函數(shù)的周期性重點考點專題練

2026年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)備考

一、單選題

1.已知函數(shù))，=/(力是定義在R上奇函數(shù)，且滿足/(工+2)+/(力=。，當(dāng)2,0］時，

f(x)=-^-2x,則當(dāng)k目2024,2026］時，y=的最大值為()

A.-8B.-1C.1D.0

2.已知函數(shù)/⑴，g(x)的定義域均為R,/⑺為偶函數(shù)且/㈤+/(x+2)=3,g(.Y)+g(10-x)=2,

則M(i)+g(i)］=()

<=1

4547

A.21B.22C.—D.—

22

3.已知定義域為R的偶函數(shù)滿足/(2—x)寸'(x),當(dāng)0W1時，3(?=eJ,則方程/卜)=戰(zhàn)

在區(qū)間［-3,5］上所有解的和為()

A.8B.7C.6D.5

4.已知函數(shù)“可滿足/(x)+/(x+2)=/(x)/a+2),/(3)=3,M/(2025)=()

35

A.3B.-C.5D.-

22

5.設(shè)是定義在R上且周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)2W3時，/(x)=5-2x,則/，］=()

A.--B.--C.7D.工

2442

6.己知/(“在R上是周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)x?0,2)時，“力=2/,則”2019)等于()

A.-2B.2C.-98D.98

7.已知函數(shù)/6)滿足：/(x)+/(x+2)+/(x)/(x+2)=l,/(-1)=0,則下列說法正確的有()

A./(x)是周期函數(shù)

B./(2024)=0

C./(2+x)=/(2-x)

D./(x)圖象的一個對稱中心為(0,1)

8.已知定義在R上的函數(shù)〃工)滿足："1)=；，且/a+)，)+〃x—y)=2/(x)〃)，)，則下列結(jié)論

正確的是()

A./(O)=OB.的周期為4C./(2xT)關(guān)于x對稱D.人可在(0,+巧單

調(diào)遞減

9.己知函數(shù)/(x)(f(x)不恒為零)，其中/'5)為/("的導(dǎo)函數(shù)，對于任意的x,)*R,滿足

22

f(x+y)f(x-y)=f^)-f(y)t且/⑴=]J⑵=0,則()

A./(0)=1B./(x)是偶函數(shù)

C./'(X+1)關(guān)于點(1,0)對稱D.次/伏)=7

二、多選題

10.定義在R上的函數(shù)/0)滿足/(x+l)=-/(x),/(l)=n,則()

A./(H)=nB./(8)=7i

C./(99)+/(88)=0D.2為/(x)的一個周期

11.已知定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)g(x)滿足〃2+x)+g(-x)=l,則()

A./(力的圖象關(guān)于點(2,2)對稱B.””是以8為周期的周期函數(shù)

2024

C.g(x+8)=g(x)D.X/(44—2)=2025

12.已知函數(shù)/(K)的定義域為R,且/(l+x)+/(l-x)=2,曲線)，=/(x)的圖象關(guān)于直線x+y=o

對稱.若OWxcl時,/(x)=2v-l,則()

A.〃x)>x+七-2B.r(x)<x+2

'」ln2

C./(-^=log3-5/圖=血3+1

2D.

三、填空題

13.設(shè)/(幻超。)是定義在R上的兩個周期函數(shù),八幻的周期為4,g。)的周期為2,且八外是奇函

Jt(x+2),0<x<l

數(shù).當(dāng)xw(0,2]時，〃x)=Jl—(x_l)2,g(x)=[1?，其中女>0.若在區(qū)間(。，9]上，關(guān)于x

—,1<xW2

2

的方程/@)=g(x)有8個不同的實數(shù)根，則&的取值范圍是—.

14.已知定義域為R的函數(shù)/I㈤滿足/(x+l)+/(x—1)=3,且/(1)=7,則

/(2024)+/(2025)+/(2026)=.

15.函數(shù)/*)對任意XWR恒有/(x+2)=-7*)成立，且/(1)=2,則/(7)=.

