平面直角坐標系與函數(shù)基礎(chǔ)知識

（7大考點，精選35題）

考點概覽

考點1判斷坐標所在的象限

考點2求自變量的取值范圍

考點3坐標與幾何變換

考點4坐標與幾何性質(zhì)

考點5坐標的變換規(guī)律問題

考點6從函數(shù)圖象提取信息

考點6動點問題的函數(shù)圖象

考點7新定義探究問題

考點1判斷坐標所在的象限

1.（2025?四川成都?中考真題）在平面直角坐標系X。），中，點。卜2,1+1）所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】本題考查判斷點所在的象限，根據(jù)點的符號特點，判斷點所在的象限即可，熟練掌握各象限的點

的符號特點，是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：?.?尸+一2<0,

二點戶（一2,/+1）在第二象限；

故選B.

2.（2025?河北?中考真題）若一元二次方程工程+2）-3=0的兩根之和與兩根之積分別為陽，則點（嘰〃）

在平面直角坐標系中位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，點的坐標；將方程化為標準形式后，利用根與系數(shù)的

關(guān)系求出兩根之和與積，再根據(jù)點的坐標判斷所在象限.

【詳解】解：原方程x（x+2）-3=0展開并整理為標準形式：d+2x—3=0

其中a=\,b=2,c=-3.

二點（力,〃）即（-2,-3）的橫、縱坐標均為負數(shù)，故位于平面直角坐標系的第三象限.

故選:C.

3.（2025?貴州?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中有4B,C,。四點，根據(jù)圖中各點位置判斷，哪一

個點在第四象限（）

?A

B1_

-0~O~\A

??

CD

A.點AB.點、BC.點CD.點/J

【答案】D

【分析】本題考查判斷點所在的象限，根據(jù)象限的劃分方法，工軸下方，v軸右側(cè)的區(qū)域為第四象限，進行

判斷即可.

【詳解】解：由圖可知，點。在第四象限；

故選D.

4.（2025?四川瀘州?中考真題）若點在第一象限，則。的取值范圍是.

【答案】a>2

【分析】本題考查象限內(nèi)點的符號特征，解一元一次不等式.解題的關(guān)鍵是掌握坐標系中每個象限內(nèi)點的

符號特點如下：第一象限（+,+），第二象限（-,十）,第三象限（一,-），第四象限（+,-）.

根據(jù)第一象限內(nèi)點的坐標符號為（+,+），得到。-2>0,再解一元一次不等式即可.

【詳解】解：?.?點（1,〃-2）在第一象限，

-2>0,

解得：a>2,

故答案為：a>2.

5.（2025?四川廣安?中考真題）在平面直角坐標系中，已知點力的坐標為（。力），且a,b滿足

（a-2）2+|/>+3|=0,則點彳在第象限.

【答案】四

【分析】本題考查非負性，判斷點所在的象限，根據(jù)非負性求出。，6的值，根據(jù)。，6的符號，判斷出點4所

在的象限即可.

【詳解】解：???（”2）2+M+3|=0,

4-2=0,力+3=0,

.*.A=2>0,6=—3<0,

???點力的坐標為（2,-3）,在第四象限；

故答案為：四.

考點2求自變量的取值范圍

6.（2025?云南?中考真題）函數(shù)），一一1的自變量*的取值范圍為（）

X-]

A.工工4B..丫工3C.x/2D.工工1

【答案】D

【分析】本題考查函數(shù)自變量的取值范圍，解題關(guān)鍵是依據(jù)“分母不為0”列不等式求解.

根據(jù)分母不等于0得到六1H0,求解即可.

【詳解】解：?.?函數(shù)y的分母為X?l.

x-l

???當分母x?l=0時，分式無意義,

x-10.

解得XH1,

故自變量X的取值范圍是XH1,

故選：D.

7.（2025?黑龍江?中考真題）在函數(shù)了=一工中，自變曷x的取佰范圍是.

【答案】"7

【分析】本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取

全體實數(shù)；（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開

方數(shù)非負.

根據(jù)分式有意義，分母不等于0列式計算即可得解.

t詳解】解：由題意得X+3H0,

故選:A

10.(2025?山東威海?中考真題)某廣場計劃用如圖①所示的44兩種瓷磚鋪成如圖②所示的圖案.第一

行第一列瓷磚的位置記為(1』)，其右邊瓷磚的位置記為(2,1),其上面瓷磚的位置記為(1,2),按照這樣的規(guī)

律，下列說法正確的是

回□

A種瓷磚B種瓷磚

圖①位磚圖案

A.(2024,2025)位置是〃種瓷磚B.(2025,2025)位置是8種瓷質(zhì)

C.(2026,2026)位置是％種瓷磚D.(2025,2026)位置是8種瓷徜

【答案】B

【分析】本題考查了點的坐標規(guī)律探索，找到規(guī)律是關(guān)鍵；

根據(jù)題意可得：力種瓷磚的坐標規(guī)律為(單數(shù)，雙數(shù))，(雙數(shù)，單數(shù))；〃種瓷磚的坐標規(guī)律為(單數(shù)，單

數(shù))，(雙數(shù)，雙數(shù))，再逐項判斷卬可.

