7.3平行線的證明

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一、單選題

1.有下列四個命題：①對頂角相等；②內(nèi)錯角相等；③在三角形中，兩邊之和大于第三邊：

④一個平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于第三條直線，那么這兩條直線平行.其中真命題有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.“兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等”這句話是（）

A.假命題B.定義C.基本事實D.定理

3.下列證明“三角形的內(nèi)侑和等于180?！彼鞯妮o助線不正確的是（）

4.如圖，已知△出犯，且點七與點“，點4與點8是對應(yīng)點,下列結(jié)論錯誤的是

)

AF//BEC.ZFC4=ZED.CF//DE

5.如圖，AM是一段斜坡，A8是水平線，歡歡為了測斜坡上一點。的豎直高度CN,他在

點C處立上一根竹竿CO,竹竿C。垂直于斜坡AM,在竿頂點。處垂下一根繩子。石，與

斜坡AM的交點是￡當DE=AC時，測得C￡=2m,則CN的長為（）

D

A.ImB.2mC.3nlD.4m

6.“如果那么A8〃CO,”這一推理的依據(jù)是（）

A.垂直定義

B.平行于同一條直線的兩條直線互相平行

C.等量代換

D.在同一平面內(nèi)，垂直于同一條百線的兩條育線互相平行

二、填空題

8.如圖，一個方形管道A8CO的拐角NA8C=130。，ZBCD=50°,這時說管道A8〃CO,

是根據(jù).

9.“過點尸作直線。，使//〃a”，小明的作圖痕跡如圖所示，使小〃a的依據(jù)是.

10.填空:

如圖，已知人A〃C2N4=NC,則可推得AO〃8c.理由如下:

DC

vAB//CD(己知),

/.ZA+Z_____=180°().

?/ZA=ZC(已知)，

/.ZC+Z=180°(),

..AD//BC().

11.如圖，下列條件：①N1=N2；?ZA+ZC=180°；③N3+N2=180°且：④

N2+N3=180。且AB〃所.其中能判定A8〃CD的有.(填序號)

AB

CD

三、解答題

12.已知：如圖，直線。〃b,N1和N2是直線。，力被直線。截出的內(nèi)錯角.求證：Z1=Z2.

證明：力

/.Z3=Z2

Nl=Z3

.'.Z1=Z2(

B

證明：VAC//DE,

AZ4CB=Z（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

在VA8C和△E77）中，

AC=￡0（已知），

ZACB=,

=。尸（已知），

/.△ABCg（SAS）,

???=（全等三角形對應(yīng)角相等），

???ABP.

15.請把下面證明過程補充完整：

已知：如圖，A。/4c于點。，點E在84的延長線上，EGJ_4C于點G,交AC于點尸，

ZE=Z1.

證明：-ADIBC,EG-BC(已知),

.?.Z4nC=Z￡GC=90o(),

/.AD//EG(),

.\Z1=Z2(),

N—=N3().

乂?.?/￡：=N1(已知)，

/.Z2=Z3(),

.?.AD平分/84C().

16.請完成平行線的判定定理2的證明：

已知：如圖，N1和N2是直線a,b被直線c截出的同旁內(nèi)角，旦Z1與Z2互補.求證：0IIb.

證明：???/I與/2互補（已知）,

/.Zl+Z2=。（互補的定義）,

.-.Zl=°-Z2（等式的性質(zhì)）.

vZ3+Z2=°（）,

.'.Z3=0-Z2（等式的性質(zhì)）,

.??/1=/3（等量代換），

?'?々11〃（）.

17.如圖，在直角V人中，NACB=90。，NBAC的平分線交8c于。，CEJ.AB于點E,

交4。于點F,取8G=CQ,連結(jié)尸G,求證：FG//AB.

《7.3平行線的證明》參考答案

題號123456

答案CDDCBD

I.C

【分析】本題重點考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解對頂角的性質(zhì)、平行線的判

定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系.

逐一分析判定，即可解答.

【詳解】解：①對頂角相等，正確，故為真命題；②內(nèi)精角相等，錯誤，是兩直線平行，內(nèi)

錯角相等；故為假命題；③在三角形中，兩邊之和大于第三邊，正確，故為真命題；④在同

一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于第三條直線，那么這兩條直線平行，正確，故為真命題.

，真命題有3個.

故選：C.

