第3講三角恒等變換與解三角形

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)一三角恒等變換

i.三角求值“三大類型”

“給角求值”“給值求值”“給值求角”.

2.三角恒等變換“四大策略”

(1)常值代換:常用到"1”的代換，l=sin2。+cos2。=tan45°等.

(2)項(xiàng)的拆分與角的配湊：如sin2a+2cos%=(sin%—cos%)+cos%,a=(a—B)+

8等.

(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.

(4)弦、切互化.

【熱點(diǎn)突破】

【典例】1(1)(2020?全國I)已知aW(0,Ji),且3cos2a_8cosa=5,則sina等

±()

A.eqB.eqB.C.eqC.D.eqD.

【答案】A

【解析】由3cos2a—8cosa=5,

得3(2COS?a—1)—8cosa=5,

即3cos2a—4cosa—4=0,

2

解得cosQ=一鼻或cosa=2(舍去).

o

又因?yàn)閍￡(0,n),所以sina>0,

(2)已知sina=T-,sin(a一B)=一a,B均為銳角，則B等于()

b1U

A.eqB.cqB.C.cqC.D.eqD.

【答案】C

【解析】因?yàn)閍,B均為銳角，所以—一■<"—B<q

又sin(a-B)=一^^,所以cos(a-B)=今伊.

又sina=幸,所以cosa

55

所以sin3=sin[a—(a—3)]

=sinacos(a-B)-cosasin(a-3)

=坦噂一啰x(需卜平

JT

所以6=7.

【方法總結(jié)】

(i)公式的使用過程要注意正確性,要特別注意公式中的符號(hào)和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)“張

冠李戴”的情況.

(2)求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解.

【拓展訓(xùn)練】1(1)已知a￡(0,J),B￡(0,y),tana=/段百，則()

Jin

A.a+B=~B.a-8=~

乙

JlJI

C.a+3=-D.a+23=-

*乙

【答案】B

cos2Bcos2B-sin2P

【解析】tana=

1—sin2Pcos'P4-sin'P_2sin3cosB

cosB+sinBcosB-sinB

cosB-sinB

cosB+sinB1+tanBfn\

n?o=?r>=tsnl-iPL

cos3—sinB1—tanP\4)

因?yàn)閍w（0,5）,Bw（0，9,

所以a=9+B，即a—B=?.

(2)(tan100—y[3)?‘°、I'=.

vsin

【答案】-2

l(*os10°

(解析](tan100—yli),—r-=(tan10°—tan600),

vsin50

(sin10。sin60。)cos10°sin—50°cos100]

\_cos10°cos600)sin50°cos100cos60°sin500cos6011

【要點(diǎn)提煉】

考點(diǎn)二正弦定理、余弦定理

1.正弦定理：在AABC中，謂不=磊=+=29為AABC的外接圓半徑）.變形：a

abc

=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinA=rz,sinB=rz,sinC=rz,a：b：c=sinA：sinB：

/KZKZK

sinC等.

2.余弦定理：在Z\ABC中,a2=b2+c2-2bccosA.

變形：bz+c2—a2=2bccosA,cosA=

2bc

考向2求解三角形中的最值與范圍問題

【典例】3（2020?新高考測(cè)評(píng)聯(lián)盟聯(lián)考）在：①a=/csinA-acosC,②（2a—b）sinA

+（2b—a）sinB=2csinC這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問題中，并解答.

已知AABC的角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,c=小,而且.

⑴求角C；

⑵求aABC周長的最大值.

解（1）選①：因?yàn)閍=，5csinA—acosC,

所以sinA=^3sinCsinA—sinAcosC,

因?yàn)閟inAWO,所以q3sinC-cosC=l,

JIn5n

因?yàn)閛<c<%所以一小c一小丁

.bJIn

所以c——,nnc=—

663

選②：因?yàn)?2a—b)sinA4-(2b—a)sinB=2csinC,

所以(2a—b)a+(2b—a)b=2c~,

即a2+b~—c2=ab,

3ja2+bJ-cJ1

所以cosC=7_r=77?

，ab乙

n

因?yàn)镺〈C<JI,所以C=R.

(2)由(I)可知，C=2，

o

在aABC中，由余弦定理得

a2+b2-2abcosC=3,即a2+b2~ab=3,

所以(a+b)2-3=3abW：'，

所以a+bW2#,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立，

所以a+b+cW3函，即AABC周長的最大值為3#.

【方法總結(jié)】(1)利用余弦定理求邊，一般是已知三角形的兩邊及其夾角.利用正弦定理求

邊，必須知道兩角及其中一邊，且該邊為其中一角的對(duì)邊，要注意解的多樣性與合理性.

