遼寧省實驗中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中階段測試數(shù)學(xué)

試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.若X?見5,0.6),則。(X)=()

A.1.2B,1.8C.2D.3

2.已知鶴)=0.6,尸(用力)=0.8,則6(-8)=()

A.0.24B.0.32C.0.08D.0.16

3.已知等比數(shù)列｛%｝的公比為4,設(shè)甲：q>l,乙：｛%｝是遞增數(shù)列，則甲是乙的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.若直線y=2x+Q是曲線y=4的切線，則。=()

A.0B.1c.；D-7

8

5.已知隨機變量X的分布列為P(X=f)=L(i=l,2,3,4),則上［戊+4)=()

a

A.104B.100C.34D.7

101

6.若數(shù)列｛〃“｝的前〃項和*=；〃(〃+2),則Z-----=()

★=i44+1

76152，156160

A.---B.---C.---D.---

123696969

7.已知變量N與變量式的關(guān)系可以用模型歹=。戶"(。，c'為常數(shù))擬合，設(shè)z=lny,變換

后得到一組數(shù)據(jù)如下:

X23456

Z1.021.201.421.621.84

由上表可得經(jīng)驗回歸方程為2=0.206x+G,則4=()

A.0.206B.e0206C.0.596D.e0596

8.已知%,%，%,%成等比數(shù)列，且4+42+。3+。4=皿。2+%+。4)，若必>】，則()

試卷第1頁，共4頁

A.%<%，a3<a\B.%>a”43VqC.4<%，%>a\

D.牝>生，/>q

二、多選題

9.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和S“=-/+ll〃-28,則()

co

A.418B.｛q｝是等差數(shù)列C.S.的最大值是2D.字的最大值是:

10.已知/3=廿-3恰有1個零點，則實數(shù)。的可能取值是()

A.--B.—C.0D.e

e'e

11.一個袋子中裝有除顏色外完全相同的10個球，其中有6個黑球，4個白球，現(xiàn)從中任

取4個球，記隨機變后x為取出白球的個數(shù)，隨機變最y為取出黑球的個數(shù)，若取出一個

白球得2分，取出一個黑球得1分，隨機變量Z為取出4個球的總得分，則下列結(jié)論中正確

的是()

A.X服從超幾何分布B.p(y=l)=\

C.E(X)<E(Y]D.F(Z)=y

三、填空題

12.函數(shù)=2r的極值點是.

13.對一個物理量做〃次測量，最后結(jié)果的誤差4?為使誤差與在(-0.75,0.75)的

概率不小于0.9973,則至少要測量______次.(若X-V(4,b2),則p(?—“<3b)=0.9973)

14.甲乙丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者等可能地將球

傳給另外兩個人中的任何一人，則4次傳球后球在乙手中的概率是.

四、解答題

15.為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了

50()位老人，結(jié)果如下面表中所示：

試卷第2頁，共4頁

男女合計

需要5025S

不需要200225425

合計250t500

(I)求s,r；

(2)能否有99%的把握認為該地老年人是否需要幫助與性別有關(guān)？

(3)根據(jù)(2)的結(jié)論，你能否提出更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)的老年人中，需要志愿者提

供幫助的老年人的比例？說明理由.

(〃+b)(c+d)(a+c)(b+d)

產(chǎn)2%)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

16.已知函數(shù)/(x)=21ni-ax2+(l—4a)x,(。工0)

⑴當“=I時，，求曲線_>，=/(X)在點(1,/⑴)處的切線方程；

(2)若/(X)有最大值，求證：

4”

17,已知等比數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為邑，且《用=3(S“+1).

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式：

(2)令”=叫,求仇｝的前〃項和Tn；

A1118

(3)令證明：-+—+???+—<-.

C\C2Cn，

18.甲乙兩人進行乒乓球比賽，每局比賽甲獲勝的概率是P(O<P<1),乙獲勝的概率是1-P，

每局比賽相互獨立.

⑴當P=0.6時，比賽采用3局2勝制，求中最終獲勝的概率；

(2)若比賽采用5局3勝制比3局2勝制對甲更有利(即甲最終獲勝概率更大)，確定p的取

試卷第3頁，共4頁

《遼寧省實驗中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中階段測試數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號12345678910

答案ACDBCDDBACDAD

題號11

答案ACD

1.A

【分析】根據(jù)二項分布的方差計算公式求解即可.

【詳解】因為X5,0.6),所以。(X)=5x0.6x(l-0.6)=1.2.

故選：A.

2.C

【分析】利用條件概率公式的變式公式和對立事件的概率計算，就可以求出結(jié)果.

【詳解】因為「(814)=。8,由對立事件概率計算公式可得：P(^M)=l-0.8=0.2,

又產(chǎn)(可=0.6,則尸(/3)=夕(力)?尸(用力)=(1—0.6)x().2=().()8.

