2024-2025學(xué)年高一第二學(xué)期期末調(diào)研考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試

卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分,在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.已知集合，=(°2]產(chǎn)=[一2,0],則仙4=()

A.(0,2]R[-20]C.[-2,2]D{°}

【答案】C

【解析】

【分析】由區(qū)間及并集定義可得答案.

【詳解】由題A={x[0<xW2},B={X\-2<X<0},

則AuB={x\-2<x<2]=[-2,2].

故選:C

2.不等式a+i）a+3）>。的解集為（）

A.B.{%k>一1或x<-3}

C.-3jD.|x|-3<x<-l}

【答案】B

【解析】

【分析】由題可得不等式解集.

/、/、f^+l>0fx+1<0

【詳解】（x+l）（x+3>0n1.八或《.八，則得x>—l或x<-3.

7

'八|/+3>0[x+3<0

則解集為{不卜>一1或x<-3}.

故選:B

4+3i

3.復(fù)數(shù)z=—/在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1-21

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)幾何意義可得答案.

4+3i（4+3i）（l+2i）-2+1li（211、

【詳解】z=——=）（=---,則z對應(yīng)點(diǎn)為一工,三，在第二象限.

1-21（1-21）（1+21）5\55J

故選：B

4.已知向量a,8滿足。卜1,他=2,若a+b=近,則。與〃的夾角為（）

71-兀八兀、5兀

A.—B.-C.-D.—

126312

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律，建立方程并化簡，可得答案.

【詳解】設(shè)〃與〃的夾角為。，

由ci+〃=+=^|tz|2+2d-b+b=J同2+2同忖cos，+B=j5+4cos￡二幣,

則cos0=,，解得。=二.

23

故選:C.

5.在某頻率直方圖中，從左到右共有II個小矩形，若居中的那個小矩形的面積等于其他10個小矩形的面

積和的!，且樣本容量為160,則居中的那組數(shù)據(jù)的頻數(shù)為（）.

4

A.32B.0.2C.40D.0.25

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意得到居中的那個小矩形的面積占全部面積的;，計算得到答案.

【詳解】根據(jù)題意：居中的那個小矩形的面積占全部面積的1=20%,故160x20%=32.

故選:A.

6.在長方體ABCO-AGGA中.若=A4,=1,則AN與AG所成角的余弦值為（）

A.逅B.&C.逅D.偵

4323

【答案】A

【解析】

【分析】因?yàn)?CJ/AC,所以AR與AG所成角等于A。與AC所成的角，在△AC"中，利用余弦定

理求解即可.

【詳解】解：如圖，連接AC,CD,.

在長方體中，因?yàn)锳O//AC,所以AR與AC；所成角等于與4。所成的角;

在△AC。中，AC=?AD\=CD[=2,

RW+cA?-D,C2_22

由余弦定理得cosNR4C=

2xACxADt2x>/6x2-4.

故選：A.

sinl0°-2cos20°

7.-----------------------=()

cos10°

AGR6

A.------c.73D.—6

33

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)20。=30。-10。，利用兩角和差的三角公式化簡所給的式子，可得結(jié)論.

sinl00-2cos20。sin100-2uos(30°-10°)

【詳解】

coslO°cos10°

sin10。-2cos30。cos10。-2sin30。sin10。

cos10°

sinl00-2x^cosl00-2xlsinl0°

__________22

cos10°

-75cosio°

cos10°

故選:D.

8.已知正四面體.P—A3C的所有梭長均為石，D,E,尸分別為棱以，PB,PC的中點(diǎn)，則該正四面體

的外接球被平面。EF所截的截面面積為（）

兀-2兀_、八

A.—B.—C.兀D.2兀

33

【答案】C

【解析】

【分析】將正四面體如圖放于正方體/VCK-中，由題目條件可得外接球半徑，注意到四面體

P-E/T）相似于四面體P-A3C,相似比為據(jù)此可得球心到到平面EF。距離，然后可得截面圓半徑，

可得答案.

