五年（2021-2025）高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題14空間向量與立體幾何（解答題）6種常見(jiàn)考法歸類知識(shí)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)知識(shí)1線面關(guān)系的證明（5年4考）考點(diǎn)01平行關(guān)系的判定2025·上海2023·全國(guó)乙卷2022·全國(guó)甲卷1.線面關(guān)系證明是基礎(chǔ)必考題

平行關(guān)系（如線面平行、面面平行）和垂直關(guān)系（線面垂直、面面垂直）的判定是解答題的“保底”考點(diǎn)，題目通常以常見(jiàn)幾何體（棱柱、棱錐、棱臺(tái)等）為載體，要求結(jié)合幾何定義、判定定理進(jìn)行邏輯推理，強(qiáng)調(diào)對(duì)空間線面位置關(guān)系的直觀感知與嚴(yán)謹(jǐn)論證能力，難度中等，是得分的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。2.空間角的計(jì)算是高頻重難點(diǎn)

空間角（異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角）的求解在近5年保持“5年5考”的高頻態(tài)勢(shì)，其中二面角是絕對(duì)核心（幾乎每年必考，覆蓋全國(guó)卷、地方卷多個(gè)地區(qū)），其次是直線與平面所成角，異面直線所成角偶有涉及。題目通常需要結(jié)合空間向量法（建系、求法向量）或幾何法（作輔助線、找角）求解，既考查空間想象能力，也注重運(yùn)算準(zhǔn)確性，是區(qū)分度的重要體現(xiàn)。3.空間距離的考查聚焦點(diǎn)到面距離

空間距離的考查以“點(diǎn)到面的距離”為核心（近5年多次出現(xiàn)），常與體積計(jì)算、空間角綜合命題，需要借助等體積法或空間向量的投影公式求解，體現(xiàn)“空間度量”的統(tǒng)一性，難度中等偏上?？键c(diǎn)02垂直關(guān)系的判定2023·全國(guó)甲卷2022·全國(guó)乙卷2021·全國(guó)甲卷2021·全國(guó)乙卷知識(shí)2空間角（5年5考）考點(diǎn)03求異面直線所成的角2025·全國(guó)一卷2021·上海考點(diǎn)04求直線與平面所成的角2025·北京2024·上海2023·全國(guó)甲卷2022·上海2022·浙江2022·全國(guó)甲卷2022·全國(guó)乙卷2022·北京2021·浙江考點(diǎn)05求面面角或二面角2025·全國(guó)二卷2025·天津2024·新課標(biāo)Ⅰ卷2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2024·全國(guó)甲卷2024·北京2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·北京2023·上海2023·全國(guó)乙卷2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷2022·天津2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷2021·全國(guó)甲卷2021·全國(guó)乙卷2021·天津2021·北京知識(shí)3空間距離（5年2考）考點(diǎn)06求點(diǎn)到面的距離2024·全國(guó)甲卷2024·天津2023·天津考點(diǎn)01平行關(guān)系的判定1．（2025·上?！じ呖颊骖}）如圖，P是圓錐的頂點(diǎn)，O是底面圓心，AB是底面直徑，且．

(1)若直線PA與圓錐底面的所成角為，求圓錐的側(cè)面積；(2)已知Q是母線PA的中點(diǎn)，點(diǎn)C、D在底面圓周上，且弧AC的長(zhǎng)為，．設(shè)點(diǎn)M在線段OC上，證明：直線平面PBD．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析〖祥解〗（1）由線面角先算出母線長(zhǎng)，然后根據(jù)側(cè)面積公式求解.（2）證明平面平面，然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得.【詳析】（1）由題知，，即軸截面是等邊三角形，故，底面周長(zhǎng)為，則側(cè)面積為：;（2）由題知，則根據(jù)中位線性質(zhì)，，又平面，平面，則平面由于，底面圓半徑是，則，又，則，又，則為等邊三角形，則，于是且，則四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面.又平面，根據(jù)面面平行的判定，于是平面平面，又，則平面，則平面

2．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)〖祥解〗（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.【詳析】（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）過(guò)作垂直的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，在中，，所以，因?yàn)?，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱錐的高為，因?yàn)?，所以，所以，又，所?3．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．〖祥解〗（1）分別取的中點(diǎn)，連接，由平面知識(shí)可知，，依題從而可證平面，平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，即可知四邊形為平行四邊形，于是，最后根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；（2）再分別取中點(diǎn)，由（1）知，該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體的體積加上四棱錐體積的倍，即可解出．【詳析】（1）如圖所示：分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉槿鹊恼切危?，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根?jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，而，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）[方法一]：分割法一如圖所示：分別取中點(diǎn)，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知識(shí)可知，，，，所以該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體的體積加上四棱錐體積的倍．因?yàn)?，，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到直線的距離，，所以該幾何體的體積．[方法二]：分割法二如圖所示：連接AC,BD,交于O，連接OE,OF,OG,OH.則該幾何體的體積等于四棱錐O-EFGH的體積加上三棱錐A-OEH的倍,再加上三棱錐E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中點(diǎn)P，連接AP,OP.則EH垂直平面APO.由圖可知，三角形APO,四棱錐O-EFGH與三棱錐E-OAB的高均為EM的長(zhǎng).所以該幾何體的體積考點(diǎn)02垂直關(guān)系的判定4．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求四棱錐的高．【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2)〖祥解〗(1)由平面得，又因?yàn)椋勺C平面，從而證得平面平面；(2)過(guò)點(diǎn)作，可證四棱錐的高為,由三角形全等可證，從而證得為中點(diǎn)，設(shè)，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.【詳析】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平?所以,又因?yàn)?，即，平面?所以平面，又因?yàn)槠矫?所以平面平面.（2）如圖，

過(guò)點(diǎn)作，垂足為.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以四棱錐的高為.因?yàn)槠矫?，平?所以,,又因?yàn)?，為公共邊，所以與全等，所以.設(shè)，則，所以為中點(diǎn)，,又因?yàn)?所以,即，解得，所以，所以四棱錐的高為．5．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析(2)〖祥解〗（1）通過(guò)證明平面來(lái)證得平面平面.（2）首先判斷出三角形的面積最小時(shí)點(diǎn)的位置，然后求得到平面的距離，從而求得三棱錐的體積.【詳析】（1）由于，是的中點(diǎn)，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）[方法一]：判別幾何關(guān)系依題意，，三角形是等邊三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)最短時(shí)，三角形的面積最小過(guò)作，垂足為，在中，，解得，所以，所以過(guò)作，垂足為，則，所以平面，且，所以，所以.[方法二]：等體積轉(zhuǎn)換，，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，連接6．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.〖祥解〗（1）先證明為等腰直角三角形，然后利用體積公式可得三棱錐的體積；（2）將所給的幾何體進(jìn)行補(bǔ)形，從而把線線垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，然后再由線面垂直可得題中的結(jié)論.【詳析】（1）由于，，所以，又AB⊥BB1，，故平面，則，為等腰直角三角形，，.（2）由（1）的結(jié)論可將幾何體補(bǔ)形為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，如圖所示，取棱的中點(diǎn)，連結(jié)，正方形中，為中點(diǎn)，則，又，故平面，而平面，從而.【『點(diǎn)石成金』】求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來(lái)求體積．對(duì)于空間中垂直關(guān)系（線線、線面、面面）的證明經(jīng)常進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.7．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．〖祥解〗（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面；（2）由（1）可知，，由平面知識(shí)可知，，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可求出．【詳析】（1）因?yàn)榈酌妫矫?，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．?）[方法一]：相似三角形法由（1）可知．于是，故．因?yàn)?，所以，即．故四棱錐的體積．[方法二]：平面直角坐標(biāo)系垂直垂直法

