立方根與實(shí)數(shù)的運(yùn)算（知識(shí)清單+6大題型+好題必刷）

尊題型匯聚

「題型二……豆為福概念理解:

j題型二求一個(gè)數(shù)的立方根j

i題型三已知一個(gè)數(shù)的立方根，求這個(gè)數(shù):

:題型四立方根的實(shí)際應(yīng)用：

I題型五實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算;

;題型六實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用：

Ia

扁..........................................................................5

’V知識(shí)清單__________________________________________________

知識(shí)點(diǎn)1.立方根

（1）定義：如果一個(gè)數(shù)的立方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做〃的立方根或三次方根.這就星說(shuō)，如果工3=0那么工叫做。

的立方根.記作：Va-

（2）正數(shù)的立方根是正數(shù)，（）的立方根是0,負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù).如任意數(shù)都有立方根.

（3）求一個(gè)數(shù)。的立方根的運(yùn)算叫開(kāi)立方，其中。叫做被開(kāi)方數(shù).

注意：符號(hào)五中的根指數(shù)“3”不能省略：對(duì)于立方根，被開(kāi)方數(shù)沒(méi)有限制，正數(shù)、零、負(fù)數(shù)都有唯一一個(gè)立方根.

【規(guī)律方法】平方根和立方根的性質(zhì)

1.平方狼的性質(zhì)：正數(shù)。有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；。的平方根是0;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.

2.立方根的性質(zhì)：一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，正數(shù)的立方根是正數(shù)，負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)，0的立方根是0.

知識(shí)點(diǎn)2,實(shí)數(shù)的運(yùn)算

（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開(kāi)

方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開(kāi)平方.

（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級(jí)到低級(jí)，即先算乘方、開(kāi)方，再算乘除，最后算加減，有括號(hào)

的要先算括號(hào)里面的，同級(jí)運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行.

另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用.

【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”

1.運(yùn)算法則：乘方和開(kāi)方運(yùn)算、廨的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的

計(jì)算以及絕對(duì)值的化簡(jiǎn)等.

2.運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號(hào)的先算括號(hào)里面的，在同一級(jí)運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，無(wú)論何種

運(yùn)算，都要注意先定符號(hào)后運(yùn)算.

3.運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度.

9題型練習(xí)_________________________________________________________

【題型一】立方根概念理解

【例1】（24-25七年級(jí)上?浙江杭州?期中）下列說(shuō)法正確的有（）

①若a+6=0,則折+標(biāo)=0②若B=〃，貝iJa=0

③若同=網(wǎng),則a=b④若=%則心0

A.①②B.②③C.③④D.①④

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】立方根概念理解、絕對(duì)值的幾何意義

【分析】本題考查絕對(duì)值的性質(zhì)，立方根的性質(zhì)，根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性，以及立方根的性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：若。+b=0,則：b=-a,

'?\[a+y/-a=y/a-ifa=0-,故①正確；

若寺5=4，則。=0或。=±1；故②錯(cuò)誤；

若同=例，則a=±6,故③錯(cuò)誤：

若同=〃，則aNO,故④正確；

故選D.

【舉一反三】

I.（24-25七年級(jí)上?浙江?期中）下列說(shuō)法：①若兩個(gè)數(shù)乘積為1,則這兩個(gè)數(shù)必互為倒數(shù)；②任何正數(shù)都有兩個(gè)互

為相反數(shù)的平方根；③立方根等于本身的數(shù)有1,0,-I；④一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根一定比原數(shù)小.其中錯(cuò)誤的是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】立方根概念理解、平方根概念理解、倒數(shù)

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，直接利用立方根的定義以及平方根的定義分別分析得出答案.

【詳解】解：①若兩個(gè)數(shù)乘積為1,則這兩個(gè)數(shù)必互為倒數(shù)，此說(shuō)法正確，故不符合題意；

②任何正數(shù)都有兩個(gè)互為相反數(shù)的平方根，此說(shuō)法正確，故不符合題意：

③立方根等于本身的數(shù)有1,0,-1,此說(shuō)法正確，故不符合題意；

④一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根一定比原數(shù)小，此說(shuō)法錯(cuò)誤，比如，0的算術(shù)平方根是0,故符合題意；

故選：D.

2.（23-24七年級(jí)上?浙江杭州?階段練習(xí)）比較下列實(shí)數(shù)的大?。篤65癇（填”或“"）.