【詳解】解：4種究磚的位置：(1,2),(1,4),(1,6)…,

(2,1),(2,3),(2,5)-,

8種瓷成的位置：(1,1),(1,3),(1,5)-,

(2,2),(2,4),(2,6)-,

由此可得；4種院被的坐標規(guī)律為(單數(shù)，雙數(shù))，(雙數(shù)，單數(shù))；，種瓷磚的坐標規(guī)律為(單數(shù)，單數(shù))，(雙

數(shù)，雙數(shù))；

.?.(2024,2025)位置是A種瓷磚，故A選項不符合題意；

(2025,2025)位置是B種瓷磚，故B選項符合題意:

(2026,2026)位置是B種瓷磚，故C選項不符合題意;

(2025,2026)位置是4種瓷磚，故D選項不符合題意;

故選：B.

11.(2025?安徽?中考真題)如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中建立平面直角坐標系

X。"△力8c的頂點和4均為格點(網(wǎng)格線的交點).已知點力和4的坐標分別為(T-3)和(2,6).

(I)在所給的網(wǎng)格圖中描出邊48的中點。，并寫出點。的坐標;

(2)以點O為位似中心，將△力8。放大得到△4%G，使得點力的對應(yīng)點為4,請在所給的網(wǎng)格圖中畫出

△44G.

【答案】(1)圖見解析；(-2,-1)

(2)圖見解析

【分析】本題主要考查了中點坐標公式，坐標系中畫位似圖形，熟知中點坐標公式，位似圖形的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)兩點中點坐標公式可確定點。的坐標，進而描出點。即可；

(2)根據(jù)點力和點4的坐標可知，把夙。的橫縱坐標都乘以-2即可得到4、G的坐標，描出4、4、G，

并順次連接4、4、G即可.

【詳解】(1)解：如圖所示，點。即為邊力5的中點,

4(-1,-3),5(-3,1),

???,點D的坐標為（一2,-1）.

（2）解：如圖所示，即為所求作的三角形.

12.（2025?廣西?中考真題）繡球是廣西民族文化的特色載體.如圖，設(shè)計某種繡球葉瓣時，可以先在圖紙

上建立平面直角坐標系，再分別以原點。，。'（5,5）為圓心、以5為半徑作圓，兩圓相交于48兩點，其公

共部分構(gòu)成葉瓣①（陰影部分），同理得到葉瓣②.

（1）寫出44兩點的坐標；

（2）求葉瓣①的周長；（結(jié)果保留兀）

（3）請描述葉瓣②還可以由葉瓣①經(jīng)過怎樣的圖形變化得到.

【答案】(1)%(0,5),8(5,0)

⑵5兀

(3)葉瓣②還可以由葉瓣①逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到

【分析】本題考查了圓的性質(zhì)、平面直角坐標系、旋轉(zhuǎn)：

(1)先證明四邊形是正方形即可得到坐標；

(2)根據(jù)N/1O4=9()。，算出!慢I的周氏即可得到葉瓣的周長；

(3)利用旋轉(zhuǎn)即可.

【詳解】(1)???以原點O，。'(5,5)為圓心、以5為半徑作圓，兩圓相交于46兩點

OA=OB=O'A=O'B=5

.?.。力0'8是正方形

N4OB=OBO'=BO'A=O'AO=90°

「./(0,5),8(5,0)

(2)?原點0,0(5,5)為圓心、以5為半徑作圓

兩個圓是等圓

???N4OB=4O'B=90。

90。

「?葉瓣①的周長為：2TCX(7JX--X2=5TC

360

(3)葉瓣②還可以由葉瓣①逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到.

考點4坐標與幾何性質(zhì)

13.(2025?廣西?中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，“雙曲線階梯F8CQEFG的所有線段均與x軸平

行或垂直，且滿足8。=。E=打?=1,點A,C,E,G均在雙曲線y="的一支上.若點4(1勺坐標為

x

"則第三級階梯的高E/=()

G\-}F

OX

c-75

A.4B.3C.-D.-

22

【答案】B

【分析】本題考查了雙曲線的解析式，點的坐標與線段長度，解題的關(guān)鍵是得出雙曲線的解析式.

把點A的坐標代入y=可得雙曲線的解析式，結(jié)合已知的線段長度求出點E和點G的橫坐標，代入解析

x

式可得縱坐標，作差即可.

【詳解】解：???點《4尚）在雙曲線y上，

「3/

.?.女=4x—=6,

2

???雙曲線y=

X

???“雙曲線階梯”/4C0E尸G的所有線段均與x軸平行或垂直，且3C=Of=FG=1,

二點￡的橫坐標為4-1-1=2,點G的橫坐標為2-1=1,

???點￡的縱坐標為g=3,點G的縱坐標為牛=6,

,-.￡F=6-3=3,

故選：B.