由（2）知,所以．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)．因?yàn)椋?，，，．從而．所以，即．下同方法?[方法三]【最優(yōu)解】：空間直角坐標(biāo)系法

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，，，，．所以，，．所以．所以，即．下同方法一.[方法四]：空間向量法

由，得．所以．即．又底面，在平面內(nèi)，因此，所以．所以，由于四邊形是矩形，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，得，即．所以，即．下同方法一.【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求得該四棱錐的體積；方法二構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，利用直線垂直的條件得到矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求得該四棱錐的體積；方法三直接利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng),為最常用的通性通法，為最優(yōu)解；方法四利用空間向量轉(zhuǎn)化求得矩形的另一邊長(zhǎng).考點(diǎn)03求異面直線所成的角8．（2025·全國(guó)一卷·高考真題）如圖所示的四棱錐中，平面，．(1)證明：平面平面；(2)，，，，在同一個(gè)球面上，設(shè)該球面的球心為．（i）證明：在平面上；（ⅱ）求直線與直線所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）.〖祥解〗（1）通過(guò)證明，，得出平面，即可證明面面垂直；（2）（i）法一：建立空間直角坐標(biāo)系并表達(dá)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)在同一球面上，在平面中，得出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)在空間中的坐標(biāo)，計(jì)算出，即可證明結(jié)論；法二：作出的邊和的垂直平分線，找到三角形的外心，求出，求出出外心到，，，的距離相等，得出外心即為，，，所在球的球心，即可證明結(jié)論；（ii）法一：寫出直線和的方向向量，即可求出余弦值.法二：求出的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交的延長(zhǎng)線為，連接，，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出的長(zhǎng)，在中由余弦定理求出，即可求出直線與直線所成角的余弦值.【詳析】（1）由題意證明如下，在四棱錐中，⊥平面，，平面，平面，∴，，∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）（i）由題意及（1）證明如下，法一：在四棱錐中，，，，∥，，，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，∴，若，，，在同一個(gè)球面上，則，在平面中，∴，∴線段中點(diǎn)坐標(biāo)，直線的斜率：，直線的垂直平分線斜率：，∴直線的方程：，即，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴在立體幾何中，，∵解得：，∴點(diǎn)在平面上.法二：∵，，，在同一個(gè)球面上，∴球心到四個(gè)點(diǎn)的距離相等在中，到三角形三點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是該三角形的外心，作出和的垂直平分線，如下圖所示，由幾何知識(shí)得，，，，∴，∴點(diǎn)是的外心，在Rt中，，，由勾股定理得，∴，∴點(diǎn)即為點(diǎn)，，，所在球的球心，此時(shí)點(diǎn)在線段上，平面，∴點(diǎn)在平面上.（ii）由題意，（1）（2）（ii）及圖得，，設(shè)直線與直線所成角為，∴.法2：由幾何知識(shí)得，，，∥，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交的延長(zhǎng)線為，連接，，則，直線與直線所成角即為中或其補(bǔ)角.∵平面，平面，，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，在Rt中，，由勾股定理得，，在中，由余弦定理得，，即：解得：∴直線與直線所成角的余弦值為：.9．（2021·上?！じ呖颊骖}）四棱錐，底面為正方形，邊長(zhǎng)為4，為中點(diǎn)，平面.（1）若△為等邊三角形，求四棱錐的體積；（2）若的中點(diǎn)為，與平面所成角為45°，求與所成角的大小.【答案】（1）；（2）.〖祥解〗（1）由棱錐體積公式計(jì)算；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．【詳析】（1）∵正方形邊長(zhǎng)為4，△為等邊三角形，為中點(diǎn)，∴，；（2）如圖以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，∴，即與所成角的大小為．考點(diǎn)04求直線與平面所成的角10．（2025·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，與均為等腰直角三角形，，E為BC的中點(diǎn)．(1)若分別為的中點(diǎn)，求證：平面PAB；(2)若平面ABCD，，求直線AB與平面PCD所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)〖祥解〗（1）取PA的中點(diǎn)N，PB的中點(diǎn)M，連接FN、MN，只需證明即可；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線AB的方向向量與面PCD的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可求解.【詳析】（1）取PA的中點(diǎn)N，PB的中點(diǎn)M，連接FN、MN，與為等腰直角三角形且，不妨設(shè)，..E、F分別為BC、PD的中點(diǎn)，，且.，，，∴四邊形FGMN為平行四邊形，，平面PAB，平面PAB，平面PAB；（2）平面ABCD，以A為原點(diǎn)，AC、AB、AP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，，，取，，.設(shè)AB與平面PCD所成角為，則，即AB與平面PCD所成角的正弦值為.11．（2024·上?！じ呖颊骖}）如圖為正四棱錐為底面的中心．(1)若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大小．【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）根據(jù)正四棱錐的數(shù)據(jù)，先算出直角三角形的邊長(zhǎng)，然后求圓錐的體積；（2）連接，可先證平面，根據(jù)線面角的定義得出所求角為，然后結(jié)合題目數(shù)量關(guān)系求解.【詳析】（1）正四棱錐滿足且平面，由平面，則，又正四棱錐底面是正方形，由可得，，故，根據(jù)圓錐的定義，繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是以為軸，為底面半徑的圓錐，即圓錐的高為，底面半徑為，根據(jù)圓錐的體積公式，所得圓錐的體積是（2）連接，由題意結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)可知，每個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，由是中點(diǎn)，則，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直線與平面所成角的大小即為，不妨設(shè)，則，，又線面角的范圍是，故.即為所求.12．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)〖祥解〗（1）根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得平面，再由勾股定理求出為中點(diǎn)，即可得證；（2）利用直角三角形求出的長(zhǎng)及點(diǎn)到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.【詳析】（1）如圖，

底面，面，，又，平面，,平面ACC1A1，又平面，平面平面，過(guò)作交于，又平面平面，平面，平面到平面的距離為1，，在中，，設(shè)，則，為直角三角形，且，，，，，解得，，（2），，過(guò)B作，交于D，則為中點(diǎn)，由直線與距離為2，所以，，，在，，延長(zhǎng)，使，連接，由知四邊形為平行四邊形，，平面，又平面，則在中，，，在中，，，,又到平面距離也為1，所以與平面所成角的正弦值為.13．（2022·上?！じ呖颊骖}）如圖所示三棱錐P-ABC，底面為等邊三角形ABC，O為AC邊中點(diǎn)，且底面ABC，

