清遠市2024—2025學(xué)年高二第二學(xué)期高中期末教學(xué)質(zhì)量檢測

數(shù)學(xué)試卷

注意事項：

1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.

2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡的相應(yīng)位置.

3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效.

4.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.

5.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1A；+A；=()

A.8B.13C.63D.66

【答案】I)

【詳解】A：+A；=5x4x3+3x2=66.

故選:D.

2.已知/(x)=2+l,則lim⑴的值為()

X-TOX

A.-1B.-2C.0D.2

【答案】B

【詳解】/'("二-所以lim以匕三匕他=:(1)=-2,

XAx->0aX

故選：B.

3.某活動室有足球和籃球，從中隨機挑選2個球，若這2個球中足球個數(shù)為X,且X的分布列如下表所

示，則〃=()

X012

7

P(X)7PP

15

47

ABC.—D.——

-1?-I1515

【答案】A

【詳解】由題意可知，7〃+得+〃=1,解得〃=上

故選:A.

4.某班級有42名學(xué)生，其中男生、女生的人數(shù)及是否喜愛籃球的人數(shù)如表所示，從這42名學(xué)生中隨機選擇

1人作為體育課代表，若選到的學(xué)生喜愛“籃球”，則該學(xué)生是女生的概率為（）

喜愛“籃球”不喜愛“籃球”合計

男生15722

女生101020

合計251742

325

A.-B.-C-ID.

5521

【答案】B

【詳解】記事件A:選到的學(xué)生喜愛“籃球”，事件3:選到的學(xué)生是女生,

〃(叫10_2

則M4)=25,〃（A8）=10,由條件概率公式可得-8|A）=

〃⑷25~5

故選：B.

5.如圖，要讓甩路從A處到3處只有一條支路接通，則不同的路徑有（）

A.5種B.6種C.7種D.9種

【答案】C

【詳解】由分類加法計數(shù)原理以及分步乘法計數(shù)原理可知,

不同的路徑有l(wèi)+2x3=7種.

故選：C.

6.已知X~8(5,0.6),若Y=2X+1,則石(丫)+￡>")=()

A.-1B.-2C.11.8D.2

【答案】C

【詳解】由題知，E(X)=5x0.6=3,0(X)=5x0.6x(1—0.6)=1.2,

又，=2X+1,所以E(y)=2E(X)+l=7,D(y)=22￡>(X)=4.8,

所以石(y)+D(y)=7+4.8=11.8

故選:C.

7.已知函數(shù)/(”=依2-2的圖象在點處的切線的傾斜角為：，則曲線y=/(x)在點

(1,/(1))處的切線的方程為()

A.2x+2y-5=0B.2x-2y-5=0

C.2x-2y+l=0D.2jv+2y+l=0

【答案】B

【詳解】r(x)=2or,

依題意/'(G)=2Ga=g,解得a二;，

17

所以〃X)=5X2_2,/，(X)=X,所以/⑴=—5⑴=1,

所以曲線y=/(x)在點處的切線的方程為y一(一|)二工一1,即2x—2)，-5二0,

故選:B.

8.已知數(shù)列：1,2,3,…,2025,從中任選三項組成一個新數(shù)列，則所有新數(shù)列中的最小項之和為()

A.3c2025B.3Go26c.6c2025D.6C；Q26

【答案】D

【詳解】山題知，任意三個不同項可組成A：=6個數(shù)列；

1-36

所以％+%+為=';^-=一364,故D正確.

故選:ACD.

10.在A民C三個地區(qū)暴發(fā)了流感，這三個地區(qū)分別有6%,5%,4%的人患了流感，假設(shè)這三個地區(qū)的人

口數(shù)之比為5:7:8,現(xiàn)從這三個地區(qū)中任意選取一個人，下列結(jié)論正確的是()

A.若此人選自8地區(qū)，則其患流感的概率為0.05

B.此人患流感的概率為0.0485

30

C.若此人患流感，則其選自A地區(qū)的概率為歹

34

D.若此人患流感，則其選自C地區(qū)的概率為二

97

【答案】ABC

517782

【詳解】設(shè)。二“此人患流感”，尸（4）=-------=_,p（0=--------=—,P（C）=

'75+7+84'5+7+820175+7+85

所以P（D|A）=0.06,P（D|3）=0.05,P（D|C）=0.04,故A正確;