14.（2025?四川德陽?中考真題）A/BC在平面直角坐標系中，已知世3,0）,如果△4BC的面積為

1,那么點。的坐標可以是.（只需寫出一個即可）

【答案】（2』）（答案不唯一，縱坐標絕對值為1即可）

【分析】本題考查了平面直角坐標系中點的位置，三角形面積公式，由力（L0）,以3,0）,得48=2,乂AABC

的面積為1,可得=所以外=±1,從而求解，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：???力。,0）,8（3,0）,

AB=2>

???△相。的面積為1,

:.-ABx\yc\=\t

二屏|=1,

'-yc=±1,

，點c的坐標可以是（2,1）,

故答案為：（2,1）.（答案不唯一，縱坐標絕對值為1即可）

考點5坐標的變換規(guī)律問題

15.（2025?四川眉山?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，用12個以點。為公共頂點的相似三角形組成

形如海螺的圖案，若CM=1,N045=9（）。，則點G的坐標為

【答案】卜劌

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、解直角三角形和點的坐標規(guī)律探求；先求得/力。八陪=30。,

1乙

然后解直角三角形分別求出。人半,農(nóng)=嘉=手、差’。。二焉二

I,得到規(guī)律,

再根據(jù)規(guī)律計算即可.

【詳解】解：?.?圖案是用12個以點。為公共頂點的相似三角形組成形如海螺的圖案,

.?.404=^22=30°,

12

vOA=\,NOAB=9。。,

'-AB=OAlan300=—OB=2AB=—,

3t3

?.?/8OC'=30。，

:0c=&二巫

cos3003V3

同理：OD=J空x

cos3003

2Gx:2G3264

依次類推：OG=X=；

33-97327

則點G的坐標為1一￡,0）；

故答案為：卜捺

16.（2025?山東,中考真題）取直線y=-x上一點力師必），①過點4作X軸的垂線，交點

4（S，乃）：②過點4作〉軸的垂線，交y=f于點4（七,月）；如此循環(huán)進行下去.按照上面的操作，若

點4的坐標為（1,-1），則點4202s的坐標是.

【分析】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)規(guī)律探究；根據(jù)題意可以寫出點4、4、4、4的坐標，從而

可以發(fā)現(xiàn)各點的變化規(guī)律，從而可以寫出點的坐標.

【詳解】解：???點4的坐標為（LT），

二點4的橫坐標為1，

???點4的坐標為（1,1）,

???點4的縱坐標為1，

二點4的坐標為（-1，1），

同理點4的橫坐標為-1，

.??點兒的坐標為（T-1），

點4的坐標為

???四個點一個循環(huán)，

???2025+4=506余1,

二點彳2025的坐標與點4相同，是(LT)，

故答案為：(1,-1).

【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、規(guī)律型，勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明碓題意，利用

一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答.

17.(2025?黑龍江齊齊哈爾?中考真題)利用幾何圖形的變化可以制作出形態(tài)各異的圖案.如圖，在平面直

角坐標系中，點A的坐標為(2,0),以Q4為邊作Rd?；兀?%4=90。，/40=30叱再以磔為邊

作RIZXQ44,使/。44=90°，/4。4=30°,過點A,4,4作弧標，記作第1條?。灰詾檫?/p>

RtA04,使/。44=90°,404=30°,再以。4為邊作RS。4%,使/。44=90。，

/4。4二30。，過點4，4，4/乍弧44,記作第2條弧……按此規(guī)律，第2025條弧上與原點O的距離

【分析】本題主要考查了點的坐標規(guī)律探索，解直角三角形的相關(guān)計算，根據(jù)題意找出一般規(guī)律是解題的

OA=—_=於=2x余,O4=q=2x：x4=2xd

關(guān)鍵.分別求出Icos30°6

v-COS30°上百

2

。4=偏=2x(￡|弓=2x圖,得出。4=2x(5)，根據(jù)題意得出第2025條弧上與原點O

/2A4048,4048*)4049

=2X=-

的班離最小的點為4跺，求出041m=2x(方J^2O2T^2O24>根據(jù)40=好，/4。42=30°,

404=30。，N4°4=30。，得出404OO=120。，然后求出結(jié)果即可.

【詳解】解：根據(jù)題意可知：OA-2,

八，2、2

OA=---0--4----=-7=-=2x—=

cos30°V3V3，

°4=d=2>4x與=24多丫

■COS30°V3V3\xl3)

04,=2x(升

?.?點A,4，4作弧直為第1條弧,

點4,4,4作弧Z7為第2條弧,

???4MH5。組成第2025條弧，

???第2025條弧上與原點。的距離最小的點為兒…,

40484O4S4049

.0~2x(/耳2JA=2x—2=—2.

-Z4O4,=3CP,/4。4=30。，ZA2OA3=30°,/-ApA,=30°,

???12次操作循環(huán)一周，

???4048+12=337…4,

ZAOA.M=[20°,

過點4MM8作4O48、軸于點M，如圖所示:

i24O49,4048

：0M-0力4048XCOS60°=-x，

,“~?“。G2的24M8xV3

=<HO48xsin60°=—x—=§踞-，

''2404874048xJa、

?.第2025條弧上與原點。的距離最小的點的坐標為一產(chǎn)，3故4

故答案為:

考點6從函數(shù)圖象提取信息

18.（2025?廣東?中考真題）在理想狀態(tài)下，某電動摩托車充滿電后以恒定功率運行，其電池剩余的能量

F（W?h）與騎行里程x（km）之間的關(guān)系如圖.當電池剩余能量小了100W-h時，摩托車將自動報警.根據(jù)圖

象，下列結(jié)論正確的是（）

A.電池能量最多可充400W.h

B.摩托車每行駛10km消耗能量300W-h

C.一次性充滿電后，摩托車最多行駛25km

D.摩托車充滿電后，行駛18km將自動報警

【答案】c

【分析】本題考查了實際問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是讀懂函數(shù)圖象，根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)逐項求解判斷

即可.