(1)求三棱錐P-ABC的體積；(2)若M為BC中點(diǎn)，求PM與平面PAC所成角大?。ńY(jié)果用反三角數(shù)值表示）.【答案】(1)1；(2)．〖祥解〗（1）由棱錐體積公式計(jì)算；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法二面角．【詳析】（1）底面ABC，底面ABC，則，連接，同理，又，，∴，而，所以；（2）由已知，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由已知，則，，，∴，，易知平面的一個(gè)法向量是，，設(shè)PM與平面PAC所成角大小為，則，，∴．

14．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．〖祥解〗（1）過(guò)點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、，由平面知識(shí)易得，再根據(jù)二面角的定義可知，，由此可知，，，從而可證得平面，即得；（2）由（1）可知平面，過(guò)點(diǎn)做平行線，所以可以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，以及，即可利用線面角的向量公式解出．【詳析】（1）過(guò)點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、．∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識(shí)易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，則，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中點(diǎn)，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．（2）因?yàn)槠矫?，過(guò)點(diǎn)做平行線，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為由，得，取，設(shè)直線與平面所成角為，∴．15．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).〖祥解〗（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【詳析】（1）證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；?）解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.16．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)與平面所成的角的正弦值為〖祥解〗（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合線面角的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳析】（1）因?yàn)?，E為的中點(diǎn)，所以；在和中，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以；又因?yàn)槠矫?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）連接，由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，?dāng)時(shí)，最小，即的面積最小.因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以是等邊三角形，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)?，所?在中，，所以.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，又因?yàn)?，所以，所以，設(shè)與平面所成的角為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.17．（2022·北京·高考真題）如圖，在三棱柱中，側(cè)面為正方形，平面平面，，M，N分別為，AC的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線AB與平面BMN所成角的正弦值．條件①：；條件②：．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析〖祥解〗（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面平面，從而可證平面.（2）選①②均可證明平面，從而可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可求線面角的正弦值.【詳析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，由三棱柱可得四邊形為平行四邊形，而，則，而平面，平面，故平面，而，則，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，（2）因?yàn)閭?cè)面為正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因?yàn)椋势矫?，因?yàn)槠矫妫?，若選①，則，而，，故平面，而平面，故，所以，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.若選②，因?yàn)椋势矫?，而平面，故，而，故，而，，故，所以，故，而，，故平面，故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，從而，取，則，設(shè)直線與平面所成的角為，則.18．（2021·浙江·高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，M，N分別為的中點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．〖祥解〗（1）要證，可證，由題意可得，，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點(diǎn)，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，再分別求出向量和平面的一個(gè)法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出．【詳析】（1）在中，，，，由余弦定理可得，所以，．由題意且，平面，而平面，所以，又，所以．（2）由，，而與相交，所以平面，因?yàn)?，所以，取中點(diǎn)，連接，則兩兩垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系,則,又為中點(diǎn)，所以.由（1）得平面，所以平面的一個(gè)法向量從而直線與平面所成角的正弦值為．【『點(diǎn)石成金』】本題第一問(wèn)主要考查線面垂直的相互轉(zhuǎn)化，要證明，可以考慮，題中與有垂直關(guān)系的直線較多，易證平面，從而使問(wèn)題得以解決；第二問(wèn)思路直接，由第一問(wèn)的垂直關(guān)系可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面角的向量公式即可計(jì)算得出．考點(diǎn)05求面面角或二面角19．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，，為的中點(diǎn)，且．（1）求；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）；（2）〖祥解〗（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由已知條件得出，求出的值，即可得出的長(zhǎng)；（2）求出平面、的法向量，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.【詳析】（1）[方法一]：空間坐標(biāo)系+空間向量法平面，四邊形為矩形，不妨以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、、，則，，，則，解得，故；[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+相似三角形法如圖，連結(jié)．因?yàn)榈酌?，且底面，所以．又因?yàn)?，，所以平面．又平面，所以．從而．因?yàn)?，所以．所以，于是．所以．所以．[方法三]：幾何法+三角形面積法

如圖，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)N．由[方法二]知．在矩形中，有，所以，即．令，因?yàn)镸為的中點(diǎn)，則，，．由，得，解得，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：空間坐標(biāo)系+空間向量法設(shè)平面的法向量為，則，，由，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，由，取，可得，，所以，，因此，二面角的正弦值為.[方法二]：構(gòu)造長(zhǎng)方體法+等體積法

如圖，構(gòu)造長(zhǎng)方體，聯(lián)結(jié)，交點(diǎn)記為H，由于，，所以平面．過(guò)H作的垂線，垂足記為G．聯(lián)結(jié)，由三垂線定理可知，故為二面角的平面角．易證四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，聯(lián)結(jié)，．，由等積法解得．在中，，由勾股定理求得．所以，，即二面角的正弦值為．【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一利用空坐標(biāo)系和空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解；方法二利用線面垂直的判定定理，結(jié)合三角形相似進(jìn)行計(jì)算求解，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法三主要是在幾何證明的基礎(chǔ)上，利用三角形等面積方法求得.（2）方法一，利用空間坐標(biāo)系和空間向量方法計(jì)算求解二面角問(wèn)題是常用的方法，思路清晰，運(yùn)算簡(jiǎn)潔，為最優(yōu)解；方法二采用構(gòu)造長(zhǎng)方體方法+等體積轉(zhuǎn)化法，技巧性較強(qiáng)，需注意進(jìn)行嚴(yán)格的論證.20．（2023·北京·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面，．