故選：C

3.D

【分析】結(jié)合等比數(shù)列的單調(diào)性及充分條件和必要條件定義判斷充分性及必要性可得結(jié)論.

【詳解】當q=-l,g=2時，%=-2",不是遞增數(shù)列，充分性不成立；

當％=-1,時，｛%｝是遞增數(shù)列，但,〉1不成立，必要性不成立.

所以甲是乙的既不充分也不必要條件.

故選：D.

4.B

【分析】設(shè)切點坐標為。(。,兒)，則利用結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得與=!，再將點P坐標代

16

入直線和曲線方程，即可求解.

【詳解】y=\fx,則y二(不，

,1C1

設(shè)切點坐標為PGoJo),則〃=k=2,解得與二二，

Z/o16

又點P在直線y=2x+a上，又在曲線y=?上，

答案第1頁，共11頁

.?.%=2.%+。即為=d+a,又yo=H=；,解得

o4o

故選：B

5.C

【分析】利用分布列求分X),再應(yīng)用期望的性質(zhì)求￡(西+4)即可.

【詳解】由題設(shè)E(X)=lx!+2x2+3x」+4x9=型，

aaaaa

所以￡(aX+4)=nE(X)+4=34.

故選：C

6.D

【分析】先由S,求出a“，然后利用裂項相消法求和即可.

3

【詳解】當〃=1時，/=￡=；；

當“22時，勺=S“一S,i++=

〃=1也滿足％=1：故｛q｝的通項公式為%=笞匚.

所以1二161______!_1

(2k+1)(2左+3)I2)1+12左+37

160

1323

故選：D

【分析】先根據(jù)線性回歸方程必過樣本中心點，可求再推導(dǎo)出hg=G,可求G的值.

2+3+4+5+6

【詳解】由表格中數(shù)據(jù)得亍=

_1.02+1.20+1.42+1.62+1.84，八

z=-----------------------------------------=1.42,

5

代入方程得，1.42=0.206x4+a,解得3=0.596,因止匕2=0.206》+0.596.

由)，二下9兩邊取對數(shù)，得1g=空+1g.

又z=lny,所以6=0.206,In,=0.596,即6=@°伙.

故選：D

8.B

【分析】先利用導(dǎo)數(shù)法證不等式Inx4x-1,然后再確定首項和公比的取值范圍，進而利用

答案第2頁，共11頁

不等式性質(zhì)作出判斷.

【詳解】令/"）=xTnx-l,則/（x）=i__L,令/，（x）=o得x=i,

X

所以當x>l時，/'（x）>0,當O<X<1時，r（x）<0,

因此⑴=0,所以W-1,

所以4+&+生+%=如（。2+。3+。4）?。2+。3+。4T，所以4?T，

又。4>1,所以44‘>1,

所以等比數(shù)列的公比9<0,

若一lKq<0,則%+%+。4=。2（1+4）+。4>%>1,

則4+%+%+4=6（l+q）（l+q；：）K0<ln（a2+%+&）,不合題意：

所以g<-l,從而卜|>1,即">],

所以%=%q，>a2,

%-4=。1"一1），因為％?-1，q，>I,所以。3-《，即%<6.

故選:B.

9.ACD

【分析】根據(jù)前〃項和公式求出通項公式即可判斷A,根據(jù)等差的定義結(jié)合特例判斷B,結(jié)

合二次函數(shù)性質(zhì)求解最值判斷C,根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性求解最值判斷D.

2

【詳解】A,當〃N2時,an=Sn-S,T=（-n+11〃-28）--1尸+11（〃-1）-28]=-2M+12,

（-18,/?=1

當〃=1時，?1=S,=-l+ll-28=-18,不滿足上式，故。“二,s-，故A正確；

B,由A可知q=-18,%=8,%=6,顯然出-。產(chǎn)％-。2,所以｛為｝不是等差數(shù)列，故B錯

誤；

11O

2

C,Sn=-/r+llH-28=-（W-y）+p故當〃=5或6時，s“有最大值2,C正確：

根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)可知函數(shù)y=x+?在（（）,而）上單調(diào)遞減，在（而,+8）上單調(diào)遞增,

所以y…-個+11在（（）,而）上單調(diào)遞增，在（癡+8）上單調(diào)遞減，

答案第3頁，共11頁

「?口&?28-2s6工2812

又?且—=-5---+11=—,—=-6----+11=—,

555666

所以N的最大值是5,D正確，

n5

故選：ACD

10.AD

【分析】將/(x)=e=3=0可得〃=(x+l)c\xw—l,構(gòu)造函數(shù)g(x)=(x+l)e',x±—1,

利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性，即可結(jié)合函數(shù)的圖象求解.

