專題7.2空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

目錄

目錄......................................................1

一、5年高考?真題感悟.....................................2

二、課程標(biāo)準(zhǔn)?考情分析...................................10

【課程標(biāo)準(zhǔn)】.....................................................10

【考情分析】.....................................................10

【2026考向預(yù)測(cè)】.................................................11

三、知識(shí)點(diǎn)?逐點(diǎn)夯實(shí).....................................11

知識(shí)點(diǎn)一、直線與直線的位置關(guān)系...................................11

知識(shí)點(diǎn)二、直線與平面的位置關(guān)系...................................11

知識(shí)點(diǎn)三、平面與平面的位置關(guān)系...................................11

知識(shí)點(diǎn)四、等角定理...............................................12

四、重點(diǎn)難點(diǎn)?分類突破...................................12

考點(diǎn)1證明“點(diǎn)共面”“線共面”“點(diǎn)共線”“線共點(diǎn)”............12

考點(diǎn)2截面問題..................................................25

考點(diǎn)3異面直線的判定............................................29

考點(diǎn)4異面直線所成的角..........................................33

考點(diǎn)5平面的基本性質(zhì)............................................38

五、必考題型?分層訓(xùn)練...................................45

A、基礎(chǔ)保分........................................................45

B、綜合提升........................................................53

一、5年高考?真題感悟

1.（2025?天津?高考真題）若小為直線，。,夕為兩個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若則〃?//"B.若〃?_La,,則。_1_/

C.若m"a,m工P，則a_L/?D.若mua,a：則〃?_1_/

2.（2024?全國(guó)甲卷?高考真題）設(shè)。、夕為兩個(gè)平面，加、〃為兩條直線，且a1力=〃?.下述四個(gè)命題：

①若〃"/〃，則〃〃a或〃//〃②若〃?_!_〃，則〃_La或〃

③若〃〃a且〃/R,則〃?//〃④若〃與。，夕所成的角相等，則"?_L〃

其中所有真命題的編號(hào)是（）

A.①③B.②④C.①②③D.①③④

3.（2024?天津?高考真題）己知”，〃是兩條直線，〃是一個(gè)平面，下列命題正確的是（）

A.若m±n,則〃J_aB.若〃?_￡，則〃J_a

C.若則D.若機(jī)_￡a,〃_La,貝b〃_L〃

4.（2023?北京?高考真題）坡屋頂是我國(guó)傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)元素.安裝燈帶可以勾勒

出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個(gè)五面體，其中兩個(gè)面是全等的等腰梯形，兩個(gè)面

是全等的等腰三角形.若人8=25m,8C=AD=10m,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平

面A8C。的夾角的正切值均為巫，則該五面體的所有棱長(zhǎng)之和為（）

5

A.102mB.H2m

C.117mD.125m

5.（2025?全國(guó)一卷?高考真題）（多選題）在正三棱柱ABC-4qG中，。為4C的中點(diǎn)，則（）

A.AD1A.CB.4”平面例。

c.ADUA\B\D.CCJ/平面A4,。

6.（2021?新高考全國(guó)百卷?高考真題）（多選題）如圖，在正方體中，O為底面的中心，戶為所在棱的中點(diǎn),

M,N為正方體的頂點(diǎn).則滿足MVJLOP的是（）

A.B.

7.（2022?新高考全國(guó)回卷?高考真題）()

A.直線3G與。4所成的角為90。B.直線6G與所成的角為90。

C.直線8G與平面陰所成的角為45。D.直線8G與平面相CD所成的角為45。

二、課程標(biāo)準(zhǔn)?考情分析

【課程標(biāo)準(zhǔn)】

（1）借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的

位置關(guān)系的定義.

（2）了解四個(gè)基本事實(shí)和一個(gè)定理，并能應(yīng)用定理解決問題.

【5年考情分析】

5年考情分析

考題示例考點(diǎn)分析難易程度（簡(jiǎn)單、一般、較難、很難）

2023年上海卷第15題，5分立體幾何簡(jiǎn)單

2022年上海卷第15題，5分立體幾何簡(jiǎn)單

知識(shí)點(diǎn)三.平面與平面的位置關(guān)系：有平行、相交兩種情況.

位置關(guān)系平行相交（但不垂直）垂直

圖形

E

符號(hào)a//pa(y/3=lal。、ap=1

公共點(diǎn)個(gè)數(shù)0無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)且都在

在唯一的一條直線上唯一的一條直線上

知識(shí)點(diǎn)四.等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

四、重點(diǎn)難點(diǎn)?分類突破

考點(diǎn)1證明“點(diǎn)共面”“線共面”“點(diǎn)共線”“線共點(diǎn)”

例I、（2025?福建龍巖?二模）如圖，在四棱錐P-A48中，PA_L平面A4CO,BCLCD,ABDC,

BC=CD=2,A3=4,M,N分別為尸8,PC的中點(diǎn).