(1)求證：平面PAB；(2)求二面角的大?。敬鸢浮?1)證明見(jiàn)解析(2)〖祥解〗（1）先由線面垂直的性質(zhì)證得，再利用勾股定理證得，從而利用線面垂直的判定定理即可得證；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面與平面的法向量，再利用空間向量夾角余弦的坐標(biāo)表示即可得解.【詳析】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，同理，所以為直角三角形，又因?yàn)?，，所以，則為直角三角形，故，又因?yàn)?，，所以平?（2）由（1）平面，又平面，則，以為原點(diǎn)，為軸，過(guò)且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以，所以，又因?yàn)槎娼菫殇J二面角，所以二面角的大小為.21．（2025·全國(guó)二卷·高考真題）如圖，在四邊形中，，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB上，，，將四邊形沿翻折至四邊形，使得面與面EFCB所成的二面角為．(1)證明:平面；(2)求面與面所成的二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)〖祥解〗（1）先應(yīng)用線面平行判定定理得出平面及平面，再應(yīng)用面面平行判定定理得出平面平面，進(jìn)而得出線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用已知條件將點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，然后將平面及平面的法向量求出來(lái)，利用兩個(gè)法向量的數(shù)量積公式可將兩平面的夾角余弦值求出來(lái)，進(jìn)而可求得其正弦值.【詳析】（1）設(shè)，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)椋?，所以是平行四邊形，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．?）因?yàn)?，所以，又因?yàn)椋?，以為原點(diǎn)，以及垂直于平面的直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，平面與平面所成二面角為60°，所以.則，，，，，.所以.設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，則.設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，則，所以.所以.所以平面與平面夾角的正弦值為.22．（2025·天津·高考真題）正方體的棱長(zhǎng)為4，分別為中點(diǎn)，．(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)〖祥解〗（1）法一、利用正方形的性質(zhì)先證明，再結(jié)合正方體的性質(zhì)得出平面，利用線面垂直的性質(zhì)與判定定理證明即可；法二、建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線面垂直即可；（2）利用空間向量計(jì)算面面夾角即可；（3）利用空間向量計(jì)算點(diǎn)面距離，再利用錐體的體積公式計(jì)算即可.【詳析】（1）法一、在正方形中，由條件易知，所以，則，故，即，在正方體中，易知平面，且，所以平面，又平面，∴，∵平面，∴平面；法二、如圖以D為中心建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，易知，則也是平面的一個(gè)法向量，∴平面；（2）同上法二建立的空間直角坐標(biāo)系，所以，由（1）知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，令，則，即，設(shè)平面與平面的夾角為，則；（3）由（1）知平面，平面，∴，易知，又，則D到平面的距離為，由棱錐的體積公式知：.23．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，，，，為的中點(diǎn)．(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)詳析；(2)〖祥解〗（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；（2）作交于，連接，易證三垂直，采用建系法結(jié)合二面角夾角余弦公式即可求解.【詳析】（1）因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）如圖所示，作交于，連接，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，，所以，結(jié)合（1）為平行四邊形，可得，又，所以為等邊三角形，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，為中點(diǎn)，所以，四邊形為平行四邊形，，所以為等腰三角形，與底邊上中點(diǎn)重合，，，因?yàn)?，所以，所以互相垂直，以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，即，令，得，即，則，即，令，得，即，，則，故二面角的正弦值為.24．（2024·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，，，,點(diǎn)在上，且，．(1)若為線段中點(diǎn)，求證：平面．(2)若平面，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)〖祥解〗（1）取的中點(diǎn)為，接，可證四邊形為平行四邊形，由線面平行的判定定理可得平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量后可求夾角的余弦值.【詳析】（1）取的中點(diǎn)為，接，則，而，故，故四邊形為平行四邊形，故，而平面，平面，所以平面.（2）因?yàn)椋?，故，故四邊形為平行四邊形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，設(shè)平面的法向量為，則由可得，取，故，故平面與平面夾角的余弦值為25．（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)〖祥解〗（1）由題意，根據(jù)余弦定理求得，利用勾股定理的逆定理可證得，則，結(jié)合線面垂直的判定定理與性質(zhì)即可證明；（2）由（1），根據(jù)線面垂直的判定定理與性質(zhì)可證明，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解面面角即可.【詳析】（1）由，得，又，在中，由余弦定理得,所以，則，即，所以，又平面，所以平面，又平面，故；（2）連接，由，則，在中，，得，所以，由（1）知，又平面，所以平面，又平面，所以，則兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，由是的中點(diǎn)，得，所以，設(shè)平面和平面的一個(gè)法向量分別為，則，，令，得，所以，所以，設(shè)平面和平面所成角為，則，即平面和平面所成角的正弦值為.26．（2023·上?！じ呖颊骖}）在直四棱柱中，，，，，(1)求證：平面；(2)若四棱柱體積為36，求二面角大小.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)〖祥解〗（1）利用直四棱柱的性質(zhì)及線面平行的判定定理，可證平面平面，再由面面平行的性質(zhì)定理，即可得證；（2）先根據(jù)棱柱的體積公式求得，再利用二面角的定義，求解即可．【詳析】（1）由題意知，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，又，、平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面．?）由題意知，底面為直角梯形，所以梯形的面積，因?yàn)樗睦庵捏w積為36，所以，過(guò)作于，連接，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以即為二面角的平面角，在△中，，所以，所以，即，故二面角的大小為?7．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，，點(diǎn)F在AC上，.

(1)證明：平面；(2)證明：平面平面BEF；(3)求二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3).〖祥解〗（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）法一：由（1）的信息，結(jié)合勾股定理的逆定理及線面垂直、面面垂直的判定推理作答.法二：過(guò)點(diǎn)作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以由求出點(diǎn)坐標(biāo)，再求出平面與平面BEF的法向量，由即可證明；（3）法一：由（2）的信息作出并證明二面角的平面角，再結(jié)合三角形重心及余弦定理求解作答.法二：求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【詳析】（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，

于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）法一：由（1）可知，則，得，因此，則，有，又，平面，則有平面，又平面，所以平面平面.法二：因?yàn)?，過(guò)點(diǎn)作軸平面，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，在中，，在中，，設(shè)，所以由可得：，可得：，所以，則，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則，所以，，所以平面平面BEF；

（3）法一：過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，設(shè)，由，得，且，又由（2）知，，則為二面角的平面角，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，因此為的重心，即有，又，即有，，解得，同理得，于是，即有，則，從而，，在中，，于是，，所以二面角的正弦值為.

法二：平面的法向量為，平面的法向量為，所以，因?yàn)?，所以，故二面角的正弦值?28．（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．〖祥解〗（1）根據(jù)題意易證平面，從而證得；（2）由題可證平面，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出．【詳析】（1）連接，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，，所以①，因?yàn)?，，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．（2）不妨設(shè)，，．，，又，平面平面．以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

設(shè)，設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為，二面角平面角為,而，因?yàn)?，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，從而．所以二面角的正弦值為?9．（2022·天津·高考真題）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)D、E、F分別為的中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)〖祥解〗（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；（2）利用空間向量法可求得直線與平面夾角的正弦值；（3）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【詳析】（1）證明：在直三棱柱中，平面，且，則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、，則，易知平面的一個(gè)法向量為，則，故，平面，故平面.（2）解：，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，.因此，直線與平面夾角的正弦值為.（3）解：，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，則，因此，平面與平面夾角的余弦值為.30．（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)若，，，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)〖祥解〗（1）連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，根據(jù)三角形全等得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，即可得到為的中點(diǎn)從而得到，即可得證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出二面角的余弦的絕對(duì)值，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得.【詳析】（1）證明：連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭侨忮F的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，，所以所以，即，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面

（2）解：過(guò)點(diǎn)作，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，所以，又，所以，則，，所以，所以，，，，所以，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以；所以.設(shè)二面角的大小為，則，所以，即二面角的正弦值為.