【詳解】將正四面體如圖放于正方體々CK-M8LA中，因P-4AC的所有棱長均為6,

則正方體棱長為$=逅，

該正四面體的外接球即正方體的外接球，球心。為正方體中心,

V22

述.因。，E,尸分別為棱E4,PB,PC的中點(diǎn)，則P—EFD

4

棱長均為也，則四面體?一日工）相似于四面體P-A8C,相似比為;.

2

則力田7>=2匕>一八m=*6,設(shè)右"D中心為°|,則夕。|為正四面體P—EFD的高.

832

2

也

1走

ST

￡=-￡X=V6nO=

3432-2

又P,Oe。三點(diǎn)共線，則。到立面EFQ距禽為QO=PO一0Q=迪

42~4

注意到該正四面體的外接球被平面OE尸所截的截面為圓，則圓半徑為一二后二研=小與2=1,故截

面面積為“2=兀.

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分.每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

9.設(shè)a,6，y表示三個不同的平面，，小〃表示兩條不同的直線，則下列結(jié)論正確的有（）

A.若。_Ly,/?_!_/,則a///B.若a_Ly,。//夕，則夕_1_/

C.若機(jī)_La,〃_L〃，m/lny則。//〃D.若用_La,〃_!_/?,機(jī)_L〃，則a_L/

【答案】BCD

【解析】

【分析】由平面與平面的位置關(guān)系判斷AB；由直線與平面垂直的性質(zhì)判斷CD.

【詳解】若a，/,Z?_Ly,則。//尸或a,尸相交，故A錯誤；

若1_17,a!ip,則〃_Ly,故B正確；

若〃?_L。，R上0,miln，則。///,故C1E確；

若〃?J_a,nLpy則a_L/,則D正確.

故選：BCD.

10.一只不透明的口袋中裝有形狀、大小都相同的4個小球，其中有2個紅球，I個白球和I個黑球.從中

1次隨機(jī)摸出2個球，記事件A為“2個都是紅球“，事件B為“1個紅球I個白球”，事件C為“有1個球是黑

球”，事件。為“至少有1個是紅球“，則（）

A.P（A）=-B.P（8）+P（C）=P⑼

6

C.事件A,B為相互獨(dú)立事件D.事件A,B為互斥事件

【答案】ABD

【解析】

【分析】設(shè)2個紅球?yàn)椤?，七，白球?yàn)?九黑球?yàn)閏,由題可得各事件樣本空間，據(jù)此可判斷各選項正誤.

【詳解】設(shè)2個紅球?yàn)?，%，白球?yàn)椤ǎ谇驗(yàn)槿?/p>

則I次隨機(jī)摸出2個球的樣本空間為：C=｛%%，%b,qc,%b,a2G僅'｝6種情況.

對于A,事件A的樣本空間為｛6%｝，則P（A）=,，故A正確；

對干B,事件8樣本空間為：｛他,生力｝，事件C樣本空間為：卜仔,%G反｝,

事件D樣本空間為：｛4"々為，4。,%。，4劣｝，則尸（8）=！，P（C）=-,尸（￡））=?,

326

則P（3）+P（C）=P（D）,故B正確；

對于CD,由以上分析可得事件A,3不能同時發(fā)生，乂則事件A,8為互斥事件.故C錯

誤，D正確.

故選：ABD

11.在VABC中，AB=AC=4,BC=4x/3,分別是的中點(diǎn)，將VADE沿著。E翻折，使點(diǎn)

A運(yùn)動到點(diǎn)P處，得到四棱錐〃一8。￡力，則（）

A.對任意的點(diǎn)P,始終有3C_LAP

B.存在某個點(diǎn)尸的位置，滿足平面PDEJL平面23c

C.對任意的點(diǎn)P,始終有平面PQE與平面P3C的交線1HBC

D.當(dāng)二面角2一。七一4為60。時，四棱錐P-BCE。的體積為走

2

【答案】AC

【解析】

【分析】對于A,利用線面垂直的判定定理求得8C_L平面A尸入即可證明結(jié)論；對于B,找出平面POE與

平面P3C所成的二面角，根據(jù)題意推導(dǎo)出/OP90，再推出B錯誤；對于C,利用線面平行的判定與

性質(zhì)定理即可證明結(jié)論；對于D,求出四棱錐的高即可利用體積公式算出結(jié)果即可.