16.已知/("的定義域為R,將/(A)的圖象繞原點旋轉(zhuǎn)180。后所得圖象與原圖象關(guān)于k軸對稱,

205

且“l(fā)-x)+/(3-x)=OJ(O)=Lg(x)=/(x)〃x-2),則2g(2i)=.

j■:

v2X￡/J

17.設(shè)/(x)是定義在R且周期為I的函數(shù)，在區(qū)間［0,1)上，f(x)=\'其中集合

［x,x^D

D={xx=F，〃eN”,,則方程/(x)-lgx=0的解的個數(shù)是

四、解答題

18.設(shè)函數(shù)/(x)是定義在尺上的偶函數(shù),且/(1+幻=/(1-幻對任意的xeR恒成立，且當(dāng)時,

/(?V)=X2.

(1)求證：/(X)是以2為周期的函數(shù)(不需要證明2是/。)的最小正周期)；

(2)對于整數(shù)攵，當(dāng)%>*1,24+1］時,求函數(shù)/(X)的解析式.

19.已知函數(shù)外”的定義域為R,且/("的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，設(shè)〃eN,若對于任意的x,

均有f(x)f(x+l)L/(x+w)=/(x)+/(x+l)+L+/(x+n)>0,則稱f(x)是”等和積函數(shù).

⑴若/(x)是I-等和積函數(shù)；

(i)證明：/Cv)>0；

(ii)證明：/(x+2)=/(x)；

⑵若/(x)是2-等和積函數(shù)，證明：函數(shù)y=/(x)-6在［0,2025)上至少有1350個零點.

i>(，)=[g6+g(9)]+[g(2)+g(8)]+[g(3)+g⑺]+[g(4：|+g(6)]+；[g(5)+g(5)]=2x4+l=9,

1=1z

故力削+晨3=￡/(，)+￡月(，)=虧+9=才.

f=l1=1/=!LZ

故選：c.

3.A

【分析】令雙”)=陶，由己知可得函數(shù)/(力與g。)的圖象在區(qū)間)3,5]上關(guān)于直線4=1對稱,

利用對稱性即可求解.

【詳解】解：因為函數(shù)/(力滿足〃2-力守(力,所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對稱，

又函數(shù)〃力為偶函數(shù),所以/(2-x)=/(x)=/(1r),

所以函數(shù)/(x)是周期為2的函數(shù)，

又9")=島的圖象也關(guān)于直線"=1對稱，

作出函數(shù)/(力與g(x)在區(qū)間卜3,5]上的圖象，如圖所示：

由圖可知，函數(shù)〃力與g*)的圖象在區(qū)間[-3,5]上有8個交點，且關(guān)于直線x=l對稱,

所以方程/3=占在區(qū)間[T5]上所有解的和為4x2x1=8,

故選:A.

4.B

【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-l,通過其周期性,確定/(工)的周期性，即可求解.

【詳解】/(.r)+/(x+2)=/(.r)/(.r+2)

可得：f(x)f(x+2)-f(x)-f(x+2)+l=}t

即[/("—1][/(X+2)-1]=1,

令g(x)=/(x)-l，

則g(x+2)=志，

可得g(.+4)=g(x+2)=g(M，

所以g(x)=〃力-1是以4為周期的函數(shù),

所以/(x)也是以4為周期的函數(shù)，

所以〃2025)=/(506x4+l)=/⑴,

令可得:/(1)+/(3)=/(1)/(3),

結(jié)合/(3)=3,可得〃])《，

所以“2025)=1.

故選：B

5.A

【分析】根據(jù)周期性和奇偶性把待求自變量轉(zhuǎn)化為⑵引的范用中求解.

【詳解】由題知/*)=/(-x),/(x+2)=f(x)對一切」￡R成立,

3311111

=5-2x-=--.

44442

故選：A

6.A

【分析】利用函數(shù)的周期性得〃2019)=/(T),再利用奇函數(shù)的性質(zhì)及條件,即可求出結(jié)果.