【答案】>

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的大小比較、立方根概念理解、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根

【分析】本題考查了比較實(shí)數(shù)的大小，根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義求解即可，掌握實(shí)數(shù)的大小比較的方法是解本

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：病=4，

???V64=8，

*,?,65>8>

v8>4,

,-.5-2=33=27,/+3=42=16,

/.s=29,i=13,

/.5-Z=29-13=16,

，ST的平方根為±而=±4，

即的平方根是±4：

（3）解：在4x4方格中陰影正方形的邊長(zhǎng)=爐手=而，

?:也屈，

??.它的整數(shù)部分是3,小數(shù)部分是麗-3,

故答案為：Vw>3,—3.

【題型二】求一個(gè)數(shù)的立方根

【例2】（24-25七年級(jí)上?浙江溫州?期末）數(shù)炳的值為（）

A.±3B.9C.3D.81

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的立方根

【分析】本題考查求一個(gè)數(shù)的立方根，根據(jù)立方根的定義，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：炳=3;

故選C.

【舉一反三】

no

1.（24-25七年級(jí)上?浙江紹興?期末）在實(shí)數(shù)亍，百，3.14,網(wǎng)中，屬于無(wú)理數(shù)的是（）

22

A.—B.GC.3.14D.我

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】無(wú)理數(shù)、求一個(gè)數(shù)的立方根

【分析】此題主要考查了無(wú)理數(shù)的定義，算術(shù)平方根，立方根，注意帶根號(hào)的要開(kāi)不盡方才是無(wú)理數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小

數(shù)為無(wú)理數(shù).如兀，瓜，S808008（XX）8…（每?jī)蓚€(gè)8之間依次多1個(gè)。）等形式.先化簡(jiǎn)，再根據(jù)有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的定

義判斷即可.

【詳解】解：A、羊22是有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意：

B、行是無(wú)理數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意；

C、3.14是有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、強(qiáng)=2是有理數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

2.（24-25七年級(jí)上?浙江紹興?期中）64的平方根為；而的立方根為.

【答案】±82

【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的平方根、求一個(gè)數(shù)的立方根

【分析】本題主要考查了求一個(gè)數(shù)的平方根，求一個(gè)數(shù)的立方根等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平方根和立方根的定義是解題的

關(guān)鍵.

根據(jù)平方根和立方根的定義進(jìn)行求解即可，注意先化簡(jiǎn)，再求解.

【詳解】解：64的平方根為±病=±8，

相:8的立方根為2,

故答案為：±8,2.

3.（24-25七年級(jí)上浙江臺(tái)州期末）計(jì)算：

⑴4-9+卜3|

⑵+炳

【答案】（1）-2

(2)-5

【知識(shí)點(diǎn)】有理數(shù)的加減混合運(yùn)算、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、求一個(gè)數(shù)的立方根

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)健.

（1）先化簡(jiǎn)絕對(duì)值，再根據(jù)有理數(shù)的加減法則計(jì)算即可；

（2）先算乘方，開(kāi)方，再算乘法，最后算加減即可.

【詳解】（1）解：4-9+1-31,

=4+（-9）+3,

=-2；

（2）解：-22x>/4+V27?

=-4x2+3,

=-8+3,

=-5.

【題型三】已知一個(gè)數(shù)的立方根，求這個(gè)數(shù)

【例3】（22-23七年級(jí)上?浙江溫州?期中）若/=49,蠣=-2,則的值是（）

A.1或15B.-1或15C.1或15D.-1或15

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、已知一個(gè)數(shù)的立方根，求這個(gè)數(shù)、已知字母的值求代數(shù)式的值

【分析】根據(jù)平方根、立方根的定義求出。、6的值，再代入計(jì)算即可.

【詳解】解：???1=49，

a=±7,

又?.?探=-2，

/./?=-8?

當(dāng)。=7,8=-8時(shí)，。+力=7—8=—1,

當(dāng)口=-7,6=-8時(shí)，?+/>=-7-8=-15,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查平方根、立方根，理解平方根、立方根的定義是正確解答的前提.

【舉一反三】

1.（24-25七年級(jí)上?浙江紹興,期末）如果x的立方等于27,那么x的算術(shù)平方根是.

【答案】b

【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、已知一個(gè)數(shù)的立方根，求這個(gè)數(shù)

【分析】本題考查了立方根與算術(shù)平方根的概念.利用立方根的概念，解出x的值，再利用算術(shù)平方根的概念即可解

得.