對于A：取8C的中點(diǎn)F,連接AF交力E與。，連接尸F(xiàn),可知點(diǎn)。為。石的中點(diǎn),

又因?yàn)镈E為AB.AC的中點(diǎn),所以4?！筥0萬,BPPOIDE,同理得到O尸_LD凡

又POcOF=O,夕0,。尸＜=平面夕。尸，所以。七_(dá)L平面Q4廠,

因?yàn)镈E//BC,所以8C_L平面24尸，

又因?yàn)锳Pu平面QA/，所以5C_L4P,故A正確；

對于B：設(shè)平面PQE。平面PBC=/,因?yàn)镈E〃BC,DEu平面PDE，

故BC〃平面PQE，乂6Ca平面PDE，則BC///,由選項A知3C_L平面A4尸,

所以/_L平面PAF，則NOPF為平面PQE與平面P3C所成的二面角，

因?yàn)槭?=0/，所以不可能為直二面角，故B錯誤；

對干C：設(shè)平面也應(yīng)。平面P3C=/,因?yàn)镈E//BC,DEu平面PDE，

故BC〃平面PDE，又BCO平面PDE,則BC//1,故C正確；

如圖，取AC的中點(diǎn)M,連接AW交加E與N,連接QV7,可知點(diǎn)N為DE的中點(diǎn)

乂因?yàn)镽E為A民AC的中點(diǎn)，所以即PN_LOE,同理得到A/N_LOE,

乂PN、A4N=N,PN,MNu平面P^儀,所以DE_L平面產(chǎn)MV,

所以二面角?一。E一8的平面角為NPMW,

故/尸NM=60。，再過點(diǎn)戶作平面8CE。的垂線交于點(diǎn)H,

向

在直角三角形PM7中，P/7=P/Vxsin60=—，

2

S旗面二（2G+4g）xlx；=36,所以匕Acm=；x3Gx"=T,故D錯誤；

故選：AC

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.

12.數(shù)據(jù)2,6,8,3,3,4,6,8的上四分位數(shù)為.

【答案】7

【解析】

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義計算即可.

【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)?2,3,3,4,6,6,8,8,

8x75%=6,所以上四分位數(shù)第6個數(shù)與第7個數(shù)的中位數(shù)，為9則=7

2

故答案為：7.

13.一個正四棱臺形油槽的上、下底面邊長分別為60cm和40cm,深度為75cm,則該油槽的容積為L.

【答案】190

【解析】

【分析】由棱臺的體積公式即可求解.

【詳解】該油槽的容積為1x75x（6CP+402+60x40）=190000cm3=⑼>二3。=190L.

3171000cm3/L

故答案為：190.

14.在VABC中，若A8-（AC-C8）=58C?（84—AC）,則cosA的最小值為.

【答案】更

6

【解析】

2<2

【分析】先化簡已知式可得〃=土出二，代入余弦定理，由基本等不等式即可得出答案.

6

【詳解】由AB（AC-CB）=5BC（BA-AC）可得：

（AC+C孫（AC_CB）=5（54+AC）（BA-AC）,

所以AC?—CB2=5（%2—AC）,

設(shè)VA8c中，角A民C對應(yīng)的邊為凡，

所以從一/二5卜2一〃），所以"5c2,

22+5。.5212

口-I”2.212Cl"+C---------Cl+—C

所以cosB=a+。q=6=66

2ac2aclac

c5212c\[sc1

\6a6C2，~6aC&當(dāng)且僅當(dāng)二Ze"時取等，

>---------=-------=—66

2aclac

所以cosB的最小值為—.

6

故答案為：好.

6

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知m{R,函數(shù)/(%)=852%+25/^m8&￥-$出、+用的最小值為0.

(1)求常數(shù)〃?的值：

(2)求函數(shù)/(X)的圖象的對稱中心.