2.D

【分析】本題考查了定理的定義：掌握定理是用邏輯的方法判斷為正確并作為推理的根據(jù)的

真命題是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???”兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等“是平行線的性質(zhì)，

”兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等”這句話是定理.

故選：D.

3.D

【分析】本題考查的是平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，根據(jù)平行線性質(zhì)對各選項進行

逐一分析即可.熟知平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A、作/〃4C,則可得N1=/B,N2=NC,

.?.NB+NC+N84C=NI+/BAC+N2=180。，故該選項不符合題意；

B、作DE//AB,DF//AC,則可得ZA=ZDEC=ZFDE,ZB=NEDC,ZC=Z.FDB,

.?.ZA+N8+NC=NH)E+N￡DC+N產(chǎn)￡>8=180°,故該選項不符合題意；

C、如圖，過點。作鈔〃灰?,G"〃AC,〃〃山九

A

則可得NC=NO”/=N/7）〃，ZB=mH=/EDI,Z4=ZFJD=ZGDJ=^IDH,

ZA+N4+NC=ZIDH+ZED/+4FDH=180°,

故該選項不符合題意，

D、添加圖中輔助線不能說明“三角形的內(nèi)角和等于18（嚴，故該選項符合題意，

故選：D.

4.C

【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的判定，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、對

應(yīng)角相等是解撅的關(guān)鍵.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，平行線的判定定珅判斷即可.

【詳解】解：*.?AACFg△4QE

???AC=I3D,

???AC-BC=BD-BC,

AAB=CD,故A正確，不符合題意：

1Z^ACF^ZXBDE

AAF//BE，故B正確，不符合題意；

AACF沿ABDE

???N〃=N￡,ZFC4=ZD,NRX和NE不一定相等，故C錯誤，符合題意；

：.CF//DE,故D正確，不符合題意.

故選：C.

5.B

【分析】根據(jù)題意，得DEJ.AB,CN1AB,得到CN〃OE,于是得到NOEC=N4CN,

再證明△DC￡WAACN（AAS）,得到CE=CN=2m,解答即可.

本題考杳了三角形全等的判定和性質(zhì)，深刻理解垂下的意義，得到平行線成為解題的關(guān)鍵性

突破口.

【詳解】解：根據(jù)題意，得DE/AB,CN上AB,

:.CN〃DE,

/.4DEC=AACN,

,：ZDCE=ZANC=90°,

ZACN=/DEC

???4ANC=NDCE,

NC=DE

???△DCE^ACN（AAS）,

，CE=CN=2m,

故選：B.

6.D

【分析】本題考查了平行線的判定，根據(jù)“同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線互相平

行''求解即可.

【詳解】解：???AB_L所，CDA.EF,

???AB//CD（同一平面內(nèi)垂直于同一條直線的兩條直線互相平行），

故選：D.

7.同位角相等，兩直線平行

【分析】本題考查了平行線的判定定理，解題的關(guān)鍵是理解“推平行線”過程中同位角的關(guān)系

與兩直線平行的聯(lián)系.

觀察圖形，明確N1與N2為同位角；分析“推平行線”時/I與N2的關(guān)系（保持相等）；依據(jù)

同位角相等，兩直線平行為判定定理，得出該方法的依據(jù).

【詳解】解：“推平行線”法中，通過直尺和三角板的移動，使N1與N2保持相等，而N1與N2

是同位角.根據(jù)平行線的判定定理，當同位角相等時，兩條直線平行.

故答案為：同位角相等，兩直線平行.

8.同旁內(nèi)角互補，兩直線平行

【分析】本題考查了閱讀題目信息，觀察圖形，試著得到NA8C、N8C。的位置關(guān)系：分

析可得N48C、N8CD是同旁內(nèi)角，回想平行線的判定定理；根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線

平行即可得到答案.

【詳解】解：VZABC=130°,NBCD=50°

，ZABC+ZBCD=180°

/.AB//CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）

故答案為：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

9.同位角相等，兩直線平行

【分析】此題考查了平行線的判定和作?個角等于已知角，根據(jù)作圖可得同位角相等，根據(jù)

同位角相等，兩直線平行即可得到.

【詳解】解：根據(jù)題意可得，“過點P作直線b,使〃〃小明的作圖痕跡如圖所示，使》〃a

的依據(jù)是同位角相等，兩直線平行.

故答案為：同位角相等，兩直線平行

10.D兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。等量代換同旁內(nèi)角互補，兩

直線平行

【分析】該題考查了平行線的性質(zhì)和判定，根據(jù)題干思路解答即可.