【詳解】因為/(力是4為周期的周期函數(shù)

所以〃2019)=/(4x505-1)=/(-1),

因為〃力在R上是奇函數(shù),?/(2019)=/(-1)=-/(1)?

又因為當(dāng)x?0,2)時，/(A)=2X2,則〃2019)=-/(1)=一2

故選：A.

7.A

0,X€{42-1|攵€z}

【分析詵證明/(x+4)=/(x)得到A正確;再給出.f(x)=」,xw{4八1|丘Z}作為反例說明B,

>!2-\,x^{2k-\\keZ}

C,D錯誤.

【詳解】對于A,由于(/(x)+"/a+2)+l)=l+/(x)+〃x+2)+/(x)/(x+2)=l+l=2,故

(仆)+“山+2)+1)=2.

從而(〃x+2)+l)(/(x+4)+l)=2,這就得到(/。+2)+1乂/(工+4)+1)=(/。)+1)(/(工+2)+1)工0,

所以〃X+4)+1=/(K)+1,即〃X+4)=/(X).

所以“可是周期函數(shù)，故A正確；

0,JG{4A:-1|A:GZ)

對于B,C,D,取〃x)=?l,xc{4A+l|AcZ},則/(x)滿足條件，但“2024)=應(yīng)-1,

/(2-1)=/(1)=1^0=/(3)=/(2+1),同時由于〃-1)=0,/⑴=1,從而(TO)關(guān)于(0.1)的對稱

點(1,2)并不在函數(shù)圖象上，故B,C,D錯誤；

故選:A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于對條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變形.

8.C

【分析】由余弦函數(shù)的和、差角公式結(jié)合題目條件，可設(shè)“x)=cosah先求出“，再對選項進(jìn)行逐

一驗證即可得出答案.

【詳解】由cos(a+//)=cosacos#-sinasin/?,cos(a-//)=cosorcos/?+sin?sinp

nJ^cos(a+//)4-cos(ar-/7)=2cosQ,cos/?,可設(shè)/(x)=cosav

由=g|Jcosa=1,則可取〃=即/M=cos[?x)進(jìn)行驗證.

選項A：/(0)=1,故選項A不正確.

選項B：由fOcos(。，，則其最小正周期為,一三一6,故選項B不正確.

選項D：由于為周期函數(shù)，則在(。,+8)不可能為單調(diào)函數(shù).故選項D不正確.

選項C：〃2x-l)=cos管V),又D=cos0=l,故此時r=g為其一條對稱軸.

此時選項C正確，

故選：C

9.D

【分析】借助賦值法令x=y=0,即可得A；結(jié)合賦值法與函數(shù)奇偶性的定義計算可得B；結(jié)合復(fù)合

函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式與對稱性可得C；借助賦值法，可逐項計算出F(-1)到7(8),即可得解.

【詳解】對A：令x=y=0,有“0)/(0)=尸(0)-尸(0)=0,故"0)=0,故A錯誤;

對B：令x=u,有Hy)/(-y)=尸⑼一尸(回=一尸(必又/(%)不恒為零，

故/(-)，)=-/3,即f(r)f(%)，又xwR，故/(x)是奇函數(shù)，故B錯誤;