【答案】(1)m=2

(kit兀7r

⑵-/eZ

1212；

【解析】

【分析】(1)由二倍角的正弦、余弦公式和輔助角公式化簡/(力，再求出/(戈)由，即可求出常數(shù)，〃的值：

(2)由(1)可得〃x)=2sin(2x+m]+2,令2x+±=kn,kwZ,即可求出函數(shù)的圖象的對稱中

心.

【小問I詳解】

〃加8出+2履…-m'+*8s2x+Ain2*=2"2x+升"，

因?yàn)閟in(2x+()w[T,l],所以/(力一=-2+6=0,所以機(jī)=2.

【小問2詳解】

由⑴可得：/(x)=2sin2x+2)+2,

令2X+'=E,2EZ,則工=------,kGZ,

6212

所以函數(shù)/(力的圖象的對稱中心為怎一擊2卜EZ.

16.某廠生產(chǎn)的12件產(chǎn)品中，有10件合格品、2件不合格品，合格品與不合格品在外觀上沒有區(qū)別.從這

12件產(chǎn)品中任意抽檢2件.

（1）求2件都是合格品的概率；

（2）求1件是合格品、1件是不合格品的概率；

（3）若抽檢的2件產(chǎn)品都是不合格品，則這批產(chǎn)品將被退貨，求這批產(chǎn)品沒有被退貨的概率.

【答案】（1）匕

22

⑵此

33

65

（3）——

66

【解析】

【分析】（1）可得從12件產(chǎn)品中任意抽檢2件的基本事件數(shù)的共個數(shù)，同時可得其中2件都是合格品的事

件數(shù)，代入古典概型計算公式可得答案；

（2）可得I件是合格品、1件是不合格品的事件數(shù)，代入古典概型計算公式可得答案；

（3）可得抽檢的2件產(chǎn)品都是不合格品的事件數(shù)，代入古典概型計算公式可得這批產(chǎn)品沒有被退貨的概

率.

【小問1詳解】

從12件產(chǎn)品中任意抽檢2件，共有CA=孕口=66種抽取方法，

2x1

其中2件都是合格品的事件數(shù)有：《0=坐2=45種，

2x1

4515

可得2件都是合格品的概率：P=—=—.

6622

【小問2詳解】

其中1件是合格品、1件是不合格品的事件數(shù)有：C；C；o=2O種，

可得1件是合格品、1件是不合格品的概率：夕="=!；

6633

【小問3詳解】

抽檢的2件產(chǎn)品都是不合格品的事件數(shù)有=1種，

可得抽檢的2件產(chǎn)品都是不合格品的概率：P=L

66

即這批產(chǎn)品沒有被退貨的概率為

6666

17.已知mb,。分別為VA8C三個內(nèi)角4,B,。的對邊，&sinC+〃cosC=力+。.

(1)求A；

（2）若〃=l.V4/?。的面積為75.求

【答案】（1）A=-

3

（2）a=\/\3

【解析】

【分析】（1）由正弦定理、三角恒等變換即可求解；

（2）由三角形面積公式求得c,再由余弦定理即可求解〃.

【小問1詳解】

因?yàn)镚asinC+ocosC=b+c，所以GsinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC，

即V3sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，

BP73sinAsinC=cosAsinC+sinC，

因?yàn)??！辏?,兀），所以sinC>0,

所以x/5sinA=cosA+l，即2sin|A_.=I,BPsin^A-^=,

因?yàn)锳￡（0,7i）,所以孚］,

6I66J

所以A—乙二巴，解得A='

663

【小問2詳解】

由題意6=S?史■二9c，解得c=4,

…c224

所以由余弦定理有/=r+42-2xlx4xg=13,解得4=

18.如圖，在棱長為2的正方體48。一A181GA中，”為棱從4的中點(diǎn)，。為8。的中點(diǎn).

(1)證明：A。〃平面MBO;

(2)求點(diǎn)C到平面的距離;

（3）證明：平面MB。_L平面OGA.