31．（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為．(1)求A到平面的距離；(2)設(shè)D為的中點(diǎn)，，平面平面，求二面角的正弦值．【答案】(1)(2)〖祥解〗（1）由等體積法運(yùn)算即可得解；（2）由面面垂直的性質(zhì)及判定可得平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法即可得解.【詳析】（1）在直三棱柱中，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為h，則，解得，所以點(diǎn)A到平面的距離為；（2）取的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)?，所?又平面平面，平面平面，且平面，所以平面，在直三棱柱中，平面，由平面，平面可得，，又平面且相交，所以平面，所以兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由（1）得，所以，，所以，則,所以的中點(diǎn)，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，可取，則，所以二面角的正弦值為.32．（2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.〖祥解〗（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面，從而得到面面.（2）在平面內(nèi)，過(guò)作，交于，則，建如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.【詳析】（1）取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)?，，則，而，故.在正方形中，因?yàn)椋?，故，因?yàn)?，故，故為直角三角形且，因?yàn)?，故平面，因?yàn)槠矫?，故平面平?（2）在平面內(nèi)，過(guò)作，交于，則，結(jié)合（1）中的平面，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.則，故.設(shè)平面的法向量，則即，取，則，故.而平面的法向量為，故.二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.33．（2021·天津·高考真題）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)．（I）求證：平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．【答案】（I）證明見(jiàn)解析；（II）；（III）.〖祥解〗（I）建立空間直角坐標(biāo)系，求出及平面的一個(gè)法向量，證明，即可得證；（II）求出，由運(yùn)算即可得解；（III）求得平面的一個(gè)法向量，由結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可得解.【詳析】（I）以為原點(diǎn)，分別為軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則,,,,,,，因?yàn)镋為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)，所以，，所以,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫?，所以平面；（II）由（1）得，，設(shè)直線與平面所成角為，則；（III）由正方體的特征可得，平面的一個(gè)法向量為，則，所以二面角的正弦值為.34．（2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).〖祥解〗(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；(2)方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計(jì)算三棱錐的體積即可.【詳析】（1）因?yàn)?，O是中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，且平面平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所?（2）[方法一]：通性通法—坐標(biāo)法如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為y軸，垂直且過(guò)O的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè),所以，設(shè)為平面的法向量，則由可求得平面的一個(gè)法向量為．又平面的一個(gè)法向量為，所以，解得．又點(diǎn)C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點(diǎn)G．作，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)，則．因?yàn)槠矫?，所以平面，為二面角的平面角．因?yàn)椋裕梢阎?，故．又，所以．因?yàn)?，．[方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據(jù)題意，得．對(duì)使用三面角的余弦公式，可得，化簡(jiǎn)可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化簡(jiǎn)可得．②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得．如圖可知，即有，根據(jù)三角形相似知，點(diǎn)G為的三等分點(diǎn)，即可得，結(jié)合的正切值，可得從而可得三棱錐的體積為．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：建立空間直角坐標(biāo)系是解析幾何中常用的方法，是此類題的通性通法，其好處在于將幾何問(wèn)題代數(shù)化，適合于復(fù)雜圖形的處理；方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時(shí)可以對(duì)幾何體的幾何特征有更加深刻的認(rèn)識(shí)，該法為本題的最優(yōu)解.方法三：三面角公式是一個(gè)優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問(wèn)題更加簡(jiǎn)單、直觀、迅速.35．（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)1〖祥解〗（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)相等證明；（2）設(shè)，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解.【詳析】（1）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，又不在同一條直線上，.（2）設(shè)，則，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，，化簡(jiǎn)可得，，解得或，或，.36．（2021·北京·高考真題）如圖：在正方體中，為中點(diǎn)，與平面交于點(diǎn)．（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）點(diǎn)是棱上一點(diǎn)，且二面角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．〖祥解〗(1)首先將平面進(jìn)行擴(kuò)展，然后結(jié)合所得的平面與直線的交點(diǎn)即可證得題中的結(jié)論；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間直角坐標(biāo)系求得相應(yīng)平面的法向量，然后解方程即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳析】(1)如圖所示，取的中點(diǎn)，連結(jié)，由于為正方體，為中點(diǎn)，故，從而四點(diǎn)共面，即平面CDE即平面，據(jù)此可得：直線交平面于點(diǎn)，當(dāng)直線與平面相交時(shí)只有唯一的交點(diǎn)，故點(diǎn)與點(diǎn)重合，即點(diǎn)為中點(diǎn).(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，設(shè)，則：，從而：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，設(shè)平面的法向量為：，則：，令可得：，從而：，則：，整理可得：，故（舍去）.【『點(diǎn)石成金』】本題考查了立體幾何中的線面關(guān)系和二面角的求解問(wèn)題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，對(duì)于立體幾何中角的計(jì)算問(wèn)題，往往可以利用空間向量法，通過(guò)求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.37．（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）如圖，四棱錐中，底面ABCD，，．(1)若，證明：平面；(2)若，且二面角的正弦值為，求．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)〖祥解〗（1）先證出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，從而，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；（2）過(guò)點(diǎn)D作于，再過(guò)點(diǎn)作于，連接，根據(jù)三垂線法可知，即為二面角的平面角，即可求得，再分別用的長(zhǎng)度表示出，即可解方程求出．【詳析】（1）（1）因?yàn)槠矫?，而平面，所以，又，，平面，所以平面，而平面，所?因?yàn)?，所以，根?jù)平面知識(shí)可知，又平面，平面，所以平面．（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作于，再過(guò)點(diǎn)作于，連接，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，而平面平面，所以平面，又，所以平面，根?jù)二面角的定義可知，即為二面角的平面角，即，即．因?yàn)?，設(shè)，則，由等面積法可得，，又，而為等腰直角三角形，所以，故，解得，即．38．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．（1）證明：；（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）〖祥解〗（1）方法二：通過(guò)已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線線垂直；（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進(jìn)而可以確定出答案；【詳析】（1）[方法一]：幾何法因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，，所以平面．又因?yàn)?，?gòu)造正方體，如圖所示，過(guò)E作的平行線分別與交于其中點(diǎn)，連接，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，所以是BC的中點(diǎn)，易證，則．又因?yàn)?，所以．又因?yàn)?，所以平面．又因?yàn)槠矫妫裕甗方法二]【最優(yōu)解】：向量法因?yàn)槿庵侵比庵?，底面，，，，又，平面．所以兩兩垂直．以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．，．由題設(shè)（）．因?yàn)?，所以，所以．[方法三]：因?yàn)?，，所以，故，，所以，所以．?）[方法一]【最優(yōu)解】：向量法設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所以，即．令，則因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛?，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當(dāng)時(shí)，取最小值為，此時(shí)取最大值為．所以，此時(shí)．[方法二]：幾何法如圖所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)T，則平面平面．作，垂足為H，因?yàn)槠矫?，?lián)結(jié)，則為平面與平面所成二面角的平面角．設(shè)，過(guò)作交于點(diǎn)G．由得．又，即，所以．又，即，所以．所以．則，所以，當(dāng)時(shí)，．[方法三]：投影法如圖，聯(lián)結(jié)，在平面的投影為，記面與面所成的二面角的平面角為，則．設(shè)，在中，．在中，，過(guò)D作的平行線交于點(diǎn)Q．在中，．在中，由余弦定理得，，，，，當(dāng)，即，面與面所成的二面角的正弦值最小，最小值為．【整體點(diǎn)評(píng)】第一問(wèn)，方法一為常規(guī)方法，不過(guò)這道題常規(guī)方法較為復(fù)雜，方法二建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求解是最簡(jiǎn)單，也是最優(yōu)解；方法三利用空間向量加減法則及數(shù)量積的定義運(yùn)算進(jìn)行證明不常用，不過(guò)這道題用這種方法過(guò)程也很簡(jiǎn)單，可以開(kāi)拓學(xué)生的思維.第二問(wèn)：方法一建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角是最常規(guī)的方法，也是最優(yōu)方法；方法二：利用空間線面關(guān)系找到，面與面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面積與面積之比即為面與面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，進(jìn)而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，開(kāi)闊學(xué)生的思維．考點(diǎn)06求點(diǎn)到面的距離39．（2024·全國(guó)甲卷·高考真題）如圖，，，，,為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)詳析；(2)〖祥解〗（1）結(jié)合已知易證四邊形為平行四邊形，可證，進(jìn)而得證；（2）先證明平面，結(jié)合等體積法即可求解.【詳析】（1）由題意得，，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面；（2）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形，可得，又，所以，?又平面，所以平面，易知.在中，，所以.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由，得，得，故點(diǎn)到平面的距離為.40．（2024·天津·高考真題）如圖，在四棱柱中，平面，，．分別為的中點(diǎn)，(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)〖祥解〗（1）取中點(diǎn)，連接，，借助中位線的性質(zhì)與平行四邊形性質(zhì)定理可得，結(jié)合線面平行判定定理即可得證；（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算兩平面的空間向量，再利用空間向量夾角公式計(jì)算即可得解；（3）借助空間中點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可得解.【詳析】（1）取中點(diǎn)，連接，，由是的中點(diǎn)，故，且，由是的中點(diǎn)，故，且，則有、，故四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面；（2）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有、、、、、，則有、、，設(shè)平面與平面的法向量分別為、，則有，，分別取，則有、、，，即、，則，故平面與平面的夾角余弦值為；（3）由，平面的法向量為，則有，即點(diǎn)到平面的距離為.41．（2023·天津·高考真題）如圖，在三棱臺(tái)中，平面，為中點(diǎn).，N為AB的中點(diǎn)，