【詳解】解：?.?A3〃CO（已知），

/.ZA+ZD=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

VZA=ZC（已知），

/.ZC+ZD=180°（等量代換）

.'.AD//BC（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）.

故答案為：D；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；。；等量代換；同旁內(nèi)角互補，兩直線平行.

11.②③④

【分析】本題考查了平行線的判定，熟悉平行線的判定是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：①當N1=N2時，AC//BD（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），不符合題意；

②當NA+NC=180。，AB//CD（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），符合題意；

③NB+N2=180°,AB//EF（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），CD//EF,所以八3〃CQ（平

行于同一直線的兩條直線互相平行），符合題意；

④N2+N3=180。，8〃叱（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行），AB//EF,所以A8〃CZ）（平

行于同直線的兩條直線互相平行），符合題意；

故答案為：②③④.

12.已知；兩直線平行，同位角相等；對頂角相等；等量代換

【分析】本題考查了平行線.熟練掌握平行線性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)兩直線平行，同位角相等，結(jié)合對頂角性質(zhì)，等式性質(zhì)，即可證明.

【詳解】證明：???。心（己知）,

.?.Z3=Z2（兩直線平行，同位角相等）.

vZI=Z3（對頂角相等）

/.Zl=Z2（等量代換）.

故答案為：已知；兩直線平行，同位角相等；對頂角相等：等量代換

13.已知；Z4：角平分線的定義；等量代換：內(nèi)錯角相等，兩直線平行；4DCB；小

內(nèi)錯角相等，兩直線平行

【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，先根據(jù)角平分線的定義得/1=/4,進而得

到N4=70。，根據(jù)平行線的判定定理得AO〃BC,再根據(jù)平行線的性質(zhì)得NO=40。，進而

得到/3=/。，據(jù)此可得A8〃CQ.

【詳解】證明：???CE平分/BC。（已知），

/.ZI=Z4（角平分線的定義），

VZ1=Z2=7O°（己知），

AZ1=Z2=Z4=7（P（等昂?代換），

/.AD//BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行），

/.ZD=18（）。-NDCB=180°-Zl-Z4=40。，

VZ3=4（）0（已知），

AZD=Z3,

AAB//CD（內(nèi)錯角相等.兩直線平行）.

故答案為：已知；Z4；角平分線的定義；等量代換；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；/DCB；

/。；內(nèi)錯角相等，兩直線平行.

14.EDF,NEDF,CB,^EFD,NB,/F,EF

【分析】本題考杳了平行線的性質(zhì)與判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)

容是解題的關(guān)鍵.

先由平行線的性質(zhì)得N4C8=NE￡尸，再證明△/WCgAEFO（SAS）,所以N8=N產(chǎn)，得出

AB//EF,即可作答.

【詳解】證明：???AC〃OE,

AZACB=ZEDF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

在VA8c和△瓦D中，

AC=ED（已知），

</ACB=NEDF,

。8=。尸（已知），

，△ABC孫SAS),

AZB=ZF（全等三角形對應(yīng)角相等），

：-AB//EF.

15.垂直的定義：同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；E；兩直線平行,

同位角相等；等量代換；角平分線的定義.

【分析】本題考查的知識點是垂直的定義、平行線的性質(zhì)與判定、等量代換、角平分線的定

義，解題關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定.

由垂直定義推得4D||EG.根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N1=N2,NE=N3,由等量代換可證

N2=N3,則根據(jù)角平分線的定義即可得證.

【詳解】證明：?.?AQ_L6C,EG_L8C（已知），

:.ZADC=ZEGC=9（r（垂直的定義）,

AD//EG（同位角相等，兩直線平行）,

/.ZI=Z2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等內(nèi)

ZE=Z3（兩直線平:行，同位角相等）.

又?.?/￡=/1（已知）,

/.Z2=Z3（等量代換）,

.?.人。平分N8AC（角平分線的定義）.

故答案為：垂直的定義；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯角相等；E；兩直線

平行，同位角相等；等量代換；角平分線的定義.

16.180；180；180；平角的定義；180；同位角相等，西直線平行

【分析】本題考查平行線的判定，根據(jù)補角的定義，等量代換，同位角相等，兩直線平行,

進行作答即可.

【詳解】證明：?.?4與N2互補（已知）,

Zl+Z2=i8On（互補的定義）,

/.ZI=180°-Z2（等式的性質(zhì)）.