【答案】（1）見解析（2）理

八

（3）見解析

【解析】

【分析】（1）由題意先證得MO//4。，再由線面平行的判定定理即可證明；

（2）由等體積法可得匕t皿=匕￡皿，再由棱錐的體枳公式即可得出答案；

⑶取AD,BC中點(diǎn)為E,產(chǎn)，由EF//CR,則平面0GA即為平面耳。。，先證得CAJLMQ,

ED,1MD,再由線面垂直的判定定理可證得平面OGR,最后由面面垂直的判定定理即可證明

平面平面。GR.

【小問1詳解】

連接M0,4C,因?yàn)樗倪呅蜛BC力為正方形，。為的中點(diǎn)，

所以AC過點(diǎn)。，且。為AC的中點(diǎn)，

在△AAC中，0,M分別為4cAA的中點(diǎn)，

所以MO//AC,ACS平面MOu平面M3。，

所以〃平面例反＞

【小問2詳解】

因?yàn)?。=yjBA2+AD2=」22s=25/2，

因?yàn)锳41J■底面ABC。，

48,4。（=底面43。。，所以翅A/）,AAJ,A8,

所以MB=MD=y/MA2+AD2=y/l2+22=6，

所以S.MQ=；x2VixJ（石『-=；x2無義幣=R，

SCBD=&X2X2=2,

設(shè)點(diǎn)C到平面MBD的距離為d,因?yàn)閂C-MBD=KM-CBD，

所以QS，"=QS.C8/)?AM,所以=所以d=—―.

333

所以點(diǎn)C到平面MBD的距離為在.

3

【小問3詳解】

取AD,3c的中點(diǎn)為瓦尸，連接所，C,F,連接RE與MD交于點(diǎn)Q,

由正方體的性質(zhì)可得EF//C.Z),,所以E,F，G，D],O五點(diǎn)共面，

所以平面OG。即為平面EFCQ,

又由正方體的性質(zhì)可得G。-L平面ADD}Ai,MDu平面A。。A,

所以在三角形0/0中，tanZD,FD=-^=2,lanZAMD=—=2,

EDMA

所以NRED=NAMD,又因?yàn)镹MD4+N/W〃)=90。，所以/MD4-FZDIED=90°,

所以在三角形QEQ,NEQD=90。,所以ER_LMO,

后。,€；。匚平面0€；2，EDqCR=Di，所以加。_1_平面0￡。1,

乂因?yàn)镸Qu平面所以正面MZ?Q_L平面。GA.

)--------4A

O：QD

ABAED

19.如圖，A3是圓。的直徑，AO垂直于圓。所在的平面，AB=2g，A。=2，點(diǎn)C是圓。上不同于

A8的任意一點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn).

(備用圖)

(1)證明：BC_L平面AC￡＞；

(2)若直線與平面AC。所戊的角為30。，求二面角O-CE-4的余弦值;

（3）若點(diǎn)。為圓。（含圓周）內(nèi)任意一點(diǎn)，它到點(diǎn)A距離與到直線8。的距離相等，求三棱錐

P-45O體積的取值范圍.

【答案】（1）證明見解析；

1

（2）-；

3

⑶°，亍?

X」

【解析】

【分析】（1）利用線面垂直性質(zhì)得AO工3C,再根據(jù)直徑的特點(diǎn)得AC_L8C,最后利用線面垂直的判

定即可證明；

Q

（2）取CE中點(diǎn)為歹，連結(jié)斯，利用余弦定理得8G?二；，再次在中利用余弦定理即可得到答案：

（3）過點(diǎn)夕作垂足為〃，利用線面垂直判定定理即可得到301平面P0”，再求出

0SPH4達(dá),最后根據(jù)錐體的體積公式即可得到范圍.

3

【小問1詳解】

因?yàn)锳O_L平面A8C,且BCu平面A8C,所以AO18C,

因?yàn)辄c(diǎn)C在以A3為直徑的圓上，所以AC_L3C,

又因?yàn)?/p>

所以8cl.平面ACO.

【小問2詳解】

因?yàn)锳DJL平面ABC,