(1)求證：//平面；(2)求平面與平面所成夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)〖祥解〗（1）先證明四邊形是平行四邊形，然后用線面平行的判定解決；（2）利用二面角的定義，作出二面角的平面角后進(jìn)行求解；（3）方法一是利用線面垂直的關(guān)系，找到垂線段的長(zhǎng)，方法二無(wú)需找垂線段長(zhǎng)，直接利用等體積法求解【詳析】（1）

連接.由分別是的中點(diǎn)，根據(jù)中位線性質(zhì)，//，且，由棱臺(tái)性質(zhì)，//，于是//，由可知，四邊形是平行四邊形，則//，又平面，平面，于是//平面.（2）過(guò)作，垂足為，過(guò)作，垂足為,連接.由面，面，故，又，，平面，則平面.由平面，故，又，，平面，于是平面，由平面，故.于是平面與平面所成角即.又，，則，故，在中，，則，于是（3）[方法一：幾何法]

過(guò)作，垂足為，作，垂足為，連接，過(guò)作，垂足為.由題干數(shù)據(jù)可得，，，根據(jù)勾股定理，，由平面，平面，則，又，，平面，于是平面.又平面，則，又，，平面，故平面.在中，，又，故點(diǎn)到平面的距離是到平面的距離的兩倍，即點(diǎn)到平面的距離是.[方法二：等體積法]

輔助線同方法一.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.，.由，即.專題14空間向量與立體幾何（解答題）6種常見(jiàn)考法歸類知識(shí)五年考情（2021-2025）命題趨勢(shì)知識(shí)1線面關(guān)系的證明（5年4考）考點(diǎn)01平行關(guān)系的判定2025·上海2023·全國(guó)乙卷2022·全國(guó)甲卷1.線面關(guān)系證明是基礎(chǔ)必考題

平行關(guān)系（如線面平行、面面平行）和垂直關(guān)系（線面垂直、面面垂直）的判定是解答題的“保底”考點(diǎn)，題目通常以常見(jiàn)幾何體（棱柱、棱錐、棱臺(tái)等）為載體，要求結(jié)合幾何定義、判定定理進(jìn)行邏輯推理，強(qiáng)調(diào)對(duì)空間線面位置關(guān)系的直觀感知與嚴(yán)謹(jǐn)論證能力，難度中等，是得分的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。2.空間角的計(jì)算是高頻重難點(diǎn)

空間角（異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角）的求解在近5年保持“5年5考”的高頻態(tài)勢(shì)，其中二面角是絕對(duì)核心（幾乎每年必考，覆蓋全國(guó)卷、地方卷多個(gè)地區(qū)），其次是直線與平面所成角，異面直線所成角偶有涉及。題目通常需要結(jié)合空間向量法（建系、求法向量）或幾何法（作輔助線、找角）求解，既考查空間想象能力，也注重運(yùn)算準(zhǔn)確性，是區(qū)分度的重要體現(xiàn)。3.空間距離的考查聚焦點(diǎn)到面距離

空間距離的考查以“點(diǎn)到面的距離”為核心（近5年多次出現(xiàn)），常與體積計(jì)算、空間角綜合命題，需要借助等體積法或空間向量的投影公式求解，體現(xiàn)“空間度量”的統(tǒng)一性，難度中等偏上?？键c(diǎn)02垂直關(guān)系的判定2023·全國(guó)甲卷2022·全國(guó)乙卷2021·全國(guó)甲卷2021·全國(guó)乙卷知識(shí)2空間角（5年5考）考點(diǎn)03求異面直線所成的角2025·全國(guó)一卷2021·上?？键c(diǎn)04求直線與平面所成的角2025·北京2024·上海2023·全國(guó)甲卷2022·上海2022·浙江2022·全國(guó)甲卷2022·全國(guó)乙卷2022·北京2021·浙江考點(diǎn)05求面面角或二面角2025·全國(guó)二卷2025·天津2024·新課標(biāo)Ⅰ卷2024·新課標(biāo)Ⅱ卷2024·全國(guó)甲卷2024·北京2023·新課標(biāo)Ⅰ卷2023·新課標(biāo)Ⅱ卷2023·北京2023·上海2023·全國(guó)乙卷2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷2022·天津2021·新高考全國(guó)Ⅰ卷2021·新高考全國(guó)Ⅱ卷2021·全國(guó)甲卷2021·全國(guó)乙卷2021·天津2021·北京知識(shí)3空間距離（5年2考）考點(diǎn)06求點(diǎn)到面的距離2024·全國(guó)甲卷2024·天津2023·天津考點(diǎn)01平行關(guān)系的判定1．（2025·上?！じ呖颊骖}）如圖，P是圓錐的頂點(diǎn)，O是底面圓心，AB是底面直徑，且．

(1)若直線PA與圓錐底面的所成角為，求圓錐的側(cè)面積；(2)已知Q是母線PA的中點(diǎn)，點(diǎn)C、D在底面圓周上，且弧AC的長(zhǎng)為，．設(shè)點(diǎn)M在線段OC上，證明：直線平面PBD．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析〖祥解〗（1）由線面角先算出母線長(zhǎng)，然后根據(jù)側(cè)面積公式求解.（2）證明平面平面，然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得.【詳析】（1）由題知，，即軸截面是等邊三角形，故，底面周長(zhǎng)為，則側(cè)面積為：;（2）由題知，則根據(jù)中位線性質(zhì)，，又平面，平面，則平面由于，底面圓半徑是，則，又，則，又，則為等邊三角形，則，于是且，則四邊形是平行四邊形，故，又平面，平面，故平面.又平面，根據(jù)面面平行的判定，于是平面平面，又，則平面，則平面