x=\+t,、

對C：令,=>/-(I+r)-/2(l-z)=/(2)/(20=0,

y=\-t

=>f2(\+x)=f2(\-x)=>f\x)=f2a-x)=>f(x)=±f(2-x),

令％=2=>f(2+y)f(2-y)=-f2(y)=>f(2+x)f(2-x)=-0㈤,

當(dāng)f(x)=/(2-x)W0時,有八2+幻=-f(x),

Af(2+x)+/(2-x)=-/(x)+/(x)=0；

當(dāng)/3=_/(2T)NO,有/(2+x)=/(x),

/(2+x)+f(2-x)=f(x)-f(x)=0,

當(dāng)/(x)=/(2-x)=0,結(jié)合/(一幻=—/(x),有/(:r)=—/(2-幻，

:.f(x)=-f(2+x)=0t

.-./(2+x)+/(2-x)=0,

綜上，/(2+A)+/(2-X)=0,.■./,(24-X)=/,(2-X),

??./'*)關(guān)于直線x=2對稱，

所以/(r+1)關(guān)于直線x=l對稱，故C錯誤；

對D：由/(T)=-/(%),故/(T)=-/(1)=T，

令丁=2,有〃x+2)/(x-2)=/2(幻_尸(2)=尸(力，

即/。)=〃x+2)/(x—2),則尸(4)=〃6)/⑵=0,即"4)=0,

/2(6)=/(8)/(4)=0,即/⑹=0,/2(8)=/(10)/(4)=0,即"8)=0,

令尸有〃21-1)〃1)=/(力_尸(.]),

BP/(2X-1)=/2(A-)-/2(X-1),則〃3)=尸⑵42⑴=OT=T,

/(5)=/2(3)-/2(2)=1-0=1,/(7)=/2(4)-/2(3)=0-1=-1,

8

teE/W=-l+0+l+0-l+0+l+0-l+0=-l,故D正確.

A=-l

故選：D.

【點睛】關(guān)鍵點點睛;D選項中，關(guān)鍵點在于令y=2可得/2(*)=/(*+2)/于-2),結(jié)合/(2)=0,

可得x為偶數(shù)時,/W=o.

10.ACD

【分析】根據(jù)給定條件求得函數(shù)/。)的周期，再逐項分析判斷.

【詳解】對于D,由/(x+D=—/*),得/(x+2)-1)=/(%),則2為/*)的一個周期，D正

確；

對于A,/(H)=/(1)=7i,A正確；

對于B,/(8)=/(O)=-/(D=-7r,B錯誤；

對于C,/(99)+/(88)=/(I)+/(O)=0,C正確.

故選：ACD

11.BC

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性以及表達(dá)式〃2+x)+g(T)=l,可得〃2+力+/(2-*)=2,則f(x)的圖

象關(guān)于點(2,1)對稱，故A錯誤;化簡〃2+力+/(2-力=2可得〃8+x)=/(x),故B正確;又

2024

g(x)=/(2+x)-1,可得力(8+K)=g(K),故C正確；利用賦值法可求得￡/(4&2)=2024,故D

k=\

錯誤.

【詳解】對于A,由題意I(T)=F(X),g(T)=-g(x),且g(0)=0,

又/(2+x)+g(r)=l,即/(2+x)-g(x)=l①，

用t替換〃2+x)+g(r)=l中的x,得/(2—x)+g(x)=l②，

由①+②得〃2+x)+/(2-力=2,所以/("的圖象關(guān)于點(2,1)對稱，故A錯誤;

對于B,由〃2+x)+/(2—x)=2,可得〃4+%)+〃T)=2,即〃4+X)=2—/(T)=2—/(X),

所以/(8+力=2-〃4+x)=2-[2-/(切=/(刈，

所以外力是以8為周期的周期函數(shù)，故B正確；

對于C,由①可得g(H)=/(2+工)-1,貝Ug(x+8)=/(2+x+8)-l=/(2+x)-l=g(x),

所以g(x+8)=g(x),故C正確;

對于D,因為f(4+x)+/(r)=2,f(x)為偶函數(shù),所以/(4+x)+/(x)=2,

令x=2,則有/(6)+/(2)=2,

令x=10,則有/(14)+/(10)=2,

令工=18,則有〃22)+〃18)=2,

令x=8090,則有/(8094)+/(8090)=2,

2024

所以￡〃秋-2)=〃2)+/(6)+/(10)+〃14)+〃18)+/(22)+-一+〃8090)+〃8094)

hl

=2+2+*.+2=2x1012=2024,故口錯誤.

1012

故選：BC.

12.ABD

【分析】由題可知函數(shù)關(guān)于點(1』)對稱，又函數(shù)關(guān)于直線x+y=o對稱可得函數(shù)也關(guān)于對稱,

即/(-2+6+/(—)=-2,進(jìn)而可得/(x+4)=/(匯)+4呈周期遞增，再根據(jù)已知部分解析式得到

-2,2］的圖像，根據(jù)圖像求切線可確定AB選項，然后根據(jù)周期變化可求函數(shù)值判斷CD選項.