【詳解】解：?r3=27

x=3

??.》的算術(shù)平方根是白

故答案為：6

2.（22-23七年級(jí)上?浙江杭州?期中）Q+3的算術(shù)平方根是3,6-2的立方根是2,則。+33的算術(shù)平方根為

【答案】6

【知識(shí)點(diǎn)】已知字母的值，求代數(shù)式的值、已知一個(gè)數(shù)的立方根，求這個(gè)數(shù)、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根

【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義和立方根的定義，先求出。和。的值，再將。和b的值代入求解即可.

【詳解】解：?.F+3的算術(shù)平方根是3,6-2的立方根是2,

二。+3=9,6—2=8,

.??<7=6,z>=io,

a+36=6+3x10=36,

的算術(shù)平方根為：屈=6.

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根和立方根的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握算術(shù)平方根和立方根的定義.

3.（23-24七年級(jí)上?浙江紹興?期中）已知某正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是-1和。-2,6-5的立方根為2,

（1）求m〃的值；

（2）求a+5的算術(shù)平方根.

【答案】（1）。=3,6=13

（2）4

【知識(shí)點(diǎn)】已知一個(gè)數(shù)的立方根，求這個(gè)數(shù)、平方根概念理解、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根

【分析】本題主要考查了平方根、立方根、算術(shù)平方根等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平方根、立方根、算術(shù)平方根的計(jì)算方法

是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù)可求得a的值，6-5的立方根為2列方程求解即可求得b的值；

（2）根據(jù)（1）可求得〃的值，然后再求其算術(shù)平方根即可.

【詳解】（1）解：?.?某正數(shù)的平方根分別是-1和。-2,6-5的立方根為2,

.,.-1+67-2=0,b-5=8,

解得。=3,6=13.

（2）解：???〃=3,/>=13,

.,.“+6=3+13=16,

???16的算術(shù)平方根為4,

二。+匕的算術(shù)平方根為4.

【題型四】立方根的實(shí)際應(yīng)用

【例4】（24-25七年級(jí)卜?浙江紹興?期中）一個(gè)正方體儲(chǔ)水容器,已知其容積是27m3,則該容器的棱長(zhǎng)是（）

A.9mB.>/27mC.3mD.Gm

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】立方根的實(shí)際應(yīng)用

【分析】本題主要考查立方根，解題的關(guān)鍵是掌握立方根的定義：首先設(shè)這個(gè)儲(chǔ)水池的棱長(zhǎng)為加，根據(jù)題意可得

/=27,然后根據(jù)立方根的定義計(jì)算出x的值即可.

【詳解】解：設(shè)這個(gè)儲(chǔ)水池的棱長(zhǎng)為加，

???這個(gè)儲(chǔ)水池是正方體，且容積為27m工

，F(xiàn)=27,

x=3,

即該容器的棱長(zhǎng)是3m,

故選：C.

【舉一反三】

1.（23-24七年級(jí)上?浙江溫州?期中）如圖，二階魔方為2x2x2的正方體結(jié)構(gòu)，由8個(gè)相同的小方塊組成.已知二階

魔方的體積為64cm°（小方塊之間的縫隙忽略不計(jì)），那么每個(gè)方塊的邊長(zhǎng)為（）

曲

A.4cmB.2cmC.6cmD.8cm

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】立方根的實(shí)際應(yīng)用

【分析】本題考查立方根的應(yīng)用，利用立方根的定義即可求得答案.

【詳解】由題意可得每個(gè)方塊的體積為64+8=8cm'，

則其邊長(zhǎng)為網(wǎng)=2cm,

故選：R.

4

2.（24-25七年級(jí)上?浙江杭州?期末）已知球體的體枳/=弓/,若一個(gè)球的體積是36兀，則它的半徑，?二.

【答案】3

【知識(shí)點(diǎn)】立方根的實(shí)際應(yīng)用

【分析】本題考查了立方根的應(yīng)用，由題意可得3“3=36兀，從而得出r=27,再根據(jù)立方根計(jì)算即可得解.

【詳解】解：由題意可得：g"'=36兀，

二/二27,

解得：〃=3,

故答案為：3.