(2)三角形中的最值與范圍問題主要有兩種解決方法:一是利用基本不等式求得最大值或最小

值；二是將所求式轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個(gè)角的三角函數(shù)形式，結(jié)合角的范圍確定所求式

的范圍.

【拓展訓(xùn)練】2(1)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)功分別為a,b,c.若aABC的面積為S,

且a=l,45=丫+，-1,則AABC外接圓的面積為()

A.4nB.2nC.nD.eqD.

【答案】I)

【解析】由余弦定理得，b2+c2—a?=2bccosA,a=L

所以b‘Ic~1=2bccosA,

又S=；bcsinA,4S=b'+c2—1,

所以4X^bcsinA=2bccosA,

即sinA=cosA,所以A=一~,

由正弦定理得，—L-=2R,得1?=乎，

Jl乙

sinT

所以△ABC外接圓的面積為

⑵在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若A=3B,則三的取值范圍是()

b

A.(0,3)B.(1,3)C.(0,1]D.(1,2]

【答案】B

_“LfsinAsin3Bsin2B+Bsin2BcosB+cos2Bsir.B

【解析】A=3B=—z=—r=----——=--------------------=

sinBsinBsinBsinB

2sinBcos"B+cos2Bsin3,asinA

----------:------------=2COS2?B+COS2B=2COS2B-1,即ur11=-~-=2cos2B+1,

sinB------------------------------bsinB

又A+B￡(0,n),gp4BG(0,n)=2B￡(0,高ncos2B￡(0,1),.力￡(1,3).

(3)在AABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若tanC=號(hào)，a=b=45,BC邊

上的中點(diǎn)為D,則sinNDAC=,AD=.

【答案】噂平

【解析】因?yàn)閠anC=v?所以sinC=||,cosC=V，

013lo

又a=b=，。，所以c2=a2+b?-2abcosC=13+13-2xV13XJ13X-^-=16,所以c=4.

1J

,1.__=c限=J_

rasinZBACsinC'sinZBAC12'

13

解得sinZBAC=^yP.

1J

因?yàn)锽C邊上的中點(diǎn)為D,所以CD=/

所以在中，AD?=b』停'-2xbX^XcosC=牛，所以/\。=乎.

專題訓(xùn)練

一、單項(xiàng)選擇題

2

1.(2020?全國HI)在△ABC中，cosC=鼻，AC=4,BC=3,則cosB等于()

<5

A.eqB.eqB.C.eqC.D.eqD.

【答案】A

2

【解析】由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC?BCcosC=42+32-2X4X3X-=9,所以AB

o

=3,

叱…nAB'+BC-9+9—161

==

所以cosB=2AB.BC2X3X3?

0+sinf0+vl=h則sinQ+看）等于（

2.(2020?全國HD已知sin)

A.eqB.eqB.C.eqC.D.eqD.

【答案】B

【解析】因?yàn)閟in04-sin

nJI+si(n(0+Jiy+-JT

=sin0

4-^r^cos---cos|

=sin0(°+i■卜n

sin(°+7)cos-4-co(0+i)sini

所以sin0

3-

sin2cB弋,則a

3.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b=2,

1—cos2C

的值為（）

A.eq-1B.2m+2

C.2^3-2D.eqD.啦+,

【答案】D

【解析】在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b=2,""==1,

1-cos2c

2sinCeosC

所以所以tanC=l,C=(.

2sin'C

因?yàn)锽=《，所以A=又一B-C=1,

o1Z

JIJTn

所以sinA=sin|+=ssiin了cos~+cos-sin

(Ti)o~~4

a2

由正弦定理可得,則a=^+小.

4.在aABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,acosB+bcosA=2ccosC,c=y/7,且

△ABC的面積為平，則AABC的周長為()

A.1+巾B.2+S

C.4+SD.5+小

【答案】D

【解析】在△ABC中，acosB+bcosA=2ccosC,

則sinAcosB+sinBcosA=2sinCeosC,

即sin(A+B)=2sinCeosC,

Vsin(A+B)=sinC^O,AcosC=T,.*.C=—,

由余弦定理可得，a2+b2—c2=ab,

即(a+b)2-3ab=(?=7,

又S=%bsinC=^ab=羋，Aab=6,

乙Q乙

A(a+b)2=7+3ab=25,即a+b=5,

:.AABC的周長為a+b+c=5+小.

、氏3

5.若a,B都是銳角，且cosa=+~,sin(a+p)=-,則cosB等于()

DD

A-f

c.乎或縛D限座

525

【答案】A

【解析】因?yàn)閍,B都是銳角，且cosa=害多

nn

所以〈丁，

J乙

又sin(a+B)=|,而乎,

0/J/

所以#"<a+B<千,

4O

.------：---------4

所以cos(a+B)=-\/l—sir?a+B=-

2m

又sina=-\/l—cos2a=

5

所以cosB=cos(a+B-a)=cos(Q+B)cosa+sin(a+B)?sina=~~.