【詳解】由圖象可得，當x=Okm時，y=500Wh,

二電池能量最多可充500W-h,故A錯誤；

500+25=20（W?h）,20x10=200（Wh）

???摩托車每行駛10km消耗能量200Wh,故B錯誤；

由圖象可得，當x=25km時，y=0Wh,

???一次性充滿電后，摩托車最多行駛25km,故C正確：

（500-100）4-20=20（km）

，摩托車充滿電后，行駛2（）km將自動報警，故D錯誤：

故選：C.

19.（2025?貴州?中考真題）如圖，用一根管子向圖中容器注水，若單位時間內(nèi)注水量保持不變，則從開始

到注滿容器的過程中，容器內(nèi)水面升高的速度（）

A.越來越慢B.越來越快C.保持不變D.快慢交替變化

【答案】B

【分析】本題考查變量的變化情況，根據(jù)容器的形狀為上窄下寬，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：???單位時間內(nèi)注水量保持不變，容器的形狀為上窄下寬，

從開始到注滿容器的過程中，容器內(nèi)水面升高的速度越來越快；

故選B.

20.（2025?四川成都?中考真題）小明從家跑步到體育館，在那里鍛煉了?段時間后又跑步到書店買書，然

后步行回家（小明家、書店、體育館依次在同一直線上），如圖表示的是小明離家的距離與時間的關(guān)系.下

列說法正確的是（）

A距離/km

A.小明家到體育館的距離為2kmB.小明在體育館鍛煉的時間為45min

C.小明家到書店的距離為1kmD.小明從書店到家步行的時間為40min

【答案】C

【分析】本題考查用函數(shù)圖象表示變量之間的關(guān)系，從函數(shù)圖象中有效的獲取信息，逐一進行判斷即可.

【詳解】解：由圖象可知：小明家到體育館的距離為2.5km；故選項A錯誤；

小明在體育館鍛煉的時間為45-15=30min；故選項B錯誤；

小明家到書店的距離為1km:故選項C正確；

小明從書店到家步行的時間為100-80=20min；故選項D錯誤；

故選C.

21.（2025?浙江?中考真題）為了實時規(guī)劃路徑，衛(wèi)星導航系統(tǒng)需要計算運動點與觀測點之間距離的平方.如

圖I,點戶是一個固定觀測點，運動點Q從/處出發(fā)，沿筆直公路向目的地8處運動.設(shè)力。為工（單

位：km）（04彳4〃）,尸。2為y（單位：kM）.如圖2,y關(guān)于x的函數(shù)圖象與y軸交于點C,最低點

。（嘰81）,且經(jīng)過￡（1,225）和"（"225）兩點.下列選項正確的是（）

B.〃二24

C.點C的縱坐標為240D.點（15,85）在該函數(shù)圖象上

【答案】D

【分析】作尸G_LR8,當x=l時，動點。運動到點，的位置，得到尸"2=225,當點。運動到點G的時候,

尸?最小為81,HG=m-\,勾股定理求出加的值，判斷A；當時，點。運動至I］點八根據(jù)三線合一,

得到8G=〃G,進而求出〃的值，判斷B；連接力尸，勾股定理求出力尸的長，確定。的縱坐標，判斷C,

求出x=15時，點。的位置,再利用勾股定理求出尸Kz,判斷D,即可.

【詳解】解：如圖，作PG1/8,當x=l時，動點。運動到點”的位置，則由題意和圖象可知PH?=225,

當點。運動到點G的時候，PQ2最小,即：PG2=81,=

BP

在RtZ\PGH中，由勾股定理，得；225=81+(/n-l)?,

解得：〃?=13,故選項A錯誤；

:.AG=〃？=13,HG=/??-1=12,

當了=〃時，點。運動到點B,則P)=225=尸”2,

PB=PH,

VPG1AB,

：.BG=HG=12,

???48=13+12=25,故選項B錯誤；

???當x=0,即點。在A點時，

???AP2=AG2+PG2=\32+^\=250；

二點。的縱坐標為250；故選項C錯誤：

當1=15時，點。運動到點K,則：AK=\5,

:.GK=AK-AG=2,

??.PK2=KG2+PG2=4+81=85,

.?.點(15,85)在該函數(shù)圖象上，故選項D正確；

故選D.

【點睛】本題考查動點的函數(shù)圖象，勾股定理，垂線段最短，二線合一等知識點，熟練掌握相關(guān)知識點，

從函數(shù)圖象中有效的獲取信息，確定點。的位置，是解題的關(guān)鍵.