3.(24-25七年級(jí)上?浙江?期中)如圖，一個(gè)底面半徑為3cm的瓶子內(nèi)裝著一些溶液.當(dāng)瓶子正放時(shí)，瓶?jī)?nèi)溶液的高度

為16cm；倒放時(shí)，空余部分的高度為4cm.瓶?jī)?nèi)的溶液正好倒?jié)M2個(gè)?樣大的正方體容器(兀取3,容器的厚度不

計(jì)).

(1)該瓶子的容枳(裝滿時(shí)溶液的體積)是多少立方厘米？

(2)正方體容器的棱長(zhǎng)是多少厘米？

【答案】(1)5405?

(2)6cm

【知識(shí)點(diǎn)】乘方的應(yīng)用、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算、立方根的實(shí)際應(yīng)用

【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、求一個(gè)數(shù)的立方根，還涉及求常見(jiàn)幾何體的體積，讀懂題意，得出“瓶子的容積

與同底、高為(16+4)cm的圓柱體積相等”是解題的關(guān)鍵.

(1)瓶子的容積與同底、高為(16+4)cm的圓柱體積相等，由此可解；

(2)首先求出瓶?jī)?nèi)的溶液的體積，然后根據(jù)瓶?jī)?nèi)的溶液正好倒?jié)M2個(gè)一樣大的正方體容器求解即可.

【詳解】(1)解：K=7rr2/:?3x9x(16+4)=27x20=540(cm3)；

(2)解：因?yàn)槠匾?w二〃￡3x3，xl6=432(cm')

所以棱長(zhǎng)=》432+2=6cm.

【題型五】實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算

【例5】（23-24七年級(jí)上?浙江杭州?期末）若實(shí)數(shù)。，b滿足a+b=l-V5，則（）

A.”,人都是有理數(shù)B.的結(jié)果必定為無(wú)理數(shù)

C.。，力都是無(wú)理數(shù)D.a-匕的結(jié)果可能為有理數(shù)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算

【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.

根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷分析即可.

【詳解】解：A、當(dāng)。=2時(shí)，b=l-企-2=-1-向,。是有理數(shù)，b是無(wú)理數(shù)，故A錯(cuò)誤；

B、當(dāng)a=/）=L—且，那么。一方=0,所以B錯(cuò)誤；

22

C、當(dāng)a=2時(shí)，b=-l-G,a是有理數(shù)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

D、當(dāng)a=b='-昱,那么口一6=0,所以選項(xiàng)正確，D正確.

22

故選：D.

【舉一反三】

1.（23-24七年級(jí)上?浙江杭州?期末）實(shí)數(shù)小b,c在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，若例=k|,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的

是（）

abc

—1-------------1-------1―?

A.a+c<0B.a-b<0C.ab<0D.-<0

c

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、實(shí)數(shù)與數(shù)軸

【分析】本題考查根據(jù)數(shù)軸上字母的位置，判斷式子的正負(fù)，有埋數(shù)的相關(guān)運(yùn)算，以及絕對(duì)值意義，根據(jù)|4=卜|,可

知數(shù)軸原點(diǎn)是從。的中點(diǎn)，即可判斷實(shí)數(shù)〃，b,C的正負(fù)，再根據(jù)有理數(shù)的相關(guān)運(yùn)算法則，對(duì)選項(xiàng)作出判斷，即可解

題.

【詳解】解：???網(wǎng)=同，

二數(shù)軸原點(diǎn)是b,。的中點(diǎn),

?*.a<0,b<0,c>0,」1,同>|c|,

二.4+c<0,故A項(xiàng)正確，不符合題意.

Aa-b<0,故B項(xiàng)正確，不符合題意.

???曲>0,故C項(xiàng)錯(cuò)誤,符合題意.

^<0,故D項(xiàng)正確，不符合題意.

故選：C.

2.(24-25七年級(jí)上?浙江杭州?期中)計(jì)算：^27-(73-2)=.

【答案】5-V3/-V3+5

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算

【分析】本題考杳了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵,先化簡(jiǎn)各式，然后再進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】解：V27-(V3-2)

=3-73+2

=5-73,

故答案為：5-0.

3.(24-25七年級(jí)上?浙江臺(tái)州?期末)計(jì)算：

⑴+[)-石；

(2)12024+2x(—6)-4.

【答案】(1)1

(2)-2

【知識(shí)點(diǎn)】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算

【分析1本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算.

(1)先去括號(hào)，然后再計(jì)算加減法.