Zo

6.在AABC中，A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若A=120°,a=l,則2b+3c的最大值為()

A.3B.絆^C.3小D.羋

o乙

【答案】B

【解析】因?yàn)锳=120°,a=l,所以由正弦定理可得

b12^3

sinBsinCsinAsin12003

2^3c邛inC,

所以b=sinB,

3?5

故2b+3c=羋sin

B+2、/5sinC

o

W3.

sin(60?！狢)+2^/§sinC

3

4A/3Cmgsin(C+8).

-sinC+2cos

oJ

其中sine=卑cosT

所以2b+3c的最大值為斗史.

J

二、多項(xiàng)選擇題

7.（2020?臨沂模擬）在AABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若b=24,c=3,A

+3C=n,則下列結(jié)論正確的是（)

r

A.cos亞B.sinB等

o

C.a=3D.SAABC=*\/2

【答案】AD

【解析】因?yàn)锳+3C=*A+B+C="，所以B=2C.由正弦定理^^=岳,得羔

2#康所以cosC=當(dāng)，故A正確；因?yàn)閏ose邛，所以sin

即

sinC2sinCeosC

/72C=2sinCeosC=2X算X^=乎，故B錯(cuò)誤；因?yàn)閏osB=

C=+，所以sinB=sin

oooo

21

cos2C=2cos'C—1=—所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=

XQ=Q)則cosA=^，所以a2=b2+c2-2bccosA=(2#)2+3?-2X2#X3X早

ot/yt/

=1,所以a=l,故C錯(cuò)誤；SAAM=|bcsinA=1x2^/3X3X^=^2,故D正確.

乙乙7/

n

8.已知。＜。＜，若sin20=m,cos20=n且m#n,則下列選項(xiàng)中與恒相

等的有（)

._D_n1—m

A，B侏c.—D.——

1+minn

【答案】AD

??

【解析】?sin20=m,cos2。=n,

e+j.二口葉.

n1-rm

1—tan0cos0—sin0

1+tan0cos()+sin0

cos0-sin0cos()—sin01—sin201—mn

cos°+sin0cos°—sin0cos20n1+nf

三、填空題

9.（2020?保定模擬）己知tan（1+asin2a—cos'a

,則，

1+cos2a

5

61

n

/、.tan-4-tana

ZuAl4

【解析】因?yàn)閠an(7+aj=5,所以------------------

1-tan-rtana

4

即懸a__j_

解得taia=一

1=5'J

.sin2a-cos2a2sinacosa-cos2a15

所以1=oT~=tana-~=一~

1+cos2a2cosa26

10.在AABC中，a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且生：=棄空I二彳,則A=

sincsinIJsinA

【答案】

b______c

【解析】由正弦定理什

sinBsinC'

b+a2asinB-c

得

cb-a

整理得b'—aJ=2acsinB-c2,

即b2+c2—a2=2acsinB=2bcsinA,

由余弦定理得，b2+c2—a2=2bccosA,

.*.2bccosA=2bcsinA,即cosA=sinA,

n

tanA=1,/.A=-r

4

11.（2020?全國I）如圖，在三棱錐P—ABC的平面展開圖中，AC=1,AB=AD=，5,AB1AC,

ABIAD,ZCAE=30°,則cosNFCB=.

E（P）V

F（尸）

【答案】

【解析】在AABD中，VAB±AD,AB=AD="3,ABD=^6,AFB=BD=*\/6.

在4ACE中，???AE=AD=\5,AC=1,ZCAE=30°,

AEC=yj2+12-2XA/3X1Xcos30°=1,

ACF=CE=1.

2222=

又???BC=>/AC4-AB=-\/l-|-V52?

，在4FCB中,由余弦定理得

cosNFCB=~吐笛」2+于一乖二」

2XCFXBC2X1X24,

12.（2020?山東省師范大學(xué)附中月考）在△ABC中，設(shè)角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,

S

記AABC的面積為S,且4a2=b?+2c2,則f的最大值為

a

【答案】華

【解析】由題意知，4a2=b'+21=1）2=4a'—2c'=a"+cJ-2eiccosB,

。32-a2

整理，得2accosB=-3a?+3c~=cosB=-----c---------,

1—cosJB

代入COS整理得

S9X2-22X2+9

aaa

令t吟則/)=4(9>22t+9)

w、/S\10L,j,S一聽“s……、，標(biāo)

所以⑺近而所以六6，故￡的最大值為6?

四、解答題

13.(2020?全國H)ZkABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

⑴求A；

（2）若BC=3,求AABC周長的最大值.

解（1）由正弦定理和已知條件得

BC2-AC2-AB2=AC?AB.?

由余弦定理得BC2=