⑴設(shè)P”=/IPO，且H，A,M.N四點(diǎn)共面，求實(shí)數(shù)義的值；

（2）若平面AMN和平面PCQ所成集的余弦值為半，求三棱錐C-AMN的體積.

例2、(2025?山西?二模)V/1AC中，AB=AC,ABJ.AC,BC=4,。是8C的中點(diǎn)，E是4B的中點(diǎn)，F(xiàn)

是8。的中點(diǎn).如圖，將△41'和46分別沿EF、A。向平面AQ莊的同側(cè)翻折至_例斯和4ADN的位置,

且僅得DN//MF.

/I____?________\

BFDCpD

(1)證明：A、E、例、N共面；

(2)若MN=？，求三楂錐A—O￡N的體積；

⑶求平面DEM與平面AEMN的夾角的余弦值的最大值.

【變式訓(xùn)練1】、(2025?廣東揭陽?二模)如圖，NABC,ADBC,c￡BC都是等邊三角形，點(diǎn)。，E分別

在平面48C的上方和下方，點(diǎn)。為BC中點(diǎn).

⑴求證：A,D,O,E四點(diǎn)共面;

(2)若4。=4A=，求直線OE與平面ACD所成角的正弦值的最大值.

【變式訓(xùn)練2】、（2025?廣東惠州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體A8CO-A8CQ中，M、七分

別是GA、4A的中點(diǎn)，尸是MC的中點(diǎn).

⑴判斷A、C、M、A四點(diǎn)是否共面（結(jié)論不要求證明）；

⑵證明：EF〃平面ABCD；

⑶求異面直線A3與EF所成角的余弦值.

考點(diǎn)2截面問題

例3、（2025?海南?模擬預(yù)測(cè)）已知正四面體棱長(zhǎng)為4,所有與它四個(gè)頂點(diǎn)距離相等的平面截這個(gè)四面體所

得的截面之和為（）

A.4B.4GC.12+4>/3D.16+4x/3

例4、（24-25高三下?甘肅白銀?階段練習(xí)）己知正方體A6Cr>-A6C7y的棱長(zhǎng)為2,平面口截正方體所得

的圖形為六邊形，設(shè)該六邊形的周長(zhǎng)為c，且則（）

A.c=3y/2B.C=6A/2C.ce13忘同D.ce[6,6夜]

【變式訓(xùn)練3】、（2025?安徽合肥?三模）在長(zhǎng)方體ABC。-AACQ中，BD=2AB=2.若

NABA+NACA+ZADAM],點(diǎn)M在長(zhǎng)方體內(nèi)且AM=&MC,則平面AOM截長(zhǎng)方體ABC。—ABCR的

截面面積為.

【變式訓(xùn)練4】、（2025?河北?模擬預(yù)測(cè)）在四面體A8CO中，AB=CD=2,AC=BD=6,AD=BC=非,

則該四面體的外接球的表面積為;￡,尸分別是4。，/3C的中點(diǎn)，若用一個(gè)與直線￡尸垂直且與四面體

的每個(gè)面都相交的平面]去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積的最大值為.

考點(diǎn)3異面直線的判定

例5（2025?山東濟(jì)南?三模）如圖，下列正方體中，M,N,P,。分別為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體

例6、（2023?上海?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在正方體ABC。-中，點(diǎn)夕為線段4c上的動(dòng)點(diǎn)，則下列

直線中，始終與育線?異面的是?（)

C.AQD.B?

【變式訓(xùn)練5】、在圖中，G,從分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線是異面

直線的圖形有（填上所有正確答案的序號(hào)）.

【變式訓(xùn)練6】、（2023?上海長(zhǎng)寧?一模）如圖，在三棱臺(tái)ABC-A4G的9條棱所在直線中，與直線是

異面直線的共有條.

考點(diǎn)4異面直線所成的角

例7、（2025高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知圓柱的軸截面/WCO為正方形，E為下底面圓弧A3的中點(diǎn)，點(diǎn)/在

上底面圓弧CO上且與石在軸截面同側(cè)，若CF=：CD,則異面直線AE與。尸所成角為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

例8、（2025?江蘇南京?三模）在直三楂柱"C-AMG中，所有校長(zhǎng)都相等，D,E,尸分別是極A8,BC,

86的中點(diǎn)，則異面直線。尸與CE所成角的余弦值是（）

A.叵M99

RD.--------------C.--D.—

1010101()

【變式訓(xùn)練7】、（多選題）如圖，在正方體A8CO-A&GA中，點(diǎn)七，F(xiàn),G,〃分別為棱AM，BC,

CD,8C的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

B.EF〃平面A4.G。

C.直線八月與C"是異面直線

D.過A,E,G三點(diǎn)的平面截正方體A3C。-A4GA所得的截面形狀為菱形

【變式訓(xùn)練8】、（2025?甘肅?模隊(duì)預(yù)測(cè)）（多選題）如圖，在直三棱柱A8C-Q￡F中,

A.ME1EC

4

B.三棱錐尸-MEC的體積為§

C.直線與八C所成角的余弦值為巫

5

D.三棱錐E-"C的外接球的表面積為4G冗

考點(diǎn)5平面的基本性質(zhì)

