七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題復(fù)習(xí)資料親愛(ài)的同學(xué)們，七年級(jí)下冊(cè)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)旅程即將告一段落。這段時(shí)間里，我們探索了平面幾何的初步世界，結(jié)識(shí)了相交線、平行線，還學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系，并用它來(lái)描述點(diǎn)的位置；我們深入研究了三角形的基本性質(zhì)與全等判定，也初步接觸了數(shù)據(jù)的收集與整理。這份復(fù)習(xí)資料旨在幫助大家系統(tǒng)梳理本學(xué)期的核心知識(shí)，鞏固重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，提升解題能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。請(qǐng)大家結(jié)合課本和課堂筆記，認(rèn)真研讀，查漏補(bǔ)缺，相信通過(guò)努力，你們一定能在數(shù)學(xué)的世界里收獲更多自信與樂(lè)趣。專題一：相交線與平行線一、知識(shí)梳理在我們生活的空間中，兩條直線的位置關(guān)系是構(gòu)成萬(wàn)千圖形的基礎(chǔ)。1.相交線當(dāng)兩條直線相交時(shí)，會(huì)形成四個(gè)角。其中，對(duì)頂角是指有公共頂點(diǎn)，且兩邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角，它們的大小相等。鄰補(bǔ)角則是指有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線的兩個(gè)角，它們的和為180度，即互補(bǔ)。特別地，當(dāng)兩條直線相交所成的角中有一個(gè)角是直角時(shí)，我們稱這兩條直線互相垂直，它們的交點(diǎn)叫做垂足。垂線有一個(gè)重要的性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；并且，連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短，這條垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離。2.平行線在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行。如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。判斷兩條直線是否平行，我們有以下幾種方法（平行線的判定）：*同位角相等，兩直線平行。*內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。*同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。一旦我們判定了兩條直線平行，那么它們就具有以下性質(zhì)（平行線的性質(zhì)）：*兩直線平行，同位角相等。*兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。*兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。3.平移圖形的平移是指在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形上的所有點(diǎn)都按照某個(gè)方向作相同距離的移動(dòng)。平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置。經(jīng)過(guò)平移，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等。二、重點(diǎn)難點(diǎn)突破1.相交線中的角：對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角的識(shí)別與計(jì)算在復(fù)雜圖形中識(shí)別對(duì)頂角和鄰補(bǔ)角是基礎(chǔ)。關(guān)鍵在于找到公共頂點(diǎn)和角的兩邊的位置關(guān)系。計(jì)算時(shí)，要充分利用對(duì)頂角相等、鄰補(bǔ)角互補(bǔ)的性質(zhì)。2.平行線的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用這是本章的核心，也是易錯(cuò)點(diǎn)。同學(xué)們要深刻理解“判定”與“性質(zhì)”的區(qū)別：“判定”是由角的數(shù)量關(guān)系（相等或互補(bǔ)）得出直線的位置關(guān)系（平行）；“性質(zhì)”則是由直線的位置關(guān)系（平行）得出角的數(shù)量關(guān)系（相等或互補(bǔ)）。在解題時(shí)，要明確已知條件是什么，要證的結(jié)論是什么，從而選擇合適的定理。常用的輔助線技巧：當(dāng)圖形中出現(xiàn)“折線”或“拐角”時(shí)，過(guò)拐點(diǎn)作已知直線的平行線，往往能構(gòu)造出同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，從而利用平行線的性質(zhì)解決問(wèn)題。3.幾何語(yǔ)言的規(guī)范表達(dá)幾何證明題需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫼鸵?guī)范的書(shū)寫。每一步推理都要有依據(jù)，如“對(duì)頂角相等”、“等量代換”、“同位角相等，兩直線平行”等。同學(xué)們要養(yǎng)成良好的書(shū)寫習(xí)慣。例題解析：已知：如圖，∠1=∠2，∠C=∠D。求證：∠A=∠F。分析：要證∠A=∠F，可考慮證明AC∥DF。要證AC∥DF，需找到相關(guān)的角關(guān)系。已知∠C=∠D，若能證明DB∥EC，則可利用平行線的性質(zhì)得到∠C=∠DBA，進(jìn)而得到∠D=∠DBA，從而AC∥DF。而證明DB∥EC，可利用已知∠1=∠2，且∠1=∠3（對(duì)頂角相等），所以∠2=∠3，即可得證。證明：∵∠1=∠2（已知），∠1=∠3（對(duì)頂角相等），∴∠2=∠3（等量代換）?！郉B∥EC（同位角相等，兩直線平行）?！唷螩=∠DBA（兩直線平行，同位角相等）。又∵∠C=∠D（已知），∴∠D=∠DBA（等量代換）。∴AC∥DF（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）。∴∠A=∠F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）。專題二：平面直角坐標(biāo)系一、知識(shí)梳理1.平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)成在平面內(nèi)，兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系。