22.(2025?河南?中考真題)汽車輪胎的摩擦系數(shù)是影響行車安全的重要因素，在一定條件下，它會隨車速

的變化而變化.研究發(fā)現(xiàn)，某款輪胎的摩擦系數(shù)〃與車速Mkm/h)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.下列說法中

錯誤的是()

A.汽車靜止時，這款輪胎的摩擦系數(shù)為0.9

B.當0SnK60時，這款輪胎的摩擦系數(shù)隨車速的增大而減小

C.要使這款輪胎的摩擦系數(shù)不低于0.71,車速應(yīng)不低于60km/h

D.若車速從25km/h增大到60km/h,則這款輪胎的摩擦系數(shù)減小0.04

【答案】C

【分析】本題考查了利用函數(shù)圖象獲取信息，正確理解函數(shù)圖象是解題關(guān)鍵.根據(jù)某款輪胎的摩擦系數(shù)"

與車速y（km/h）之間的函數(shù)關(guān)系圖，逐項判斷即可.

【詳解】解：A、由圖象可知，當v=0時，〃=0.9,即汽車靜止時，這款輪胎的摩擦系數(shù)為0.9,原說法正

確，不符合題意；

B、由圖象可知，當0WVW60時,這款輪胎的摩擦系數(shù)隨車速的增大而減小，原說法正確，不符合題意；

C、要使這款輪胎的摩擦系數(shù)不低于0.71,車速應(yīng)不高于60km/h,原說法錯誤，符合題意；

D、由圖象可知,當y=25時,〃=0.75；當y=60時,〃=0.71,即車速從25km/h增大到60km/h,則這

款輪胎的摩擦系數(shù)減小0.04,原說法正確，不符合題意：

故選：C

23.（2025?山西,中考真題）氫氣是一種綠色清潔能源，可通過電解水獲得.實踐小組通過實驗發(fā)現(xiàn)，在電

解水的過程中，生成物氫氣的質(zhì)量Mg）與分解的水的質(zhì)量x（g）滿足我們學過的某種函數(shù)關(guān)系.下表是一組

實驗數(shù)據(jù)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)，，與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（）

氫氣的質(zhì)量

0.51245

y1s

A.y=-B.y=9xc.y=-xD.y=—

x99x

【答案】C

【分析】本題考查了求函數(shù)關(guān)系式，由表格數(shù)據(jù)可得V是x的正比例函數(shù)，進而即可求解，由表格數(shù)據(jù)判斷

出函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【佯解】解：???/布—=彳=丁=9,

??.y與x成正比例，即y是x的正比例函數(shù)，

1

:.y=-x,

9

故選：C.

24.（2025?新疆?中考真題）一輛快車從片地勻速駛向8地，一輛慢車從8地勻速駛向/地，兩車同時出發(fā)，

各自到達目的地后停止.兩車之間的距離s（km）與行駛時間/（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列結(jié)論錯誤

的是（）

s/kmA

「I

027Ur/h

23

A.兩車出發(fā)2h后相遇

B.B8兩地相距28西m

C.快車比慢車早到達目的地

D.快車的速度為80km/h,慢車的速度為60km/h

【答案】C

【分析】本題主要考查了從函數(shù)圖象獲取信息，根據(jù)"0時，s=：>80,1=2時，s=0可判斷A、B；根據(jù)

714

函數(shù)圖象可得快車出發(fā)不h到達目的地，慢車出發(fā)三h到達目的地,據(jù)此根據(jù)速度等于路程除以時間求出兩

車的速度，即可判斷C、D.

【詳解】解：.../=（）時，$=280,

?H3兩地相距280km，故B結(jié)論正確,不符合題意:

?"=2時，5=0,

???兩車出發(fā)2h后相遇，故A結(jié)論正確，不符合題意：

714

由函數(shù)圖象可得快車出發(fā)到達目的地，慢車出發(fā)到達目的地，

二快車比慢車早一14-7<=：7h到達目的地，故C結(jié)論錯誤，符合題意；

326

714

2804--=80km/h,280+—=60km/h,

23

快車的速度為80km/h,慢車的速度為6（）km/h,故D結(jié)論正確，不符合題意：

故選：C.

25.（2025?廣西?中考真題）生態(tài)學家G.F.Gausc通過多次單獨培養(yǎng)大草履蟲實驗，研究其種群數(shù)量V隨時間

/的變化情況，得到了如圖所示的“S”形曲線.下列說法正確的是（）

0123456時間〃天

A.第5天的種群數(shù)量為300個B.前3天種群數(shù)量持續(xù)增長

C.第3天的種群數(shù)量達到最大D.每天增加的種群數(shù)量相同

【答案】B

【分析】本題考杳了從函數(shù)圖象獲取相關(guān)信息，認真讀題，分析每個階段的函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.根據(jù)

圖像，逐項分析即可得出結(jié)論.

【詳解】解：A.第5天的種群數(shù)量在300<y<400之間，選項說法錯誤，故不符合題意；

B.前3天種群數(shù)量持續(xù)增長，選項說法正確，故符合題意；

C第5天的種群數(shù)量達到最大，選項說法錯誤，故不符合題意；

D.由圖可得，每天增加的種群數(shù)最不相同，選項說法錯誤，故不符合題意：

故選：B.