2．（2023·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，在三棱錐中，，，，，的中點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，．(1)求證：//平面；(2)若，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)〖祥解〗（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.【詳析】（1）連接，設(shè)，則，，，則，解得，則為的中點(diǎn)，由分別為的中點(diǎn)，于是，即，則四邊形為平行四邊形，，又平面平面，所以平面.（2）過(guò)作垂直的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，在中，，所以，因?yàn)?，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又，平面，所以平面，即三棱錐的高為，因?yàn)?，所以，所以，又，所?3．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長(zhǎng)為8（單位：）的正方形，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直．(1)證明：平面；(2)求該包裝盒的容積（不計(jì)包裝盒材料的厚度）．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．〖祥解〗（1）分別取的中點(diǎn)，連接，由平面知識(shí)可知，，依題從而可證平面，平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，即可知四邊形為平行四邊形，于是，最后根據(jù)線面平行的判定定理即可證出；（2）再分別取中點(diǎn)，由（1）知，該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體的體積加上四棱錐體積的倍，即可解出．【詳析】（1）如圖所示：分別取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉槿鹊恼切危?，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根?jù)線面垂直的性質(zhì)定理可知，而，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面．（2）[方法一]：分割法一如圖所示：分別取中點(diǎn)，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知識(shí)可知，，，，所以該幾何體的體積等于長(zhǎng)方體的體積加上四棱錐體積的倍．因?yàn)?，，點(diǎn)到平面的距離即為點(diǎn)到直線的距離，，所以該幾何體的體積．[方法二]：分割法二如圖所示：連接AC,BD,交于O，連接OE,OF,OG,OH.則該幾何體的體積等于四棱錐O-EFGH的體積加上三棱錐A-OEH的倍,再加上三棱錐E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中點(diǎn)P，連接AP,OP.則EH垂直平面APO.由圖可知，三角形APO,四棱錐O-EFGH與三棱錐E-OAB的高均為EM的長(zhǎng).所以該幾何體的體積考點(diǎn)02垂直關(guān)系的判定4．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）如圖，在三棱柱中，平面．

(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，求四棱錐的高．【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2)〖祥解〗(1)由平面得，又因?yàn)?，可證平面，從而證得平面平面；(2)過(guò)點(diǎn)作，可證四棱錐的高為,由三角形全等可證，從而證得為中點(diǎn)，設(shè)，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.【詳析】（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫?所以,又因?yàn)?，即，平面?所以平面，又因?yàn)槠矫?所以平面平面.（2）如圖，

過(guò)點(diǎn)作，垂足為.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以四棱錐的高為.因?yàn)槠矫?，平?所以,,又因?yàn)?，為公共邊，所以與全等，所以.設(shè)，則，所以為中點(diǎn)，,又因?yàn)?所以,即，解得，所以，所以四棱錐的高為．5．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面ACD；(2)設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明詳見(jiàn)解析(2)〖祥解〗（1）通過(guò)證明平面來(lái)證得平面平面.（2）首先判斷出三角形的面積最小時(shí)點(diǎn)的位置，然后求得到平面的距離，從而求得三棱錐的體積.【詳析】（1）由于，是的中點(diǎn)，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）[方法一]：判別幾何關(guān)系依題意，，三角形是等邊三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)最短時(shí)，三角形的面積最小過(guò)作，垂足為，在中，，解得，所以，所以過(guò)作，垂足為，則，所以平面，且，所以，所以.[方法二]：等體積轉(zhuǎn)換，，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，連接6．（2021·全國(guó)甲卷·高考真題）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點(diǎn)，證明：.【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.〖祥解〗（1）先證明為等腰直角三角形，然后利用體積公式可得三棱錐的體積；（2）將所給的幾何體進(jìn)行補(bǔ)形，從而把線線垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，然后再由線面垂直可得題中的結(jié)論.【詳析】（1）由于，，所以，又AB⊥BB1，，故平面，則，為等腰直角三角形，，.（2）由（1）的結(jié)論可將幾何體補(bǔ)形為一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體，如圖所示，取棱的中點(diǎn)，連結(jié)，正方形中，為中點(diǎn)，則，又，故平面，而平面，從而.【『點(diǎn)石成金』】求三棱錐的體積時(shí)要注意三棱錐的每個(gè)面都可以作為底面，例如三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，我們就選擇其中的一個(gè)側(cè)面作為底面，另一條側(cè)棱作為高來(lái)求體積．對(duì)于空間中垂直關(guān)系（線線、線面、面面）的證明經(jīng)常進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.7．（2021·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，M為的中點(diǎn)，且．（1）證明：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．〖祥解〗（1）由底面可得，又，由線面垂直的判定定理可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可證出平面平面；（2）由（1）可知，，由平面知識(shí)可知，，由相似比可求出，再根據(jù)四棱錐的體積公式即可求出．【詳析】（1）因?yàn)榈酌?，平面，所以，又，，所以平面，而平面，所以平面平面．?）[方法一]：相似三角形法由（1）可知．于是，故．因?yàn)?，所以，即．故四棱錐的體積．[方法二]：平面直角坐標(biāo)系垂直垂直法

由（2）知,所以．建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)．因?yàn)?，所以，，，．從而．所以，即．下同方法?[方法三]【最優(yōu)解】：空間直角坐標(biāo)系法

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，，，，．所以，，．所以．所以，即．下同方法一.[方法四]：空間向量法