水平的數(shù)軸稱為x軸（或橫軸），取向右為正方向；豎直的數(shù)軸稱為y軸（或縱軸），取向上為正方向；兩軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)系的原點(diǎn)。2.點(diǎn)的坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，過(guò)P分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)a、b分別叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對(duì)（a，b）叫做點(diǎn)P的坐標(biāo)。3.各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)特征*第一象限：（+，+）*第二象限：（-，+）*第三象限：（-，-）*第四象限：（+，-）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)不屬于任何象限。x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0；y軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)為0。4.特殊點(diǎn)的坐標(biāo)特征*關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)：橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。*關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)：縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)。*關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)：橫、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。*平行于x軸的直線上的點(diǎn)：縱坐標(biāo)相同。*平行于y軸的直線上的點(diǎn)：橫坐標(biāo)相同。5.用坐標(biāo)表示平移在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（x，y）進(jìn)行平移：*向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)（x+a，y）；向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)（x-a，y）。*向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)（x，y+b）；向下平移b個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)（x，y-b）。二、重點(diǎn)難點(diǎn)突破1.根據(jù)點(diǎn)的位置確定坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)確定點(diǎn)的位置這是坐標(biāo)系的基本應(yīng)用。要熟練掌握各象限及坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征。2.對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)的求解掌握關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，可直接根據(jù)規(guī)律寫出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。3.利用坐標(biāo)解決圖形的平移問(wèn)題不僅要會(huì)根據(jù)平移方向和距離寫出平移后點(diǎn)的坐標(biāo)，還要能根據(jù)圖形上關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)變化，判斷圖形的平移方向和距離。4.建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系描述物體的位置這體現(xiàn)了坐標(biāo)系的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。關(guān)鍵在于選擇合適的原點(diǎn)和坐標(biāo)軸方向，使得所描述的點(diǎn)的坐標(biāo)盡可能簡(jiǎn)單。專題三：三角形一、知識(shí)梳理1.三角形的基本概念由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。三角形有三條邊、三個(gè)頂點(diǎn)、三個(gè)內(nèi)角。2.三角形的三邊關(guān)系三角形任意兩邊之和大于第三邊；三角形任意兩邊之差小于第三邊。判斷三條線段能否組成三角形：較短兩邊之和大于第三邊即可。3.三角形的內(nèi)角和與外角*三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°。*直角三角形的兩個(gè)銳角互余。*三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角。*三角形的外角性質(zhì)：1.三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。2.三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。三角形的外角和等于360°。4.三角形的中線、角平分線、高*中線：連接三角形一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段。三角形的三條中線交于一點(diǎn)（重心）。*角平分線：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段。三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)（內(nèi)心）。*高：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段。三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn)（垂心）。注意：不同類型的三角形（銳角、直角、鈍角），高的位置有所不同。直角三角形的兩條直角邊互為高；鈍角三角形有兩條高在三角形外部。5.全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。6.全等三角形的判定方法*SSS（邊邊邊）：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*SAS（邊角邊）：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*ASA（角邊角）：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*AAS（角角邊）：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。