26.（2025?山東?中考真題）在水分、養(yǎng)料等條件一定的情況下，某植物的生長速度曠（厘米/天）和光照強

度I（勒克斯）之間存在一定關(guān)系.在低光照強度范圍（200<x<1000）內(nèi)，y與X近似成一次函數(shù)關(guān)系;

在中高光照強度范圍（X21000）內(nèi)，y與X近似成二次函數(shù)關(guān)系.其部分圖象如圖所示.根據(jù)圖象，下列結(jié)

論正確的是（）

A.當入Z000時，V隨x的增大而減小B.當x=2000時，V有最大值

C.當y20.6時，x>1000D.當》=0.4時，x=600

【答案】B

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)、二次函數(shù)與不等式等知識點，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的

關(guān)鍵.

根據(jù)拋物線可直接判斷A選項；根據(jù)拋物線以及相關(guān)數(shù)據(jù)可得拋物線的對稱軸為x=2000,進而判定B選

項；根據(jù)困數(shù)圖象可判定C選項；根據(jù)一次函數(shù)的對稱性可判定D選項.

【詳解】解：A.當XN1OOO時，隨x的增大先增大、后減小，即A選項錯誤，不符合題意：

B.由函數(shù)圖象可知：拋物線的對稱軸為x=100°；300°=2000,即當x=2000時，丁有最大值，則B選項

正確，符合題意；

C.由函數(shù)圖象可知：當y20.6時，1000<x<3000,即C選項錯誤，不符合題意；

D.當y=0.4時，由圖象知，》對應(yīng)的值有兩個，即D選項錯誤，不符合題意.

故選B.

27.（2025?湖南?中考真題）甲、乙兩人在一次100米賽跑比賽中，路程$（米）與時間，（秒）的函數(shù)關(guān)系

如圖所示，填（“甲”或“乙”）先到終點：

【答案】甲

【分析】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答問題.

從函數(shù)圖象可知甲乙跑完全程的時間，即可確定答案.

【詳解】解：根據(jù)圖象可得甲到達終點用時12秒，乙到達終點用時14秒，

二甲先到達終點，

故答案為：甲.

28.(2025?北京?中考真題)工廠對新員工進行某種工藝品制作的培訓.在完成理論學習后，新員工接下來

先使用智能輔助訓練系統(tǒng)進行一次為期7日(7可取0,1,2或3)的模擬練習，然后開始試制.記一名新

員工在試制階段的第x日單日制成的合格品的個數(shù)為y,根據(jù)以往的培訓經(jīng)驗，對于給定的7,可以認為y

是工的函數(shù).當7=0和7=3時，部分數(shù)據(jù)如下：

X0123456789

7=0

時『的07810121620232526

值

r=3

時『的

0263743m4850515253

值

7=3時，從試制階段的第2日起，一名新員工每一日比前一日多制成的合格品的個數(shù)逐漸減少或保持不變.

對于給定的兀在平面直角坐標系xQr中描出該r值下各數(shù)對(ij)所對應(yīng)的點，并根據(jù)變化趨勢用平滑曲

線連接，得到曲線&?.當T=1和7=2時，曲線G，G如圖所示.

55

50

45

40

35

30

25

(1)觀察曲線G，當整數(shù)x的值為時，y的值首次超過35；

(2)寫出表中〃?的值，并在給出的平面直角坐標系中畫出7=3時的曲線G；

(3)新員工小云和小騰剛剛完成理論學習，接下來進行模擬練習和試制.

①若新員工單H制成不少于45個合格品即可獲得“優(yōu)秀學員”證書，根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系，小云最早在完成埋

論學習后的第日可獲得“優(yōu)秀學員”證書：

②若工廠希望小騰在完成理論學習后的4日內(nèi)制成的合格品的總數(shù)最多，根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系，在這4日中

應(yīng)安排小騰先進行日的模擬練習.

【答案】（1）6

（2）加=46；畫圖見解析

⑶①7;②I

【分析】（1）找G圖象上y的值首次超過35時的X值；

（2）根據(jù)第2口起，名新員工每口比前口多制成的合格品的個數(shù)逐漸減少或保持不變，第5口比第

3日多試制5個合格產(chǎn)品，可知第4日比第3日多3個合格產(chǎn)品，即得；運用表格數(shù)據(jù)在平面直角坐標系描

點畫出函數(shù)圖象：

（3）①根據(jù)單日制成不少于45個合格品的只有G與G，G：F=3x=4時y=46,得T+x=7；C2：

T=2,當x=6時y=45,得T+x=8,比較即得小云最早在完戊理論學習后的第7日“J獲得“優(yōu)秀學員”證

書；②分模擬練習7=0日，7=1日，7=2日，7=3口，求出對應(yīng)的4日內(nèi)的試制日數(shù)，試制的合格產(chǎn)品

數(shù)，比較即得應(yīng)安排小騰先進行的模擬練習日數(shù).