【詳解】???/(I+X)+/(1T)=2,即42+X)+/(T)=2.,J(X)關(guān)于點(1,1)對稱,/(1)=1,又曲線

)，=/("的圖象關(guān)于直線x+尸。對稱，所以/(力也關(guān)于點(-11)對稱，即/(-2+司+/(-6=-2結(jié)

合/(2+x)+/(r)=2可得〃2+到一〃-2+力=4,即〃%+4)=/(小4,所以函數(shù)/(%)呈周期性

變化，

又曲線)=/("的圖象關(guān)于直線x+)=。對稱，0。力時，/'(力=2'-1,則TWxWO時，

/(x)=-log2(l-x),X/(l+x)+/(l-x)=2,

l<x<2M,則0M2—XW1,/(^)=2-/(2-%)=2-(22-'-1)=3-22-\

又關(guān)于直線x+)，=0對稱，—1時，/(x)=log2(3+x)-2,

根據(jù)圖像可知函數(shù)/(“在兩條斜率為1的直線之間，設(shè)下面一條宜線方程為：y=x+c?與)，=2，-1相

切，#2/2—心切點為k°g”2喘

此時切線方程為：y=x+log2b2+「；—l,乂因為Tlog21n2>-1,所以

1m2

/(x)>x+log2In2+-j-^-l>x+-j-^--2,故A正確；

通過對稱可得/(%)<1-專+2,故B正確；

由〃x+4)=/(x)+4,所以/［一：)=/(3)-4=忘一5,故C錯誤；

-￡)=2,.?./f|^=2-/|^-il=2+log2|=l+log23,故D正確;

故選：ABD.

【分析】分別考查函數(shù)/(力和函數(shù)g(x)圖像的性質(zhì)，考查臨界條件確定k的取值范圍即可.

【詳解】當(dāng)xe(0,2］時，/(x)=^-(x-l)2,BP(x-1)2+/=1,y0.

又/(x)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點對稱，其周期為4,如圖，函數(shù)與g(x)的圖象，要使/1x)=g(x)

在(0,9］上有8個實根，只需二者圖象有8個交點即可.

當(dāng)g(x)=Z(x+2)時，g(x)的圖象為恒過點(-2,0)的直線，只需函數(shù)與g(x)的圖象有6個交點.

當(dāng)"V)與g(x)圖象相切時，國心(1,0)到直線依一)，+2左=0的距離為1,即巧駕=1，得上=立，

J1+K4

函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有3個交點；當(dāng)g(x)=心+2)過點(L1)時，函數(shù)/(x)與g(x)的圖象有6個交

點，此時1=33得-=；.

-i

綜上可知，滿足/(x)=g(x)在(0,9］上有8個實根的左的取值范圍為三寧.

-/

【點睛】本題考點為參數(shù)的取值范圍，側(cè)重函數(shù)方程的多個實根，難度較大.不能正確畫出函數(shù)圖象

的交點而致誤，根據(jù)函數(shù)的周期性平移圖象，找出兩個函數(shù)圖象相切或相交的臨界交點個數(shù)，從而確

定參數(shù)的取值范圍.

14.2

【分析】由迭代法可得函數(shù)的周期性，利用賦值法，口J得答案.

【詳解】由"x+l)+/(x—l)=3,令工+1代替x,可得“x+2)=3—/(x),

則/(x+4)=3-/(x+2)=f(R),可得了(2025)=4(1+506X4)=/⑴=T,

由/(x+l)+/(x-l)=3,令x=2025,貝iJ/(2026)+/(2024)=3,

所以〃2024)+〃2025)+/(2026)=2.

故答案為：2.

15.-2

【分析】根據(jù)所給關(guān)系式，求出函數(shù)周期，利用周期及性質(zhì)可得解.

【詳解】因為解x+2)=-/(x),

所以/(X+4)=-/(X+2)=/(X),

即函數(shù)的周期為7=4,

所以/(7)=/(3)=/(I+2)=-/(I)=-2.

