2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)與全息技術(shù)試卷一、選擇題（共10題，每題3分，共30分）在全息幾何實(shí)驗(yàn)室中，通過手勢操作將一個正三棱錐繞其高線旋轉(zhuǎn)180°，所形成的旋轉(zhuǎn)體的表面積與原三棱錐表面積的比值為（）A.1:1B.2:1C.π:√3D.2π:3√3使用全息投影演示二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像變換時(shí)，若保持a>0不變，將全息坐標(biāo)系中b的值從-2逐漸調(diào)整為2，圖像頂點(diǎn)軌跡形成的函數(shù)是（）A.直線B.拋物線C.雙曲線D.圓在虛擬空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(1,2,3)關(guān)于全息投影面xOz平面的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(1,-2,3)B.(-1,2,3)C.(1,2,-3)D.(-1,-2,-3)全息技術(shù)模擬圓柱的側(cè)面展開圖時(shí)，若圓柱底面半徑為2，高為5，展開后形成的矩形對角線長度是（）A.√29B.√41C.√(4π2+25)D.√(16π2+25)在動態(tài)全息幾何模型中，一個銳角三角形的外心、重心、垂心的位置關(guān)系是（）A.三點(diǎn)共線B.構(gòu)成直角三角形C.構(gòu)成等邊三角形D.重合使用全息交互系統(tǒng)解方程組時(shí)，若兩直線3x+2y=5和ax-4y=8的全息投影圖像平行，則a的值為（）A.6B.-6C.3/2D.-3/2全息投影演示圓與直線的位置關(guān)系時(shí)，若圓(x-1)2+(y+2)2=9與直線3x-4y+m=0的距離為2，則m的值不可能是（）A.-12B.8C.18D.28在虛擬概率實(shí)驗(yàn)中，通過全息骰子模擬擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為7的概率與全息投影中顯示的紅色區(qū)域面積占比的關(guān)系是（）A.概率=紅色區(qū)域面積/總面積B.概率=紅色區(qū)域周長/總周長C.概率=紅色區(qū)域體積/總體積D.無直接關(guān)聯(lián)全息坐標(biāo)系中，將函數(shù)y=sinx的圖像沿x軸方向拉伸為原來的2倍，再沿y軸方向壓縮為原來的1/2，得到的新函數(shù)解析式是（）A.y=2sin(1/2x)B.y=1/2sin(2x)C.y=1/2sin(1/2x)D.y=2sin(2x)在全息幾何證明題中，需通過動態(tài)演示驗(yàn)證“三角形中位線定理”，下列操作步驟正確的是（）A.平移中位線至第三邊中點(diǎn)B.旋轉(zhuǎn)三角形使中位線與第三邊重合C.縮放三角形至中位線等于第三邊一半D.對稱變換中位線形成平行四邊形二、填空題（共6題，每題4分，共24分）在全息立體幾何實(shí)驗(yàn)室中，用棱長為2的正方體木塊切削出一個最大的正四面體，剩余部分的體積與原正方體體積的比值為______。使用全息動態(tài)函數(shù)圖像系統(tǒng)觀察反比例函數(shù)y=k/x與直線y=x-1的交點(diǎn)變化，若兩圖像在全息投影中無交點(diǎn)，則k的取值范圍是______。虛擬空間中，棱長為a的正八面體的內(nèi)切球半徑與外接球半徑的比值為______。全息投影演示拋物線y2=4x的焦點(diǎn)弦AB，若AB與x軸夾角為60°，則弦長|AB|=______。在概率全息模擬實(shí)驗(yàn)中，連續(xù)擲一枚虛擬硬幣直至出現(xiàn)正面為止，若全息投影顯示“恰好第3次停止”的概率為p，則p=______。動態(tài)全息幾何模型中，矩形ABCD的邊AB=3，BC=4，以對角線AC為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體體積是______。