I77

所以P（O）=P（A）P（O|A）+P（A）P（力I/?）+P（C）P（D|C）=-x0.06+—x0.05+-x0.04=0.0485,故B

205

正確；

則其選自A地區(qū)的概率為(用>0.06

若此人患流感，_30,故C正確；

"尸0.0485~97

-x（）（）4

若此人患流感，則其選自c地區(qū)的概率為尸(ci0)二5—32,故D錯誤,

10.0485一97

故選:ABC.

11.已知函數(shù)/(x)=x-lnx+a(awR),則下列說法正確的是()

A.若/(“有兩個零點，則cW—e

B.若g(，)=/(x)-/(2r),則g(x)無最值

3

C.當(dāng)〃=1時，方程/(x)=3hu+—有唯一實根

X

D.若存在飛w(0,+8),使得了(%))4。-a)x0+2,則OKI

【答案】BCD

1y_1

【詳解】對于A,函數(shù)/("的定義域為(0,+8),/("=1一—=—,

令r(x)vO，則0<x<l，令/'(x)>o,則x>l，

所以函數(shù)/(T)的單調(diào)減區(qū)間為(0,1),單調(diào)增區(qū)間為(1,+8),

即函數(shù)/(力的極小值為/(1)=1+。，

若函數(shù)/(X)有兩個零點，則4+1V0,解得。<一1,故A錯誤；

對于B,若g(x)=/(x)-/(2-x),對于函數(shù)g(x),有：,

解得0<x<2,即函數(shù)g(x)的定義域為(0,2),

由〃(力=1__1,則/(x)=r(i)_"(2_x)|'=2-p?+

XX2.—X\X2—XJ

22

=2---——-<2-----------=0

x(2-x)(x+2-^V?,

<2)

當(dāng)且僅當(dāng)尤=2-1(0<]<2)時，等號成立，

所以函數(shù)g'(x)在(0,2)上為減函數(shù)，函數(shù)g(x)無最值，故B正確；

33

對于C,當(dāng)〃=1時，方程/(x)=31nx+二，即x-lnx+1=31nx+—,

.lA

即上一2-4hu+l=0,令〃(x)=x-3-41nx+l,則/⑺=(「3),_

當(dāng)上〉3或0<1<1時，當(dāng)1cx<3時，/(x)<0,

所以〃(x)在(0,1)和(3,+8)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減,

即“(X)極大值=z/(l)=-l<0,〃(幻極小值=〃⑶=3-41n3(0,〃(金)=e‘一?一19)0,

所以〃(x)在(3,+3)上有一個零點，所以方程/(x)=31nx+3有唯一實根，故C正確;

九

/\/\/\2+lnv

對于D,若存在毛￡(0,+8),使得/(毛)W(l—4)Xo+2,則aK-j——n

令MX)=-----，則aK,

l+x

一一1nx-11]

又力，(箱二^________，令機(X)=_-1O￥_],Wlj//f(x)=--__<0,

I尸(1+x)2X2x

所以m（x）在（0,+e）上單調(diào)遞減，又以⑴=0,

所以〃（“在（0,1）上單調(diào)遞增，在（1,+8）上單調(diào)遞減，所以〃⑴皿=〃⑴=1,

即〃K1,故D正確,

故選：BCD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.某班女生的身高X（單位：cm）近似服從正態(tài)分布N（163、4）,從中隨機選取一人，則

P(163<X<165)?..（精確到0.0001,參考數(shù)據(jù)：若X?N.,吟,則

P(〃一bWXW〃+b卜0.6827,—2bWXW〃+2cr卜0.9545,

尸(〃一3crWXW〃+3b)=0.9973)

【答案】0.3dM

【洋解】由題知，4=163,。=2,則P（163MXW165卜竺用^0.3414.