(2)先算乘方，然后再算乘除法，最后再計(jì)算加減法.

【詳解】(1)解：(6+1)-6

=6+1-6

=i；

(2)解：2x(-6)+4

=1+(-12)+4

=1-3

=—2.

【題型六】實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

【例6】(24-25七年級(jí)上浙江溫州?期中)下列計(jì)算正確的是()

A.=±2B.(-1)=-1C.^/21=3D.V2+>/3=\fs

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用、求一個(gè)數(shù)的立方根、求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根、有理數(shù)的乘方運(yùn)算

【分析［本題考查了算術(shù)平方根、乘方、立方根以及實(shí)數(shù)運(yùn)算，掌握相關(guān)定義和運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.根據(jù)算術(shù)平方

根、乘方、立方根以及實(shí)數(shù)運(yùn)算法則逐一判斷即可.

【詳解】解：A、4=2,原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

B、=原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

C、歷=3,原計(jì)算正確，符合題意：

D、正和6不能合并，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

【舉一反三】

I.（24-25七年級(jí)上?浙江嘉興?期中）若x為實(shí)數(shù)，在'、VJUv”的“□”中添上一種運(yùn)算符號(hào)（在、、+,-，x,+”中選擇）

后，其運(yùn)算的結(jié)果為有理數(shù)，則x不可能是（）

A.4B.y/3C.2-GD.-45

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

【分析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算，根據(jù)實(shí)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算法則即可求得答案，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)選項(xiàng)代入判斷即可.

【詳解】A.6與4,無(wú)論是相加，相減，相乘，相除，結(jié)果都是無(wú)理數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；

B.75x75=3,石+百=1,行-百二0,均為有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

C.V3+（2-V3）=2,為有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；

D.V3+（-V3）=0,V3^（->/3）=-l,V3>：（->/3）=-3,均為有理數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：A.

2.（22-23七年級(jí)上?浙江寧波?期中）寫(xiě)出兩個(gè)無(wú)理數(shù)，使它們的和為2.

【答案】VI+1和-夜+1（答案不唯）

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用

【分析】寫(xiě)出兩個(gè)無(wú)理數(shù)，使無(wú)理數(shù)部分為相反數(shù)即可.

【詳解】解：72+1-72+1=2,

故答案為a+1和-a+1.

【點(diǎn)睛】此題考查/實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

3.（22-23七年級(jí)上?浙江嘉興?期中）閱讀材料：若點(diǎn)N在數(shù)軸上分別表示實(shí)數(shù)〃?，〃，那么M,N之間的距離

可表示為1加-〃|.例如|3-1|,即表示3,1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離;同樣：|5+3|=|5-（-3）|表示5,-3在數(shù)軸

上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離.根據(jù)以上信息，完成下列題目：

（1）已知A,B,C為數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為血，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為1.

①若點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為-2,則8,。兩點(diǎn)之間的距離為一；

②若點(diǎn)A到點(diǎn)4的距離與點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離相等，則點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是—.

（2）對(duì)于|1-3|+|》+4|這個(gè)代數(shù)式.

①它的最小值為—；

②若|x-3|+|x+4|+|y-l|+|y+2|=10,則X+y的最大值為_(kāi)__.

【答案】⑴①3；②2亞-1

⑵①7;②4

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用、實(shí)數(shù)與數(shù)軸

【分析】（1）①根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式;解答即可：②根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式解答即可；

（2）①根據(jù)兩點(diǎn)間的距離的幾何意義解答；②根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式填空.

【詳解】（1）解：①8,C兩點(diǎn)之間的距離為1-2-1|=3；

故答案為：3；

②設(shè)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是X,

則有

解得x=2&-l或1（舍去），

故答案為：2后-1;

（2）解：①根據(jù)數(shù)軸的幾何意義可得-4和3之間的任何一點(diǎn)均能使|x-3|+|x+4|取得的值最小，

???當(dāng)-4WK3時(shí)，|x—3|+|x+4|的最小值為7.

故答案為：7：

@-.1x-3|+|x+4|+|y-l|+|y+2|=l0,

.?.-&燼3,-2<0,

?.?x+y的最大值為4.

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了絕對(duì)值的意義，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是了解兩點(diǎn)間的距離公式和兩點(diǎn)間距離的幾何意義.