故答案為：-2

16,-2025

【分析】由題意可得函數(shù)/。)為偶函數(shù)，利用賦值法可得/(2)=-1,可求得了(x+4)=/(x),進(jìn)而可

2025

得以2,)=/⑵)/⑵+2),可得/(2i)J⑵+2)符號相反，⑵)|=|/⑵+2)|=1,可求⑵).

/=!

【詳解】因為將/(X)的圖象繞原點旋轉(zhuǎn)180。后所得圖象與原圖象關(guān)于X軸對稱，

所以函數(shù)/*)為偶函數(shù)，即/(一防=所以，

由/(I一幻+/(3-幻=0,令x=l,可得1(0)+/(2)=0,

所以八2)=一/(())=一1，令x=0,可得/⑴+/(3)=(),

又/(D+/(3r)=0,可得/(3T)=一/(D,所以=

所以fM=-f(x+2),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

所以/“)是周期為4的周期函數(shù)，

所以g(x)=f(x)f(x-2)=/(x)/(x+2),

所以g(2i)=f(2i)f(2i4-2)=f(2i)f(2i-2),

因為/(0)=l,/(2)=-l,所以/(4)=1,/(6)=-l,

因為函數(shù)的周期為4,所以函數(shù)的(2i+2)符號相反,且|〃2i)|=|f⑵+2)|=1,

2025

所以g⑵)=7,所以fg(2i)=—2025.

r=!

故答案為：-2025.

17.8

【詳解】由于/(用工01),則需考慮14XV10的情況,

在此范圍內(nèi)，XWQ且時，設(shè)工=里,p,qwN',〃N2,且〃，夕互質(zhì)，

P

若lg』e。,則由lgxe(O,l),可設(shè)lgx='，肛〃wN*,用12,且血〃互質(zhì)，

m

因此1()2=幺，則10"=(g)\此時左邊為整數(shù)，右邊為非整數(shù)，矛盾，因此IgA^Q,

PP

因此Igx不可能與每個周期內(nèi)xe。對?應(yīng)的部分相等，

只需考慮Igx與每個周期工促。的部分的交點，

畫出函數(shù)圖象，圖中交點除外(L0)其他交點橫坐標(biāo)均為無理數(shù)，屬于每個周期x旺。的部分,

且X=1處(1gX)1=1=—<1,則在X=1附近僅有一個交點，

xlnlOIn10

因此方程/。)-lgx=O的解的個數(shù)為8.

點睛:對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、

草圖確定其中參數(shù)范圍.從圖象的最高點、最低點，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對稱性，

分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等.

18.(I)證明見解析;(2)/(.r)=(x-2k)\xe[2k-\,2k+\](kGZ).

【分析】⑴通過證明/(x+2)=/(x)成立得解：⑵先求解xe[Tl]時，八刈=/,再通過周期

為2得fix-2k)=/(A)可求解當(dāng)xe【2女一1,24+1]時函數(shù)f(x)的解析式

【詳解】解：(I)因為/*+2)=/[(x+l)+l]=/[l—(x+l)]=/(—x)=/(x),

所以：是以2為周期的函數(shù)；

(2)???當(dāng)工￡。1]時，/*)=/,函數(shù)〃幻是定義在葉上的偶函數(shù)

當(dāng)xe[-1,0]時，,f(x)=F,

Axe[-1,1]01,/(x)=x2,

???/*)是以2為周期的函數(shù)，BPf(x-2k)=f(x)f(keZ)

設(shè)％e[2I,2次+1],則

?.f(x-2k)=(x-2k)2,

BP/(x)=(x-2k)2,xe12k-1,2/:+l](kGZ).

19.(1)(i)證明見詳解；(ii)證明見詳解；

⑵證明見詳解.

【分析】⑴(i)由/(“是1一等和積函數(shù)，得/(x)/(x+l)=/(x)+/(x+l)>0,即可判斷；

(ii)由⑴代換可得/(x+lj/(x+2)=/(x+l)+/(x+2