【詳解】（1）解：由曲線G看出，當整數(shù)x的值為6時，y的值首次超過35

故答案為：6

（2）解：???7=3日的模擬練習時，從試制階段的第2日起，一名新員工每一日比前一日多制成的合格品的

個數(shù)逐漸減少或保持不變，在試制階段的第3日單日制成的合格品43個，第5日單日制成的合格品48個

相差48-43=5（個），

把5分成兩個接近的數(shù)，5=3+2,

???第4日增加3個，第5日增加2個，

???〃1=43+3=46,

畫出7=3時的曲線G：

55

50

45

40

35

30

25

20

15

1^

^

12345678910

（3）解：①單日制成不少于45個合格品的只有G與

G：7=3FI的模擬練習，然后試制階段第x=4FI制成的合格品之到y(tǒng)=46個,

???T+x=7；

G：7=2日的模擬練習，然后試制階段第x=6日制成的合格品達到j(luò)，=45個,

.,?r+x=8,

v7<8,

故小云最早在完成理論學習后的笫7日可獲得“優(yōu)秀學員”證書；

故答案為：7；

②當模擬練習7=0日時，

4口內(nèi)的試制時間x=4-0=4口，

4日的合格產(chǎn)品分別是7,8,10,12,

???合格產(chǎn)品共有7+8+10+12=37；

當模擬練習7=1日時，

4日內(nèi)的試制時間％=4—1=3日，

3日的合格產(chǎn)品分別是12,19,26,

???合格產(chǎn)品共有12+19+26=57：

當模擬練習7=2日時，

4日內(nèi)的試制時間》=4-2=2日，

2日的合格產(chǎn)品分別是20,30,

二合格產(chǎn)品共有20+30=50；

當模擬練習丁=3日時，

4日內(nèi)的試制時間x=4-3=1II,

1日的合格產(chǎn)品是26；

-??26<37<50<57,

???希望小騰在完成理論學習后的4日內(nèi)制成的合格品的總數(shù)最多，根據(jù)上述函數(shù)關(guān)系，在這4日中應(yīng)安排小

騰先進行I日的模擬練習.

故答案為：1.

-V▲

55.

50.

45.

40.

35.

30

25

20

151

102

53

12345678910

【點睛】本題考查了表格法與圖象法表示函數(shù).熟練掌握函數(shù)表示的表格法與圖象法，根據(jù)表格信息畫函

數(shù)圖象，函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的增減性質(zhì)，求函數(shù)值或日變量的值，是解題的關(guān)鍵.

29.(2025?吉林長春?中考真題)隨著我國人工智能科技的快速發(fā)展，智能機器人已經(jīng)走進我們的生活.某

快遞公司使用甲、乙兩臺不同型號的智能機器人進行快遞分揀工作，它們工作時各自的速度均保持不變.已

知某天它們同時開始工作，甲機器人工作一段時間后、停工保養(yǎng).保養(yǎng)結(jié)束后又和乙機器人一起繼續(xù)工

作.甲、乙兩臺機器人分揀快遞的總數(shù)軟》(件)與乙機器人工作時間》(分鐘)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

火件)

m

4

2700

2200

O406080x(分鐘)

(1)甲機器人停工保養(yǎng)的時間為一分鐘，加=_；

(2)求AB所在直線對應(yīng)的函數(shù)表達式；

(3)若該快遞公司當天分揀快遞的總數(shù)批為5450件，則乙機器人工作時間為一分鐘.

【答案】(1)20,3800

(2)y=55工一600

(3)該快遞公司當天分揀快遞的總數(shù)批為5450件，則乙機器人工作時間為110分鐘.

【分析】本題考查的是一次函數(shù)的實際應(yīng)用；

(1)由圖象可得：甲機器人停工保養(yǎng)的時間，再計算甲乙機器人的工作效率，再列式計算求解〃?的值即可；

(2)由甲乙機器人的效率為每分鐘55件，可得48所在直線對應(yīng)的函數(shù)表達式為：y=2700+55(4-60),

再化簡即可；

(3)把y=5450代入y=55x-60D,進一步即可得到答案.

【詳解】(1)解：由圖象可得：甲機器人停工保養(yǎng)的時間為60-40=20分鐘;

???2200+40=55,

m=2700+（80-60）x55=38001件）;

(2)解：?理乙機器人的效率為每分鐘55件,

???AB所在直線對應(yīng)的函數(shù)表達式為：歹=2700+55(x-60)=55x-600；

(3)解：當y=5450時，

--.55%-600=5450,

解得：x=110,

二該快遞公司當天分揀快遞的總數(shù)批為545()件，則乙機器人工作時間為110分鐘.

考點6動點問題的函數(shù)圖象

30.(2025?甘肅平?jīng)?中考真題)如圖1,在等腰直角三角形力8c中，ZJCB=90°,點。為邊的中點;

動點尸從點力出發(fā)，沿邊力CfC8方向勻速運動，運動到點8時停止.設(shè)點P的運動路程為T,△XPO的

面積為修尸與x的函數(shù)圖象如圖2所示，當點尸運動到C8的中點時，尸。的長為()

圖1圖2

A.2B,2.5C.272D.4

【答案】A

【分析】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖象得到信息，三角形中位線，等腰直角三角形的性質(zhì)，得到當點。運動到

點C時，△力PO的面積最大是解題的關(guān)鍵；

根據(jù)運動軌跡可得△力P。的面積先增大再減小，可得當點P運動到點。時，△/PQ的面積最大為4,即可

求得4C,再利用三角形中位線定理即可解答.