寫(xiě)好題必刷

一、單選題

1.若一個(gè)數(shù)的立方根為-；，則這個(gè)數(shù)為（）

A.-!B.—C.-D.-^―

992727

【答案】C

【分析】本題考查了已知一個(gè)數(shù)的立方根，求這個(gè)數(shù).熟練掌握立方根的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵.

由進(jìn)行判斷作答即可.

I3J27

【詳解】解：由題意知，（-!丫=-2",

故選：C.

2.已知工=J7-3,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

A.x是負(fù)數(shù)B.工-正是27的立方根

c.F是無(wú)理數(shù)D.x+3是7的算術(shù)平方根

【答案】B

【分析】通過(guò)實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及負(fù)數(shù)、立方根、平方根、無(wú)理數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷.

【詳解】A.近的平方是7,3的平方是9,7比9小，因此J7-3<0，為負(fù)數(shù),A項(xiàng)正確；

B.27的立方根是3,題中由x=V7-3得=不是27的立方根，B項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.將x=平方得/=（力■-3）2=16-677是無(wú)理數(shù)，C項(xiàng)正確；

D.題中由x=J7-3得x+3=J7，4是7的算術(shù)平方根，D項(xiàng)正確；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)數(shù)、無(wú)理數(shù)、立方根、算術(shù)平方根的概念，充分理解這些概念是解答本題的基礎(chǔ).

3.在計(jì)算器上按鍵4-8=,顯示結(jié)果是（）

A.-3B.3C.17D.33

【答案】A

【分析】首先應(yīng)該熟悉按鍵順序，然后即可熟練應(yīng)用計(jì)算器解決問(wèn)題.

【詳解】解：在計(jì)算器上依次按鍵轉(zhuǎn)化為算式為岳-8=,

顯示結(jié)果為-3,

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用計(jì)算器計(jì)算結(jié)果，要求同學(xué)們能熟練應(yīng)用計(jì)算器，熟悉計(jì)算器的各個(gè)按鍵的功能.

4.若一個(gè)數(shù)的平方根等于它的立方根，則這個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.1D.±1

【答案】A

【分析】一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，互為相反數(shù)，0的平方根是0,一個(gè)數(shù)的立方根有1個(gè)，根據(jù)題意可知該數(shù)只有一

個(gè)平方根，由此即可得到答案.

【詳解】解：???一個(gè)數(shù)的平方根等于它的立方根，

這個(gè)數(shù)的平方根只有1個(gè)，

??.這個(gè)數(shù)只能是0,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方根和立方根的定義，熟知相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.

5.下列說(shuō)法正確的是()

A.百的算術(shù)平方根是3B.I的平方根是它本身

42

c.§的平方根是士§D.若一個(gè)數(shù)的平方根等于它的立方根，則這個(gè)數(shù)為1

【答案】C

【分析】根據(jù)平方根，算術(shù)平方根，立方根的定義即可求解.

【詳解】解：A選項(xiàng)，囪=3,即3的算術(shù)平方根是G，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B選項(xiàng)，1的平方根是±1,故R選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意：

42

c選項(xiàng)，§的平方根是土§,故c選項(xiàng)正確，符合題意：

D選項(xiàng)，1的平方根是±1,1的立方根是1,,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳平方根，算術(shù)平方根的綜合，理解并掌握只有非魚(yú)數(shù)才有平方根，平方根中取正號(hào)的是算術(shù)平

方根，正數(shù)、負(fù)數(shù)、零都有立方根是解題的關(guān)鍵.

6.下列計(jì)算結(jié)果不等于2的是()

A.yj4B.1—C.(-2)~X—D.8

【答案】D

【分析】本題考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算.熟練掌握求?個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，立方根，乘方和四則計(jì)算，是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算，算術(shù)平方根據(jù)，立方根，求出各選項(xiàng)的值，即可得出答案.

【詳解】A.74=2,結(jié)果為2,故不符合題意；

B.1-(-|)=]+1=2,結(jié)果為2,故不符合題意;

C.（-2）2xl=4xl=2,結(jié)果為2,故不符合題意；

D.4=-2,結(jié)果不為2,故符合題意.

故選：D.

7.一個(gè)正方體的體積擴(kuò)大為原來(lái)的8倍，它的棱長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的（）

A.2倍B.3倍C.4倍D.5倍

【答案】A

【分析】根據(jù)正方體的體積計(jì)算公式和立方根的定義即可求解.