【詳解】令/(x)=e、—±二0,得〃=(x+l)c',xw—1,

令g(x)=(x+l)e',xH-l,則g'(x)=(x+2)ex,

故當X>—2且XH-1時，*'(x)>o,當x<-2時，g'(x)<0,

所以函數(shù)8(*)在(2,1)和(以2)上單調(diào)遞增，在(I"。)上單調(diào)遞增，

且g(-2)=-1,當x>—l時，g(x)>0,當x<—1時，g(x)<0,

作出y=g@)的大致圖象如下，

一個解，

則丁=。與丁=以外只有一個交點，觀察圖象可知，。>0或4=-1，

e-

結(jié)合選項可知，選項A和選項D符合題意.

故選：AD

11.ACD

【分析】根據(jù)已知條件?，利用超幾何分布的定義判斷A,根據(jù)超幾何分布列求出概率和期望

即可判斷BC,根據(jù)Z=2X+Y,且X+Y=4,利用期望性質(zhì)求解判斷D.

【詳解】A選項，由題意知，隨機變量X為取出白球的個數(shù)，

從10個球(6黑4白)中不放回抽取4個，

服從超幾何分布概念，故A正確，

BC選項，X的取值可能為：0,123,4,

答案第4頁，共11頁

所以P-。)二詈+又尸(1=警糕8

21

C3cl

。-3)=罟=24_4

V102\B~35

P(X=4、)C=°*C41

jo210

1Q-141Q

所以E(X)=0x—+lx—+2x-+3x—+4x——=-,

y的取值可能為:0,1,2,3,4,

由題意得x+y=4,所以y=4-x,

i4

所以p(y=o)=p(x=4)=——,p(y=i)=p(y=3)=—,

21035

尸(y=2)=?(x=2)=,p(y=3)=p(x=i)=3，

尸(y=4)=P(X=0)q,

所以￡■(/)=Ox—!—+1x—+2x—+3x—+4x-=—,

l)21035721145

所以E(X)<E(y),故B錯誤，C正確，

D選項，由題意Z=2X+y,且X+y=4,故Z=2X+4-X=X+4,

o2R

則E(Z)=E(X+4)=E(X)+4=q+4=g,D正確.

故選：ACD

12.3

【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)極值點的定義可得

［詳解】/'(X)的定義域為R,/'(x)=3x2e2--x3e2-=(3-x)x2c2'\所以((3)=0,

在區(qū)間(-嗎3)上，(x)>0J(x)單調(diào)遞增，在區(qū)間(3,+8)上/(x)<0J(x)單調(diào)遞減,

所以x=3是/(x)的極大值點，無極小值點.

故答案為：3

13.32

【分析】利用正態(tài)分布的三段區(qū)間概率公式及性質(zhì)計算即可.

【詳解】由誤差與?N(oF),得〃=0,0=E，

nVn

答案第5頁，共11頁

由誤差與在(-0.75,0.75)的概率不小于09973,得(-3G3在￡(-0.75,0.75),

因此0.7523。，解得。于是/2工1,解得〃232,

所以至少要測量32次.

故答案為：32

14.—/0.3125

16

【分析】列舉所有情況，利用古典概型概率公式求解即可.

【詳解】前4次傳球接球的情況有：乙甲乙甲、乙甲乙丙、乙甲丙甲、乙甲丙乙、乙丙甲乙、

乙丙甲丙、

乙丙乙甲、乙丙乙丙、丙甲乙甲、丙甲乙丙、丙甲丙甲、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙甲丙、

丙乙丙甲、丙乙丙乙，共16種，

第4次傳球傳給乙的情況有：乙甲丙乙、乙丙甲乙、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙丙乙，共5

種，

設(shè)第4次傳球傳給乙的事件為A,MP（J）=4.

16

故答案為:盤

16

15.（l）s=75,1=250

⑵有

（3）采用分層抽樣，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善2x2列聯(lián)表.

（2）計算爐后與臨界值比較即可判斷.

（3）根據(jù)（2）知該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)

男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，故選擇分層抽樣.

【詳解】（1）由列聯(lián)表知s=50+25=75,7=25+225=250.

（2）由歹U聯(lián)表得力2=500x（5°x225—25x200）2=500刈加明

250x250x75x42551

由于9.804>6.635,所以有99%的把握認為該地老年人是否需要幫助與性別有關(guān).

（3）采用分層抽樣，理由如下：

由（2）的結(jié)論知，該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地

區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，

答案第6頁，共11頁

因此在調(diào)查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女兩層并采用分層

抽樣方法比采用簡單隨機抽樣方法更好.

16.⑴/=

（2）證明見解析

【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程；

（2）求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，分兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)的最大

值，依題意即證In」--構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可證

明.