故答案為：0.3414

13.某校安排4位老師在期末考試的3天值班，要求每人需要值班1天或2天，且每天有兩人值班，則不

同的值班方案有種.

【答案】90

【洋解】設(shè)4位老師分別為甲、乙、丙、丁,

由思知，這4人中恰有2人均值班2天，剩下2人均值班1天.

從4人中選2人均值班2天有C：=6種選法,

下面討論甲和乙均值班2天的情況:

若甲、乙兩人值班的日期都相同，有C；=3種不同的結(jié)果;

若甲、乙兩人值班的日期有一天相同，有C；A；A；=12種不同的結(jié)果,

所以不同的值班方案有6X（3+12）=90（種）.

故答案為：90

14.小李家共有10只信鴿，其中戴盔鴿有3只，李種鴿有〃（245且〃工4）只，其余的為藍鴿，且隨機

取出2只信鴿，其品種不相同的概率是現(xiàn)隨機取出2只信鴿，若取出1只籃鴿記10分，取出1只戴盔

鴿記20分，取出1只李種鴿記30分.用X表示取出的2只信鴿的分數(shù)之和，則X的數(shù)學(xué)期望為.

【答案】38

【詳解】設(shè)“任意取出2只信鴿，這兩只信鴿的品種相同”為事件A,

則p（m=C"C：+CL=6+"（〃-1）+（7-〃）（6-〃）=1_11=J.

'JC；o901515

整理得〃2一7〃+12=0，解得〃=3或〃=4（舍去），

所以李種鴿有3只，藍鴿有4只，

所以X的所有取值為20,30,40,50,60,

且P（X=20）=*=Z,0（X=30）=年=±,尸（X=40）=^^=」,

I1C；015I）C；o15I1C；。3

尸（X=50）=等=『（X=60）=g>q,

joJjo1J

所以E（X）=20X2+30X±+40X!+50X'+60XJ-=38.

'/15153515

故答案為:38

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.

15.在研究某類楊樹的樹高與胸徑（樹的主T?在地面以上1.3m處的直徑）之間的關(guān)系時?，某研究員收集的

一些數(shù)據(jù)如表1所示.

（1）由表1數(shù)據(jù)，求胸徑d與樹高力的平均值；（胸徑"精確到0.1cm,樹高力精確到0.1m）

（2）根據(jù)這些數(shù)據(jù)，可建立該類楊樹樹高（單位：m）關(guān)于胸徑d（單位：cm）的一元線性回歸模型

為力=0.251+4,用（1）中結(jié)果求力的值并估計胸徑為30cm的該類楊樹的樹高；（精確到0.1m）

（3）若這12棵楊樹樹齡相同，分別種植于南坡和北坡，且成材情況如表2所示，根據(jù)a=O.l的獨立性檢

驗，能否認為樹齡相同的這類楊樹是否成材與種植位置有關(guān)聯(lián)？

編號123456

胸徑/cm18.120.122.224.426.028.3

樹高/m18.819.221.021.022.122.1

編號789101112

胸徑/cm29.632.433.735.738.340.2

樹高/m22.422.623.024.323.924.7

表1

成材情況

種植位置合計

成材未成材

南坡516

北坡246

合計7512

表2

n(ad-be)2

參考公式及數(shù)據(jù)：z2=其中〃=〃+Z?+c+d.

(4+b)(C+c/)(4+C)e+d)'

a0.10.050.010.001

Xa2.7063.8416.63510.828

【答案】(1)29.lew;22.1m

(2)22.3m

(3)認為樹齡相同的這類楊樹是否成材與種植位置有關(guān)聯(lián)，理由見解析

【小問1詳解】

由題知,

-1

J=—x(18.1+20.1+22.2+24.4+26.0+28.3+29.6+32.4+33.7+35.7+38.3+40.2)

?29.1(cm),

友二《x(18.8+19.2+21.0+21O+22.1+22.1+22.4+22.6-23.0+24.3+23.9+24.7卜22.1(m).

【小問2詳解】

h=0.25J+a，

所以d=萬一0.257=22.1-0.25x29.1=l4.825，

所以方=0.251+14.825，

當(dāng)d=30時，/；=0.25x30+l4.825々22.3m，

即估計胸徑為30cm的該類楊樹的樹廟為22.3m.