【詳解】解：設(shè)原來(lái)的棱長(zhǎng)為x，那么現(xiàn)在的體積為8/，

??,^/g?=2r，

,它的棱長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了立方根與立方體的體積公式，解題關(guān)鍵是利用立方根的定義準(zhǔn)確的求出新立方體的楂長(zhǎng)，從

而求出棱長(zhǎng)之間的關(guān)系.

8.?個(gè)數(shù)的平方根與立方根相等，這樣的數(shù)有（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無(wú)數(shù)個(gè)

【答案】A

【分析】一個(gè)數(shù)的平方根與立方根相等的只有0.

【詳解】解：一個(gè)數(shù)的平方根與立方根相等的只有0.

故選4

【點(diǎn)睛】本題考查平方根和立方根的概念，熟記這些概念才能求解.

9.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.±74=±2B.64的算術(shù)平方根是4

C.而+>/^a=0D.若+Jx-1=0,則x=l

【答案】B

【分析】本題考查了平方根和立方根的概念及其運(yùn)用.分別根據(jù)平方根、算術(shù)平方根和立方根的概念直接判斷即可.

【詳解】解：A、±"=±2,該選項(xiàng)正確，不符合題意；

B、64的算術(shù)平方根是8,該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

C、指+E=0，該選項(xiàng)正確，不符合題意：

D、y/\-X+y/x-\=0?則X=l,該選項(xiàng)正確，不符合題意.

故選：B.

10.要生產(chǎn)一個(gè)底面為正方形的長(zhǎng)方體形容器，容積為128L（1L=1立方分米），使它的高是底面邊長(zhǎng)的2倍，則底

面邊長(zhǎng)為（）

A.2分米B.3分米C.4分米D.5分米

【答案】C

【分析】設(shè)底面邊長(zhǎng)為x分米，則高為2x分米，根據(jù)長(zhǎng)方體體積公式列出方程，求出x的值即可.

【詳解】解：設(shè)底面邊長(zhǎng)為x分米，則高為2x分米，根據(jù)題意得，

jrxxx2.r=128,

丁=64,

解得，x=4

所以底面邊長(zhǎng)為4分米，

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查了立方根的實(shí)際應(yīng)用，正確列出方程是解答本迤的關(guān)鍵.

二、填空題

11.已知（X-1丫=27,則x的值是.

【答案】4

【分析】利用立方根的定義，可得x-l=3,即可求解.

【詳解】解：Mx-1)3=27,

x-1=3,

:.x=4,

故答案為:4.

【點(diǎn)睛】本題上要考查了立.方根的定義，熟練掌握若一個(gè)數(shù)的立?方等于“，則這個(gè)數(shù)稱為”的立方根是解題的關(guān)鍵.

12.若x+5的立方根是2,則3x+l的平方根是.

【答案】

【分析】本題主要考查了平方根和立方根的定義，熟練掌握平方根和立方根的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)立方根的定義求出X的值，再代入求出3x+l的值，再根據(jù)平方根的定義求

【詳解】解：由題可知X+5=23,

解得：x=3,

/.3x+1=10,

3x+l的平方根為土

故答案為：土J證.

13.若一個(gè)數(shù)。的相反數(shù)等于它本身，則伍-5歷11+2瘧.

【答案】-9

【分析】本題考查了相反數(shù)的定義和實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，理解相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)相反數(shù)的定義，若一個(gè)數(shù)。的相反數(shù)等于它本身，則。=0,代入所求代數(shù)式計(jì)算即可求解.

【詳解】解：的相反數(shù)等于它本身，

:.a=0,

原式=0-571+2x4=-5+2x(-2)=-9,

故答案為：-9.

14.已/Wx-1=工-1,貝Ux?—x的值是.

【答案】0或2/2或0

【分析】本題考查立方根的性質(zhì)，根據(jù)立方根等于它本身的數(shù)是0或±1,即可求出x的值，然后代入代數(shù)式求值即可.

【詳解】解：?.?行萬(wàn)=x—1,

???X-1=0或±1,

=l或x=2或x=0,

當(dāng)x=l時(shí)，x2-x=l2-1=0;

當(dāng)x=2時(shí)，X2-X=22-2=2；

當(dāng)x=0時(shí)，x2-x=02-0=0：

綜上，寸-x的值是0或2,

故答案為：0或2.