三、解答題（共5題，共66分）（12分）全息技術(shù)應(yīng)用：如圖1（全息投影截圖），在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，通過全息交互系統(tǒng)將△ABC繞直角邊AC旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐。（1）求該圓錐的側(cè)面積；（2）在全息坐標(biāo)系中，若點(diǎn)B的初始坐標(biāo)為(0,4,0)，旋轉(zhuǎn)過程中形成的軌跡方程是什么？（3）通過全息切片技術(shù)，用一個與底面平行的平面截圓錐，得到的截面圓面積為π，求截面與底面的距離。（14分）函數(shù)與全息動態(tài)分析：在虛擬函數(shù)實(shí)驗(yàn)室中，全息投影顯示二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(-1,2)和B(3,6)。（1）求函數(shù)f(x)的解析式；（2）通過手勢縮放全息坐標(biāo)系，使函數(shù)圖像在x∈[-2,4]范圍內(nèi)完整顯示，求此時(shí)圖像最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的全息坐標(biāo)；（3）若將函數(shù)圖像繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到新函數(shù)g(x)，求g(x)與原函數(shù)f(x)的交點(diǎn)坐標(biāo)。（14分）立體幾何與全息建模：如圖2（全息模型截圖），一個透明的正四棱錐形容器（頂點(diǎn)朝下），底面邊長為4，高為6，通過全息注水模擬，當(dāng)水面高度為h時(shí)：（1）求水面形成的正方形邊長與h的函數(shù)關(guān)系；（2）若注水速度為2cm3/s，求當(dāng)h=3時(shí)水面上升的速率；（3）全息系統(tǒng)提示“當(dāng)容器內(nèi)水的體積是容器容積的1/8時(shí)停止注水”，求此時(shí)水面高度。（13分）概率與統(tǒng)計(jì)全息實(shí)驗(yàn)：在虛擬抽獎系統(tǒng)中，全息投影顯示一個正六邊形轉(zhuǎn)盤，邊長為10cm，六個區(qū)域分別標(biāo)注數(shù)字1-6。（1）求數(shù)字1所在扇形的圓心角和面積；（2）連續(xù)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤3次，求全息投影中顯示“至少出現(xiàn)一次數(shù)字6”的概率；（3）若轉(zhuǎn)盤繞中心旋轉(zhuǎn)60°后與原圖形重合，求旋轉(zhuǎn)過程中掃過的區(qū)域邊界長度。（13分）綜合應(yīng)用題：全息技術(shù)與數(shù)學(xué)建模某中學(xué)全息實(shí)驗(yàn)室需設(shè)計(jì)一個“動態(tài)幾何展示臺”，其底面為矩形，周長固定為20米，高為3米。（1）設(shè)底面長為x米，用全息軟件生成展示臺體積V與x的函數(shù)關(guān)系式，并求V的最大值；（2）展示臺側(cè)面使用全息投影材料，每平方米造價(jià)為150元，底面使用防滑材料，每平方米造價(jià)為200元，求總造價(jià)最低時(shí)的底面尺寸；（3）在全息模擬運(yùn)輸過程中，若展示臺不能通過直徑為2.5米的圓柱形通道，判斷此時(shí)展示臺的寬是否符合運(yùn)輸要求（參考數(shù)據(jù)：√2≈1.414，√3≈1.732）。四、創(chuàng)新實(shí)踐題（共1題，10分）全息技術(shù)探究題：利用全息幾何軟件構(gòu)建一個底面半徑為r、高為h的圓錐模型，通過動態(tài)調(diào)整參數(shù)觀察其性質(zhì)：（1）當(dāng)r=h時(shí)，在全息投影中測量圓錐側(cè)面展開圖的圓心角；（2）若保持圓錐體積不變，探究r與h的函數(shù)關(guān)系，并在全息坐標(biāo)系中畫出圖像；（3）設(shè)計(jì)一個全息實(shí)驗(yàn)步驟，驗(yàn)證“圓錐的側(cè)面積等于πrl（l