【小問3詳解】

零假設(shè)為“o：樹齡相同的這類楊樹是否成材與種植位置無關(guān)聯(lián)，

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到z2=12x(5x4-2xl)2?3.086>2.706，

6x6x7x5

根據(jù)?=0.1的獨立性檢驗，我們推斷Ho不成立，

即認為樹齡相同的這類楊樹是否成材與種植位置有關(guān)聯(lián)，此推斷錯誤的概率不大于0.1.

16.如圖，在三棱錐A—BCD中，底面△AC。是等腰直角三角形，AO_L底面

3CD,AO=3C=CO=2,M是的中點，。是的中點，且4Q+3CQ=0.

(1)證明：PQ〃平面BCD；

(2)求直線8M與平面48C所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析

(2)也.

6

【小問1詳解】

在平面8C。內(nèi)，過點D作QE1BD，

由題知，BCLCD、BC=CD,

所以NCO3=45，

所以NCDE=45.

因為AO_L底面8C。，且區(qū)。,。石在平面8C。內(nèi),

所以AO_L8￡）,AOJ,OE,

所以。8,O￡,D4兩兩垂直，

以D為坐標(biāo)原點，分別以DE,D4所在直線為x軸、)，軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一書z如圖所示,

則0（0,0,0）,4（0,0,2）,4（2及,0,0）,。（血,血,0）,加（0,0,1）,

設(shè)2（。,Ac）,因AQ+3CQ=0，所以（。也。-2）=-3（。一五，〃一"c）=（3&-3。,312-3/?,-3c

35/2

a=-----

a=3y/2-3a4

?b=35/2-3b=<b=3近

4

c—2=—3cJ

c=-

2

所以小乎，乎工，所以地/邛，峪?！?

44244

易知平面5C力的一個法向量為加=(0,0,1),

所以PQ=0,所以PQJ./”,又因為PQO平面3CD.

所以P。〃平面3co.

【小問2詳解】

由(1)知,AB=(2>/2,0,-2),AC=(72,V2,-2),

設(shè)平面ABC法向量為〃=(x,),z),

AB-n=2\flx-2z=0,

則<

(AC-n=y/2x+y[2y-2z=^

令z=夜，得x=l,y=l,所以〃

設(shè)直線BM與平面A3C所成角為6,

又8M=(-2叵0,1),

BM〃_y[2_y[2

所以sin"cos(8M,〃一一c八,

'/BM-|n|3x26

所以直線BM與平面ABC所成角的正弦值為也.

6

9O

17.已知雙曲線G:T—方=1(〃>()。>())與橢圓。2工+匚1焦點相同，且離心率之比為3:1.

3616

(1)求雙曲線C1的方程：

(2)若直線/:1-町，+3=0與雙曲線G左、右兩支分別交于RQ兩點，記點p關(guān)于X軸的對稱點為P，

證明：直線P'Q過定點，并求出該定點的坐標(biāo).

【答案】(1)三一工二1

416

(2)證明見解析，定點的坐標(biāo)為(一3,。).

【小問1詳解】

/+/=36—16

a2+b2=20

由題知,，化簡得b2

=4

a=2

解得』

22

所以雙曲線G的方程為工一二二1.

416

【小問2詳解】

證明：設(shè)P（%,y）Q（蒼,％），則P（5f），

Z_￡=i

聯(lián)立;416'

x-ny-1-3=0,

消去工整理得（4〃2—1））,2_24ny+20=0,

24〃20

所以X+%=

4n2-l4n2-l

所以〃y%二焉（%+%），

又直線P'Q的斜率％=上」事

X、-X.

所以直線P'Q的方程為＞一）'2二三"（工一當(dāng)），

4-X]

由對稱性易知，若直線P'。過定點，則該定點在X軸上，

令、=0,得x=.+-f%「里+WX=（初一3）%+（%-3）凹=」

%+x%+y%+y3

所以直線p'。過定點，且該定點的坐標(biāo)為（-9,0.

