析】由題意得，，，∴.故選：A.6.如圖，在棱長為2的正方體中，M為棱的中點，則點C到平面的距離為（）A.5 B. C.1 D.【答案】D【解析】由條件可知，平面，平面，所以，，設(shè)點到平面的距離為，由，所以，解得：.故選：D.7.做一個木梯需要7根橫梁，這7根橫梁的長度從上到下成等差數(shù)列，現(xiàn)有長為的一根木桿剛好可以截成最上面的三根橫梁，長為的一根木桿剛好可以截成最下面的三根橫梁，那么正中間的一根橫梁的長度是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】記7根橫梁的長度從上到下成等差數(shù)列，由題意得，，，∴，，故，，∵，∴，即正中間的一根橫梁的長度是.故選：B.8.設(shè)坐標原點為O，拋物線的焦點為F，M為線段的中點，過點M且垂直于x軸的直線與拋物線C的一個公共點為D，若的周長為8，則p的值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】拋物線的方程為，，，M為線段的中點，，過點且垂直于軸的直線為，點的橫坐標為，點在拋物線上，根據(jù)拋物線的定義，，由題意可知，，的周長為8，，即，.故選：B.9.已知點，，直線，記點A到直線l的距離為，點B到直線l的距離為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由題意得，.由得，，令，則，滿足，但，故充分性不成立；令，滿足，但，，，故必要性不成立.所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.10.在平面直角坐標系中，圓C截x軸所得弦長為1，截y軸所得弦長為2，則這樣的圓C的面積（）A.有最大值，有最小值 B.有最大值，無最小值C.無最大值，有最小值 D.無最大值，無最小值【答案】C【解析】如圖，圓C與軸交于兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于兩點（點在點的上方），設(shè)，則線段中點坐標為，線段中點坐標為，∵，∴，由得，，整理得，即，由得，，∴圓的半徑，即圓的半徑無最大值，有最小值1，∴圓C的面積無最大值，有最小值.故選：C.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題，共5小題，每小題5分，共25分.11.等比數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的前5項和是____________．【答案】11【解析】設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為，所以，所以，，所以.12.雙曲線的離心率為____________，漸近線方程為____________．【答案】【解析】由題可得雙曲線的焦點在x軸上，且，所以雙曲線的離心率為，漸近線方程為.13.已知均為空間向量，其中，，，若從這4個向量中任取3個向量，均能構(gòu)成空間中的一組基底，則向量的坐標可以為____________．【答案】（答案不唯一）【解析】∵，，，∴，∴，∴可以構(gòu)成空間的單位正交基底，設(shè)，則，∵從這4個向量中任取3個向量，均能構(gòu)成空間中的一組基底，∴與中的任意兩個向量均不共面，根據(jù)平面向量基本定理可得均不為零，∴向量的坐標可以為（答案不唯一）.故答案為：（答案不唯一）.14.某景觀亭（如圖1）的上部可視為正四棱錐（如圖2）．已知長為4米，且平面平面，則頂點S到直線的距離為____________米；正四棱錐的側(cè)面積為____________平方米．【答案】【解析】設(shè)平面和平面交于過點的直線，因為，平面，平面，所以平面，平面，且平面平面，所以，取的中點，連結(jié)，，，即，，因為平面平面，所以，且，，所以，所以點到的距離為；正四棱錐的側(cè)面積為.15.關(guān)于曲線，，給出下列四個結(jié)論：①對任意，曲線與直線沒有公共點；②對任意，曲線上的點的橫坐標的取值范圍為R；③對任意，曲線為軸對稱圖形；④當為奇數(shù)時，曲線與軸、軸所圍成區(qū)域的面積為，則．其中所有正確結(jié)論的序號是____________．【答案】①③④【解析】對①：令，則，故曲線與直線沒有公共點，故①正確；對②：當時，有，則，故②錯誤；對③：若為奇數(shù)，則對點，有，故對任意點在曲線上，點也在曲線上，此時曲線關(guān)于直線對稱，若為偶數(shù)，則對點，有，故對任意點在曲線上，點也在曲線上，此時曲線關(guān)于直線對稱，故③正確；對④：當為奇數(shù)時，令，則y=-1，令，則，故曲線與軸、軸分別交于點1,0、，故即為曲線在的部分與軸、軸所圍成圖形面積，對曲線與上橫坐標相同的點、，當x∈0,1時，有，則，有，則，則，即當x∈0,1時，，即，即在x∈0,1，曲線與曲線上橫坐標相同的點，曲線上的點的縱坐標的絕對值都小于曲線上的點的縱坐標的絕對值，且兩者的絕對值都小于，則，故④正確.故答案為：①③④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.從某小區(qū)隨機抽取了100戶居民進行了網(wǎng)費調(diào)查，將他們的網(wǎng)費分成6組：，，，，，，并整理得到如下頻率分布直方圖：（1）根據(jù)該頻率分布直方圖，求x的值；（2）已知該小區(qū)共2000戶，估計該小區(qū)中網(wǎng)費落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)；（3）假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點值代替，估計該小區(qū)的戶均網(wǎng)費．解：（1）由該頻率分布直方圖，得．（2）在樣本中，網(wǎng)費落在區(qū)間內(nèi)的頻率為，所以估計該小區(qū)中網(wǎng)費落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)約為戶．（3）由（1）可知，這六個組頻率分別為0.06，0.12，0.22，0.30，0.18，0.12．因為同組中每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的左端點值代替，估計該樣本的平均值約為．所以估計該小區(qū)的戶均網(wǎng)費為189元．17.已知圓與x軸相切．（1）求圓C的圓心坐標及半徑；（2）直線與圓C交于A，B兩點，求線段的長．解：（1）配方得，由此可得圓心坐標為．因為圓C與x軸相切，所以圓心到x軸的距離為．所以半徑長為2．（2）因為直線與圓C交于A，B兩點，所以圓心C到直線l距離為．由（Ⅰ）可知，所以．18.如圖，在長方體中，，．（1）求證：平面；（2）若點P是線段的中點，求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：由題意得，四邊形為正方形，∴．∵平面，平面，∴，∵，平面，，∴平面．（2）解：如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，則，，，，，．∴，，．由（1）得，是平面的一個法向量．設(shè)平面的一個法向量為，則即令，得，，故．設(shè)平面與平面的夾角為，則．∴平面與平面的夾角的余弦值為．19.已知數(shù)列滿足：，．（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求的通項公式以及前n項和；（2）若數(shù)列是等比數(shù)列，求的通項公式．解：（1