由，得．所以．即．又底面，在平面內(nèi)，因此，所以．所以，由于四邊形是矩形，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義，得，即．所以，即．下同方法一.【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求得該四棱錐的體積；方法二構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，利用直線垂直的條件得到矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng)，從而求得該四棱錐的體積；方法三直接利用空間直角坐標(biāo)系和空間向量的垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得矩形的另一個(gè)邊長(zhǎng),為最常用的通性通法，為最優(yōu)解；方法四利用空間向量轉(zhuǎn)化求得矩形的另一邊長(zhǎng).考點(diǎn)03求異面直線所成的角8．（2025·全國(guó)一卷·高考真題）如圖所示的四棱錐中，平面，．(1)證明：平面平面；(2)，，，，在同一個(gè)球面上，設(shè)該球面的球心為．（i）證明：在平面上；（ⅱ）求直線與直線所成角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)（i）證明見(jiàn)解析；（ii）.〖祥解〗（1）通過(guò)證明，，得出平面，即可證明面面垂直；（2）（i）法一：建立空間直角坐標(biāo)系并表達(dá)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，假設(shè)在同一球面上，在平面中，得出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出點(diǎn)在空間中的坐標(biāo)，計(jì)算出，即可證明結(jié)論；法二：作出的邊和的垂直平分線，找到三角形的外心，求出，求出出外心到，，，的距離相等，得出外心即為，，，所在球的球心，即可證明結(jié)論；（ii）法一：寫出直線和的方向向量，即可求出余弦值.法二：求出的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交的延長(zhǎng)線為，連接，，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出的長(zhǎng)，在中由余弦定理求出，即可求出直線與直線所成角的余弦值.【詳析】（1）由題意證明如下，在四棱錐中，⊥平面，，平面，平面，∴，，∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）（i）由題意及（1）證明如下，法一：在四棱錐中，，，，∥，，，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，∴，若，，，在同一個(gè)球面上，則，在平面中，∴，∴線段中點(diǎn)坐標(biāo)，直線的斜率：，直線的垂直平分線斜率：，∴直線的方程：，即，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴在立體幾何中，，∵解得：，∴點(diǎn)在平面上.法二：∵，，，在同一個(gè)球面上，∴球心到四個(gè)點(diǎn)的距離相等在中，到三角形三點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是該三角形的外心，作出和的垂直平分線，如下圖所示，由幾何知識(shí)得，，，，∴，∴點(diǎn)是的外心，在Rt中，，，由勾股定理得，∴，∴點(diǎn)即為點(diǎn)，，，所在球的球心，此時(shí)點(diǎn)在線段上，平面，∴點(diǎn)在平面上.（ii）由題意，（1）（2）（ii）及圖得，，設(shè)直線與直線所成角為，∴.法2：由幾何知識(shí)得，，，∥，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交的延長(zhǎng)線為，連接，，則，直線與直線所成角即為中或其補(bǔ)角.∵平面，平面，，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，在Rt中，，由勾股定理得，，在中，由余弦定理得，，即：解得：∴直線與直線所成角的余弦值為：.9．（2021·上?！じ呖颊骖}）四棱錐，底面為正方形，邊長(zhǎng)為4，為中點(diǎn)，平面.（1）若△為等邊三角形，求四棱錐的體積；（2）若的中點(diǎn)為，與平面所成角為45°，求與所成角的大小.【答案】（1）；（2）.〖祥解〗（1）由棱錐體積公式計(jì)算；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．【詳析】（1）∵正方形邊長(zhǎng)為4，△為等邊三角形，為中點(diǎn)，∴，；（2）如圖以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，∴，即與所成角的大小為．考點(diǎn)04求直線與平面所成的角10．（2025·北京·高考真題）如圖，在四棱錐中，與均為等腰直角三角形，，E為BC的中點(diǎn)．(1)若分別為的中點(diǎn)，求證：平面PAB；(2)若平面ABCD，，求直線AB與平面PCD所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)〖祥解〗（1）取PA的中點(diǎn)N，PB的中點(diǎn)M，連接FN、MN，只需證明即可；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線AB的方向向量與面PCD的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可求解.【詳析】（1）取PA的中點(diǎn)N，PB的中點(diǎn)M，連接FN、MN，與為等腰直角三角形且，不妨設(shè)，..E、F分別為BC、PD的中點(diǎn)，，且.，，，∴四邊形FGMN為平行四邊形，，平面PAB，平面PAB，平面PAB；（2）平面ABCD，以A為原點(diǎn)，AC、AB、AP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為，，，取，，.設(shè)AB與平面PCD所成角為，則，即AB與平面PCD所成角的正弦值為.11．（2024·上海·高考真題）如圖為正四棱錐為底面的中心．(1)若，求繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積；(2)若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大?。敬鸢浮?1)(2)〖祥解〗（1）根據(jù)正四棱錐的數(shù)據(jù)，先算出直角三角形的邊長(zhǎng)，然后求圓錐的體積；（2）連接，可先證平面，根據(jù)線面角的定義得出所求角為，然后結(jié)合題目數(shù)量關(guān)系求解.【詳析】（1）正四棱錐滿足且平面，由平面，則，又正四棱錐底面是正方形，由可得，，故，根據(jù)圓錐的定義，繞旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是以為軸，為底面半徑的圓錐，即圓錐的高為，底面半徑為，根據(jù)圓錐的體積公式，所得圓錐的體積是（2）連接，由題意結(jié)合正四棱錐的性質(zhì)可知，每個(gè)側(cè)面都是等邊三角形，由是中點(diǎn)，則，又平面，故平面，即平面，又平面，于是直線與平面所成角的大小即為，不妨設(shè)，則，，又線面角的范圍是，故.即為所求.12．（2023·全國(guó)甲卷·高考真題）如圖，在三棱柱中，底面ABC，，到平面的距離為1．

(1)證明：；(2)已知與的距離為2，求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)〖祥解〗（1）根據(jù)線面垂直，面面垂直的判定與性質(zhì)定理可得平面，再由勾股定理求出為中點(diǎn)，即可得證；（2）利用直角三角形求出的長(zhǎng)及點(diǎn)到面的距離，根據(jù)線面角定義直接可得正弦值.【詳析】（1）如圖，

底面，面，，又，平面，,平面ACC1A1，又平面，平面平面，過(guò)作交于，又平面平面，平面，平面到平面的距離為1，，在中，，設(shè)，則，為直角三角形，且，，，，，解得，，（2），，過(guò)B作，交于D，則為中點(diǎn)，由直線與距離為2，所以，，，在，，延長(zhǎng)，使，連接，由知四邊形為平行四邊形，，平面，又平面，則在中，，，在中，，，,又到平面距離也為1，所以與平面所成角的正弦值為.13．（2022·上?！じ呖颊骖}）如圖所示三棱錐P-ABC，底面為等邊三角形ABC，O為AC邊中點(diǎn)，且底面ABC，

(1)求三棱錐P-ABC的體積；(2)若M為BC中點(diǎn)，求PM與平面PAC所成角大?。ńY(jié)果用反三角數(shù)值表示）.【答案】(1)1；(2)．〖祥解〗（1）由棱錐體積公式計(jì)算；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法二面角．【詳析】（1）底面ABC，底面ABC，則，連接，同理，又，，∴，而，所以；（2）由已知，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，由已知，則，，，∴，，易知平面的一個(gè)法向量是，，設(shè)PM與平面PAC所成角大小為，則，，∴．

14．（2022·浙江·高考真題）如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設(shè)M，N分別為的中點(diǎn)．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)．〖祥解〗（1）過(guò)點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、，由平面知識(shí)易得，再根據(jù)二面角的定義可知，，由此可知，，，從而可證得平面，即得；（2）由（1）可知平面，過(guò)點(diǎn)做平行線，所以可以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，以及，即可利用線面角的向量公式解出．【詳析】（1）過(guò)點(diǎn)、分別做直線、的垂線、并分別交于點(diǎn)、．∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識(shí)易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，則，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中點(diǎn)，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．（2）因?yàn)槠矫?，過(guò)點(diǎn)做平行線，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為由，得，取，設(shè)直線與平面所成角為，∴．15．（2022·全國(guó)甲卷·高考真題）在四棱錐中，底面．(1)證明：；(2)求PD與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).〖祥解〗（1）作于，于，利用勾股定理證明，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得，從而可得平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可得出答案.【詳析】（1）證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)椋运倪呅螢榈妊菪?，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以；?）解：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則，設(shè)平面的法向量，則有，可取，則，所以與平面所成角的正弦值為.16．（2022·全國(guó)乙卷·高考真題）如圖，四面體中，，E為的中點(diǎn)．(1)證明：平面平面；(2)設(shè)，點(diǎn)F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求與平面所成的角的正弦值．【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)與平面所成的角的正弦值為〖祥解〗（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一