18.甲、乙兩名操作員對A民。三種電子信息傳遞元件進行隨機連接檢測，并制定如下標(biāo)準(zhǔn)：第一次由A元

件將信息傳出，每次傳遞時，傳遞元件都等可能地將信息傳遞紿另外兩個元件中的任何一個，若第三次傳

遞后，信息在A元件中，則該組檢測成功，否則該組檢測失敗.若該組檢測成功，則由原操作員繼續(xù)操作下

一組檢測；反之，則由另一操作員按上述規(guī)則繼續(xù)操作下一組檢測.

（1）求一組隨機連接檢測成功的概率：

（2）若第1次從甲開始進行隨機連接檢測，記在前4次檢測中，乙操作的次數(shù)為X，求隨機變量X的分

布列與期望；

（3）若第1次從乙開始進行連接檢測，求第〃次由乙操作的概率匕.

【答案】（1）7

4

27

（2）分布列見解析，—

【小問1詳解】

由題知，三次傳遞所有的傳遞方法有：

A—>B—>A—>B,A—>B—>A—>C,A—>B—>C―>A,A―>B—>C—>B,

A—>C-》A—>B,A.—>C-》A,—>C,A—>C-?B-?A,A.—》C-?B->C,

則共有8種傳遞方法，

第三次傳遞后，信息在A元件中的有兩種情況，

所以第三次傳遞后，信息在A元件中的概率為尸=(2=；I,

即一組隨機連接檢測成功的概率為!：

4

【小問2詳解】

設(shè)在前4次檢測中，乙操作的次數(shù)為X，

依題意，X可取0J2,3,

所以P(X=0)=(；、31

=—，

64

33113311321

PD[/Xv=1n）=—x—x—+—x—x—+—x—x—=——

',44444444464

P（X=2）=—X—X—+—X—X—+—X—X—=——

44444444464

p（X=3）=-xlxl=—,

'744464

所以X的分布列為

X0123

121393

P

64646464

17139377

所以E（X）=0x—+lx—+2x」+3x，=」

',6464646416

【小問3詳解】

若第1次從乙開始進行連接檢測，則第〃次由乙操作有兩種情況：

(1)第〃—1次由乙操作，第〃次繼續(xù)由乙操作，其概率為々=；4i(〃N2)；

(2)第〃一1次由甲操作，第〃次由乙操作，

（\\33

其概率為以=1--=（〃之2）,

?（"44

13

所以勺=々+9=—］匕.#半〃22），

所以與_g=_g（1、

因為〃=1時，［=1，

所以數(shù)列｛2一；＞是以T為首項，為公比的等比數(shù)歹U,

ZJ2

11(1、”71(1\f,

所以勺—L=±X--,所以月二上一一上.

I2；

19.已知函數(shù)/(x)=6?ev--x3+3x(f/GR)的導(dǎo)函數(shù)為/"(3).

(1)當(dāng)4=0時，求“X)的極值;

~e在(2,+8)上不單調(diào)，求。的取值范圍;

(3)已知〃(外="上0+lnx,若/?(x)在定義域內(nèi)有三個不同的極值點對在工3,且滿足

求實數(shù)。的取值范圍.

e

【答案】(1)極小值為—26；極大值為2石.

(1、

(2)0,-.

\〉)

【小問1詳解】

當(dāng)〃=0H寸，/(x)=一一V+3x,

則、f'(x)=~X~+3=—^A*+V3—5/3j,

所以當(dāng)或時，r(x)v0,此時/(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)-V5vxv石時,r(x)＞。，此時/(“單調(diào)遞增，

所以當(dāng)工=一有時.，/(X)取得極小值，

且極小值為止=6-36=-2x/3；

當(dāng)上二途時，“X）取得極大值，

且極大值為/（G）=—6+3G=2j§.

由題可知g（x）=e'（奴”,

，:\X"一1V]一。cvC-(?+l)x+2-?,、

gX)=e-----+e------=eu-1)2("[)'

')x-\(x-1)2

設(shè)皿(x)=ox~-(a+l)x+2-a(a>0)，

注意到〃?(2)=a>0,要使g(x)在(