【詳解】解：根據(jù)題意動點P從點力出發(fā)，沿邊/C-CB方向勻速運動過程中，△力尸。的面枳先增大再

減小，當點〃運動到點C時，△.4PO的面積最大，根據(jù)函數(shù)圖象可得此時△/產(chǎn)力的面積為4.如圖，

A

???等腰直角三角形力AC,//C8=90。，點。為邊/S的中點,

2

:.S{.A,nozL.=2stkADnpr=8=—2AC

???AC=4,

當點尸運動到C8的中點時,

???點。為邊相的中點,

：.PD=-AC=2x

2

31.（2025?黑龍江齊齊哈爾?中考真題）如圖，在菱形N5C。中，N/=60。，/月=4,動點E從點A出發(fā)沿

邊勻速運動，運動到點C時停止，過點E作力。的垂線/,在點E運動過程中，垂線/掃過菱形（即

陰影部分）的面積為V，點E運益的路程為Hx>0）.下列圖象能反映V與％之間函數(shù)關(guān)系的是（）

【答案】A

【分析】分三種情況：點E在力8上時，點七在4c上且/與力。相交時，點E在8c上且/與相交時,

分別計算出陰影部分面積的表達式，即可求解.

【詳解】解：當點、E在AB上時，如圖,

ILAD,

百

——x?

2

.1_11V362

22228

「.此時圖象為開口上的拋物線的一部分，排除C,D選項;

當點E在8c上且/與4。相交時，作8H上4D,如圖,

BH1AD,

：.AHAB=2,BH=>!AB2-AH2=2>73*

y=S.ABH+%形的〃=gx2x2/+26(x-4)=2百x-6也,

??.此時圖象為直線一部分；

當點E在8c上且/與CO相交時，如圖,

UBC,CE=AB+BC-x=8-x,

=gciF=3（87）,"：87）=爭87）2,

??J=S-Sm=皿加孝（8r），=4X2百考（8-X0=-#/+8G..24百,

??.此時圖象為開口卜的拋物線的一部分，排除B選項:

故選A.

【點睛】本題考查菱形上的動點問題，解直角三角形，勾股定理，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖

象和性質(zhì)等，求出不同階段y與x的解析式是解題的關(guān)鍵.

32.（2025?甘肅?中考真題）如圖I,在等腰直角三角形/4C中，4cB=90。，點Z）為邊48的中點.動點

尸從點4出發(fā)，沿邊力CfC8方向勻速運動，運動到點8時停止.設(shè)點P的運動路程為x,A/P。的面積

為外y與工的函數(shù)圖象如圖2所示，當點尸運動到C8的中點時，尸。的長為（）

圖1圖2

A.2B.2.5C.25/2D.4

【答案】A

【分析】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖象得到信息，三角形中位線，等腰直角三角形，根據(jù)運動軌跡可得△月產(chǎn)。

的面積先增大，再減小，當點P運動到點C時，△4PO的面積最大，此時△力PQ的面積為4,即可求得

AC,再利用三角形中位線定理即可解答，得到當點尸運動到點C時，△力尸。的面積最大是解題的關(guān)鍵.

【詳解，解：根據(jù)題意動點尸從點4出發(fā)，沿邊力C-CB方向勻速運動過程中，

△4PO的面積先增大，再減小，

當點尸運動到點。時，△/1尸。的面積最大，

根據(jù)函數(shù)圖象可得此時△力產(chǎn)。的面積為4,

如圖，

A

等腰直角三角形/8C,

S&ABC~2s2ADP=8=Q4,

可得力C=4,

當點P運動到C8的中點時，如圖，

A

，???點。為邊的中點,

CPB

DP=；AC=2,

故選：A.

33.（2025?湖北?中考真題）如圖1,在△/8C中，ZC=90°,BC=4cm,AB=//cm.動點尸，。均以lcm/s的

速度從點。同時出發(fā)，點P沿折線C-8T4向點A運動，點。沿邊C4向點A運動.當點。運動到點A時,

兩點都停止運動.△?「（?的面積s（單位：cm?）與運動時間/（單位：S）的關(guān)系如圖2所示.（1）加=

【分析】本題考查動點的函數(shù)圖象，相似三角形的判定和性質(zhì)，從函數(shù)圖象中有效的獲取信息，是解題的

關(guān)鍵：

（1）觀察圖象可知，當/=4時，點P與點3重介，得到CP=C0=4,利用直角三角形的面積公式進行計

算，求出加的值即可；

（2）根據(jù)圖象當/=10時，5=10,此時C0=1O,8尸=10-8C=6,過點。作尸O_L4C,根據(jù)面積公式求出

PQ的長,證明列出比例式求出/P的長,進而求出-8的長即可.

【詳解】解：（1）觀察圖象可知，當f=4時，點點S重合，

???動點。，。均以lcm/s的速度從點。同時出發(fā)，

，CB=CP=CQ=4cmt

vZC=90°,

.?.m=-CPCQ=-x4x4=S-

22

故答案為：8；

（2）由圖象可知，當f=10時，S=10,此時C0=1O,8P=1O-8C=6,

過點P作尸。_L/C于點O,如圖：則：/尸。力=9（）。，

???PD=2,

?："DA=ZC=90°,

"DPs“CB,

APPD21

?花一正一二5'

:.AP=-AB,

2

???夕為49的中點，

；.AB=2BP=12；

故答案為：12.

考點7新定義探究問題

3x+l（x為奇數(shù)）

34.（2025?四川內(nèi)江?中考真題）對于正整數(shù)%,