*HL（斜邊、直角邊）：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。（僅適用于直角三角形）7.角的平分線的性質(zhì)與判定*性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。*判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。二、重點(diǎn)難點(diǎn)突破1.三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用判斷三條線段能否組成三角形，已知兩邊求第三邊的取值范圍，以及解決相關(guān)不等關(guān)系的證明。2.三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用利用內(nèi)角和定理求角的度數(shù)，結(jié)合角平分線、高線等知識(shí)進(jìn)行角度計(jì)算。注意方程思想的應(yīng)用，當(dāng)角之間存在數(shù)量關(guān)系時(shí)，可設(shè)未知數(shù)，列方程求解。3.全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用這是本章的核心內(nèi)容。*判定兩個(gè)三角形全等，要根據(jù)已知條件選擇合適的判定方法。注意“SSA”和“AAA”不能判定三角形全等。*證明線段相等或角相等，常通過(guò)證明它們所在的兩個(gè)三角形全等來(lái)實(shí)現(xiàn)。*輔助線添加：常見(jiàn)的有連接某兩點(diǎn)、延長(zhǎng)某線段、作角平分線、作高、截取等，目的是構(gòu)造全等三角形或創(chuàng)造使用全等條件的環(huán)境。4.利用全等解決實(shí)際問(wèn)題如測(cè)量無(wú)法直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，利用全等三角形的性質(zhì)“對(duì)應(yīng)邊相等”來(lái)解決。例題解析：已知：如圖，AB=CD，AE=DF，CE=BF。求證：AF=DE。分析：要證AF=DE，可考慮證明△AFB≌△DEC或△AFE≌△DEF。已知AB=CD，AE=DF，CE=BF。觀察BF和CE，若將它們分別看作△AFB和△DEC的邊，則BF=CE，AB=CD，還需一個(gè)條件，如∠B=∠C或AF=DE（后者是結(jié)論）。另一種思路，CE=BF，即CF+EF=BE+EF，所以CF=BE。這樣，在△ABE和△DCF中，AB=CD，AE=DF，BE=CF，可證△ABE≌△DCF（SSS），得到∠AEB=∠DFC，進(jìn)而得到∠AEF=∠DFE，再在△AFE和△DEF中，利用SAS證明全等。證明：∵CE=BF（已知），∴CE-EF=BF-EF（等式性質(zhì)），即CF=BE。在△ABE和△DCF中，AB=DC（已知），AE=DF（已知），BE=CF（已證），∴△ABE≌△DCF（SSS）?！唷螦EB=∠DFC（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）?！摺螦EB+∠AEF=180°，∠DFC+∠DFE=180°（鄰補(bǔ)角定義），∴∠AEF=∠DFE（等角的補(bǔ)角相等）。在△AFE和△DEF中，AE=DF（已知），∠AEF=∠DFE（已證），EF=FE（公共邊），∴△AFE≌△DEF（SAS）?！郃F=DE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）。專題四：數(shù)據(jù)的收集、整理與描述一、知識(shí)梳理1.數(shù)據(jù)的收集*全面調(diào)查（普查）：對(duì)全體對(duì)象進(jìn)行的調(diào)查。*抽樣調(diào)查：從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)推斷全體對(duì)象的情況。*總體、個(gè)體、樣本、樣本容量：要明確考察的對(duì)象。2.數(shù)據(jù)的整理常用的整理數(shù)據(jù)的方法是劃記法，結(jié)果常用表格來(lái)表示（頻數(shù)分布表）。頻數(shù)：每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)。頻率：每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值（或百分比）。3.數(shù)據(jù)的描述*統(tǒng)計(jì)圖：1.條形統(tǒng)計(jì)圖：能清楚地表示出每個(gè)項(xiàng)目的具體數(shù)目。2.扇形統(tǒng)計(jì)圖：能清楚地表示出各部分在總體中所占的百分比。3.折線統(tǒng)計(jì)圖：能清楚地反映事物的變化趨勢(shì)。4.頻數(shù)分布直方圖：能清晰地顯示數(shù)據(jù)的分布情況。4.頻數(shù)分布直方圖的繪制步驟（1）計(jì)算最大值與最小值的差（極差）；（2）決定組距與組數(shù)；（3）列頻數(shù)分布表；（4）畫(huà)頻數(shù)分布直方圖。二、重點(diǎn)難點(diǎn)突破1.選擇合適的調(diào)查方式了解普查和抽樣調(diào)查的優(yōu)缺點(diǎn)及適用范圍。普查結(jié)果準(zhǔn)確，但耗費(fèi)人力、物力和時(shí)間多；抽樣調(diào)查結(jié)果近似，但更高效。當(dāng)考察對(duì)象數(shù)量眾多、具有破壞性或不必要普查時(shí)，通常采用抽樣調(diào)查。2.扇形統(tǒng)計(jì)圖的理解與計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中，各部分百分比之和為100%。每部分扇形的圓心角=該部分百分比×360°。已知總體數(shù)量和某部分百分比，可求該部分?jǐn)?shù)量。3.頻數(shù)分布直方圖的讀圖與繪圖理解橫軸（組距、分組）和縱軸（頻數(shù)）的意義。能從直方圖中獲取數(shù)據(jù)分布信息，如哪個(gè)范圍的頻數(shù)最多/最少，計(jì)算頻數(shù)總和等。繪制時(shí)要注意組距的一致性和規(guī)范性。4.從統(tǒng)計(jì)圖表中獲取信息，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析和判斷這是統(tǒng)計(jì)知識(shí)的實(shí)際應(yīng)用。要能綜合運(yùn)用各種統(tǒng)計(jì)圖表的特點(diǎn)，從中提取有效信息，做出合理的解釋和推斷。復(fù)習(xí)建議1.回歸課本，夯實(shí)基礎(chǔ)：復(fù)習(xí)首先要回到課本，把基本概念、定義、性質(zhì)、定理、公式等梳理清楚，理解其內(nèi)涵和外延。2.梳理知識(shí)網(wǎng)絡(luò)：將各章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，形成知識(shí)體系，如思維導(dǎo)圖，這樣記憶更牢固，運(yùn)用更靈活。3.重視錯(cuò)題反思：整理錯(cuò)題本，分析錯(cuò)誤原因，是概念不清、方法不對(duì)還是計(jì)算失誤？針對(duì)性地