2025年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)等腰三角形性質(zhì)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）等腰三角形的對(duì)稱(chēng)軸是（）A.底邊上的中線(xiàn)所在直線(xiàn)B.腰上的高所在直線(xiàn)C.頂角的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)D.底角的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)若等腰三角形的頂角為70°，則它的一個(gè)底角的度數(shù)為（）A.35°B.55°C.70°D.110°如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線(xiàn)，若∠BAD=30°，則∠BAC的度數(shù)為（）A.30°B.45°C.60°D.90°等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和7，則它的周長(zhǎng)為（）A.13B.17C.13或17D.無(wú)法確定如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，則∠A的度數(shù)為（）A.30°B.36°C.45°D.72°等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則其頂角的度數(shù)為（）A.50°B.130°C.50°或130°D.40°或140°如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且∠E=30°，則∠ACE的度數(shù)為（）A.70°B.80°C.110°D.120°下列關(guān)于等腰三角形的說(shuō)法中，正確的是（）A.等腰三角形的三條中線(xiàn)都相等B.等腰三角形的三條高都相等C.等腰三角形的三條角平分線(xiàn)都相等D.等腰三角形底邊上的中線(xiàn)、高和角平分線(xiàn)重合如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.DE=DFB.AE=AFC.BE=CFD.BD=DE已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為6，腰長(zhǎng)為x，則x的取值范圍是（）A.x＞3B.x＞6C.0＜x＜3D.3＜x＜6二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠B=65°，則∠C=°，∠A=°．等腰三角形的“三線(xiàn)合一”是指_________________________________________________________．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，若BC=8cm，則BD=cm，∠BAD=∠．若等腰三角形的一個(gè)外角為110°，則它的頂角的度數(shù)為_(kāi)_______°．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在BC上，且AD=BD，AC=CD，則∠B=________°．等腰三角形底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和等于一腰上的高，若等腰三角形的腰長(zhǎng)為5，底邊上的高為4，則底邊上任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和為_(kāi)_______．三、解答題（本大題共7小題，共66分）17.（8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，求∠B和∠C的度數(shù)．18.（8分）如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F．求證：DE=DF．19.（10分）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為20cm，其中一邊長(zhǎng)為5cm，求其他兩邊的長(zhǎng)．20.（10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD是BC邊上的中線(xiàn)，E是AB的中點(diǎn)，連接DE．（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）求證：△ADE是等邊三角形．21.（10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E在BC上，且AD=AE．求證：BD=CE．22.（10分）如圖，在△ABC中，∠B=∠C，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且BD=CE，連接DE交BC于F．求證：DF=EF．23.（10分）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，且DE⊥DF．（1）求證：DE=DF；（2）若BE=12，CF=5，求EF的長(zhǎng)．參考答案及解析一、選擇題C2.B3.C4.B5.B6.C7.A8.D9.D10.A二、填空題65，50等腰三角形底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高和頂角的平分線(xiàn)互相重合4，CAD70或40364三、解答題解：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=50°，∴∠B=∠C=（180°-50°）÷2=65°．證明：∵AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，∴AD平分∠BAC（等腰三角形三線(xiàn)合一）．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）．解：①若底邊長(zhǎng)為5cm，則腰長(zhǎng)為（20-5）÷2=7.5cm．此時(shí)三邊長(zhǎng)為5cm，7.5cm，7.5cm，符合三角形三邊關(guān)系．②若腰長(zhǎng)為5cm，則底邊長(zhǎng)為20-5×2=10cm．此時(shí)三邊長(zhǎng)為5cm，5cm，10cm，∵5+5=10，不符合三角形三邊關(guān)系，舍去．∴其他兩邊的長(zhǎng)均為7.5cm．（1）解：∵AB=AC，AD是BC邊上的中線(xiàn)，∴AD平分∠BAC（等腰三角形三線(xiàn)合一）．∵∠BAC=120°，∴∠BAD=∠BAC÷2=60°．（2）證明：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=（180°-120°）÷2=30°．∵AD是BC邊上的中線(xiàn)，∴AD⊥BC（等腰三角形三線(xiàn)合一），∴∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∠B=30°，∴AD=AB÷2（直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）．∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE=AB÷2，∴AD=AE．∵∠BAD=60°，∴△ADE是等邊三角形（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）．證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED．∵∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE，∴∠BAD=∠CAE．在△ABD和△ACE中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE．證明：過(guò)點(diǎn)D作DG∥AC交BC于G，則∠DGB=∠ACB，∠GDF=∠E．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∴∠B=∠DGB，∴BD=DG．∵BD=CE，∴DG=CE．在△DGF和△ECF中，∵∠GDF=∠E，∠DFG=∠EFC，DG=CE，∴△DGF≌△ECF（AAS），∴DF=EF．（1）證明：連接AD．∵AB=AC，∠A=90°，D是BC中點(diǎn)，∴AD=BD=CD，AD平分∠BAC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=45°，∠B=∠C=45°，∴∠B=∠CAD．∵DE⊥DF，∴∠EDF=90°，∵∠ADB=90°，∴∠ADE+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°，∴∠ADE=∠CDF．在△ADE和△CDF中，∵∠ADE=∠CDF，AD=CD，∠DAE