【詳解】（1）當】=1時，f（x）=2\nx-x2-3x./（》）=/一2%一3,

則/。）=-4,/"（1）=-3,

故曲線y=/（x）在點。，/⑴）處的切線方程是y=-3x-i.

(2)函數(shù)/(x)=21nx—av2+(l-4o)x的定義域為(0,+e),

「，,、2/、(x+2)(\-2ax)

又/(x)=——2av+(l-4d)=------------?

XX

當"0時，/'(力>0,故/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，無最大值;

當。＞0時，令/'（x）=0,則a?，

所以時，/'（"＞0,XG（，+8）時，/（切＜°，

所以/（“在（。，5）上單調(diào)遞增，在（^，蟲）上單調(diào)遞減.

,、（1I1

故/（X）的最大值是/|jJ=2ln五+工-2,

要證小局-4<=>21n-----+2<0<=>ln--^-+1<0(?>0)

令〃(x)=lnx-x+l,XG(0,4-X),則〃=1

所以當0cx<1時，'(x)>0,當1>1時“'(x)<0,

所以“(x)在(0/)上單調(diào)遞增，在(1,+4上單調(diào)遞減，

又上>0,則〃gpin±_±+1<o(^>O),得證.

2a\2a)2a2a

17.(l)<7n=3'4'i

答案第7頁，共11頁

⑵。=n--4"+

3)3

(3)證明見解析

【分析】(1)根據(jù)q和S”關(guān)系求得可”=4%(〃22),即可求出公比4=4,再利用條件求出

%=3,即可求解通項公式.

(2)利用錯位相減法求和即可.

(3)通過變形得,=I2

3-4n-'-l<3-4n-,=4,結(jié)合等比數(shù)列求和公式及數(shù)列的有界性證明

q

即可.

【詳解】(1)由％=3(S,+l),得勺=3(%+1)(〃22),

兩式相減,得。向-?！?3%(/2),

即%+1=4%(，42),又｛/｝是等比數(shù)列,故公比9=4,

由=3(%+1)=4%,知%=3,則<=3'4"】.

(2)由題“=3〃X4"\

則乙=3-40+6/+…+3小4”7,

4刀,=30+6d+…+3小4",

3(1)

兩式相減，^-37；,=3(1+4'+42+???+4n-,)-3/r4,,=3小4”=(-3〃，

1-4

即7=

213『-1)+「0

(3).=q-1=3x4"—-,由

3.4"73-4n-1-13.4"'(34i—l)，

2

得：一3-4H-,-1<3-4"_,

c”

2

1-

貝吐+-!■+???+-!-<4+d+…+4=—

2<-

q19

4

18.(1)0.648

答案第8頁，共11頁

【分析】(1)根據(jù)獨立事件乘法公式和互斥事件的加法公式求解即可.

(2)根據(jù)獨立事件乘法公式和互斥事件的加法公式分別求解3局2勝制和5局3勝制甲獲

勝的概率，然后列不等式求解即可.

(3)根據(jù)二項分布列的概率公式求出4,然后根據(jù)4<的>6列不等式求出P的取值范圍，

然后通過對相鄰項作比建立不等式，確定唯一性，即可得解.

【詳解】(1)3局2勝制甲最終獲勝結(jié)果可以是：2:0、2:1,每局比賽甲獲勝的概率〃=0.6,

根據(jù)獨立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得

則甲最終獲勝概率是：()6+2x0.62x0.4=0.648?

(2)3局2勝制中最終獲勝結(jié)果可以是：2:0、2:1,每局比賽甲獲勝的概率P,

根據(jù)獨立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得

甲最終獲勝概率是：P產(chǎn)P2+2p2(l-p)=p2(3-2p),

5局3勝制甲最終獲勝結(jié)果可以是：3:0、3:1、3:2,

則甲最終獲勝概率是：P2=p3+3p3(l-p)+6p3(l-p『=p3(6p2-15p+10),

由題知p2>Pl，BPP2-P1>0,

貝i"0二"(6/-15〃+10)-/(3-2〃)=3/(〃-11(2〃-1)>0,

又p?0,l),則p的取值范圍是

(3)由題，X?8(10,〃)，故%=P(X=〃—=—(n=l,2,-,ll).

牝是數(shù)列｛凡｝的唯一的最大項，則必有％%，

即C：w5(l-p)5(C：op6(l-p)4)C；°p7(l-p)3,解得：pefA2.1

此時，也■=C；叫-P)=一區(qū)lip,則Upe(6,7)

4C；”T(l-p廣〃(1-P)

則“46時，〃>6時，an>afl+1；

即q<生<…/<的>%>…>4i，故的是數(shù)歹I」｛%｝的唯一的最大項.

綜上，〃的取值范圍是倍,J.