15.已知3+指的小數(shù)部分是〃?,3-6狗小數(shù)部分是〃，則〃7+〃的立方根是.

【答案】1

【分析】本題考查無(wú)理數(shù)的估算.利用無(wú)理數(shù)的估算求得小，〃的俏后代入，〃十〃中，再根據(jù)龍方根的定義求解即可.

【詳解】解：?.?加<指<強(qiáng)，

.\1<</3<2,

???4<3+次<5,

???3+達(dá)的小數(shù)部分m=3+將-4=次-1,

'''-2<—y)3<—1?

二1<3-班<2,

.??3-指的小數(shù)部分〃=3-將-1=2-⑸

.?.〃?+〃=他-1)+(2-網(wǎng)=1,

??.利+〃的立方根是折=1.

故答案為：1.

16.有四個(gè)實(shí)數(shù)分別是32,孝,-2120,請(qǐng)你計(jì)算其中有理數(shù)的和與無(wú)理數(shù)的積的差，其計(jì)算后的結(jié)果為.

【答案】-1

【分析】根據(jù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的概念列出式子，再根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】解：四個(gè)實(shí)數(shù)分別為3?,立「23,2夜中有理數(shù)為32,-23；無(wú)理數(shù)為立,2加;

22

有理數(shù)的和與無(wú)理數(shù)的積的差為-8+9-乎x2五=1.

故答案為：-1.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

三、解答題

17.己知x+&y=O,其中x,y是有理數(shù).求證：x=0,?=0.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】當(dāng)丁工。時(shí)，由x,y是有理數(shù)，得到上是有理數(shù)，再根據(jù)已知條件式推出二二-后為無(wú)理數(shù)，這與二是有理

yyy

數(shù)矛盾，從而證明y=o,進(jìn)而可以證明x=o.

【詳解】證明：當(dāng)》工0時(shí)，

?:X,N是有理數(shù)，

，二是有理數(shù)，

y

x+"y=0?

...-y/2y-x?

.??土=-a為無(wú)理數(shù)，這與二是有理數(shù)矛盾，

yy

yw0不成、工,

???y=0,

x+0=0,

/.x=0.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的計(jì)算，正確推出當(dāng)y中。時(shí)，±二-/為無(wú)理數(shù)，這與上是有理數(shù)矛盾是解題的關(guān)鍵.

yy

18.已知正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別是3a-14與。-2,6-15的立方根是-3.

⑴求a、b的值;

(2)求J4G+6的值.

【答案】(1)。=4,6=-12

(2)2

【分析】本題考查了算術(shù)平方根，平方根，立方根的定義，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)立方根與平方根的定義求得兒。的值；

(2)將5,。的值代入加工，即可求解.

【詳解】(1)解：h的平方根是3a-14與。一2,

/.3?-14+a-2=0,

「.。=4,

?4-15的立方根是-3

15-(-3)3--27,

:.b=-\2,

即。、b的值分別為4,-12；

(2)解：當(dāng)。=4力=-12時(shí)，

J4a+b=74x4-12=J16-12=2.

19.計(jì)算（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位）：

⑴石

（2）冗?冷.

【答案】（1）-041

（2）4.53

【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的近似計(jì)算，熟練掌握算術(shù)平方根、立方根以及用的近似值，和小數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則是

解題的關(guān)鍵.

（I）先分別求出后和近的近似值，再做減法運(yùn)算，最后按要求保留小數(shù)位數(shù).

（2）先求出班的近似值，再與乃的近似值相乘，最后保留兩位小數(shù).

【詳解】（1）解：?.?石a2.236,V7?2.646

:.亞-布x2.236-2.646=-0.41

（2）解：?.?而=1.442，萬(wàn)R3.142

?癢3J42xl.442M.53

20.填寫(xiě)下表，并回答問(wèn)題；

a?.?0.0000010.001110001000000?..

??????

（1）數(shù)口與它的立方根族的小數(shù)點(diǎn)的移動(dòng)有何規(guī)律？

（2）根拈這個(gè)規(guī)律，若已知由0.00525=0.1738,）=L738,求〃的值.

【答案】填表見(jiàn)解析：（1）見(jiàn)解析；（2）5.25

【分析】（1）根據(jù)被開(kāi)方數(shù)。的小數(shù)點(diǎn)每向右或向左移動(dòng)三位，立方根指的小數(shù)點(diǎn)相應(yīng)地向右或向左移動(dòng)一