例9、（多選題）在底面半徑為1的圓柱中，過旋轉(zhuǎn)軸作圓柱的軸截面A8CZ）,其中母線48=2,E

是弧的中點(diǎn)，尸是A8的中點(diǎn)，則（）

A.AE=CF,AC與EF是共面直線

B.AE^CF,AC與后戶是共面直線

C.AE=C尸,AC與石尸是異面直線

D.AEHCF,AC與是異而直線

例10、（2025?江西新余?一模）如（多選題）圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-A4CQ中，M、N、P分

別是AR、CC、GR的中點(diǎn)，。是線段Q出上的動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則（）

A.四面體BCGP的外接球的表面積為94

B.存在點(diǎn)Q,使8、N、P、。四點(diǎn)共面

C.過Q且與BN垂直的平面截正方體ABCD-ABCR所得截面面積取值范圍為（0,2逐］

D.點(diǎn)”是四邊形朋8聲內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且直線P4與直線夾角為則點(diǎn)〃的軌跡長(zhǎng)度為§

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【變式訓(xùn)練9】、（2024?廣東惠州?模擬預(yù)測(cè)）（多選題）如圖，在長(zhǎng)方體A8CO-AqGA中，E,尸分

別為GR,BG的中點(diǎn)，。，M分別為8。，所的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

A.四點(diǎn)8,D,E,r在同一平面內(nèi)

B.三條直線8F,DE,CG有公共點(diǎn)

C.直線4。與直線。尸不是異面直線

D.直線上存在點(diǎn)N使M,N,。三點(diǎn)共線

【變式訓(xùn)練10】、（2024?陜西商洛?模擬預(yù)測(cè)）在空間中，下列命題是真命題的是（）

A.三條直線最多可確定1個(gè)平面B.三條直線最多可確定2個(gè)平面

C.三條直線最多可確定3個(gè)平面D.三條直線最多可確定4個(gè)平面

五、分層訓(xùn)練

基礎(chǔ)保分

1.（2023?陜西延安?一模）在通用技術(shù)課上，某小組將一個(gè)直三棱柱A8C-ABC展開，得到的平面圖如圖

所示.其中A3=4,AC=3,8c=4A=5,M是8片上的點(diǎn)，則在直三棱柱人5C-4用弓中，下列結(jié)論

A.A"與AG是異面直線

B.AC1.A.M

C.平面八四。將三棱柱截成一個(gè)五面體和一個(gè)四面體

D.AM+MC的最小值是2病

2.（24-25高三上?廣東?階段練習(xí)）如圖，在下列正方體中，分別為正方體的頂點(diǎn)或所在棱的中

3.（2024?陜西銅川?模擬預(yù)測(cè)）下列說法正確的是（）

A.若直線/,肛〃兩兩相交,則直線/，加旦共面

B.若直線/,機(jī)與平面。所成的角相等，則直線/,〃2互相平行

C.若平面。上有三個(gè)不共線的點(diǎn)到平面夕的距離相等，則平面。與平面夕平行

D.若不共面的4個(gè)點(diǎn)到平面〃的距離相等，則這樣的平面。有且只有7個(gè)

4.（2024?陜西寶雞?一模）在空間中，下列說法正確的是（）

A.若N4OA的兩邊分別與幺。用的兩邊平行，則/40圈二/八，陽

B.若二面角a-'，的兩個(gè)半平面a,夕分別垂直于二面角囚-/「口的兩個(gè)半平面四，加，則這兩個(gè)

二面角互補(bǔ)

C.若直線/_!_平面。，直線a_L/,則a/Az

D.到四面體A4C。的四個(gè)頂點(diǎn)A,B,C,。距離均相等的平面有且僅有7個(gè)

5.（2025?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在平行六面體ABCO-ABCQI中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為3的菱

形，/M,=4,NTMB=/AAB=NAAO=60,七,廠分別在線段B產(chǎn)和OQ上，且8七=工84，DF=-DD..

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（1）證明：A,E，G，F(xiàn)四點(diǎn)共面;

⑵求平面AEC/與平面AA。口夾角的余弦值.

6.（2025?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）在VA8C中，ZABC=90°,分別以邊A4和AC為一邊向外側(cè)作矩形A5O￡

和菱形3cFG（如圖1）,滿足BD=BG,再將其沿4及8C?折起使得8。與BG重合，連結(jié)EF（如圖2）

⑴判斷AC,F,E四點(diǎn)是否共面？并說明理由；

（2）在圖1中，BC=2AB=2,N8C產(chǎn)=150求證：平面AOr"L平面8CE.

⑶在圖1中，BC=2AB=2,ZfiCF=120°.求二面角4一8/一E的大小.

B綜合提升

7.（2025?北京石景山?一模）如圖，在校長(zhǎng)為2的正方體中，M,N,0分別是CC,,

GA的中點(diǎn)，Q是線段。隊(duì)上的動(dòng)點(diǎn)