2025年高二物理下學(xué)期臨界與極值問題挑戰(zhàn)題一、力學(xué)臨界問題專項(xiàng)訓(xùn)練（一）彈力突變模型例題1：質(zhì)量為m的小球用兩根輕繩懸掛于天花板，繩1水平，繩2與豎直方向夾角θ=37°?，F(xiàn)緩慢剪斷繩1，求剪斷瞬間繩2的拉力變化量。（g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）解析：剪斷前小球受力平衡，繩2拉力T?=mg/cosθ=1.25mg；剪斷瞬間繩2拉力突變，此時(shí)小球做圓周運(yùn)動(dòng)，向心力由T?'-mgcosθ提供，而剪斷瞬間速度為0，故T?'=mgcosθ=0.8mg，變化量ΔT=1.25mg-0.8mg=0.45mg。（二）摩擦力臨界問題例題2：傾角為30°的斜面體上靜置質(zhì)量M=2kg的木塊，木塊與斜面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=√3/3?，F(xiàn)對(duì)木塊施加水平向右的力F，求木塊剛要滑動(dòng)時(shí)F的大小。（g=10m/s2）臨界條件：靜摩擦力達(dá)到最大值f?=μN(yùn)。受力分析：沿斜面方向Fcos30°=Mgsin30°+f?，垂直斜面方向N=Mgcos30°+Fsin30°，聯(lián)立解得F=20N。二、電磁學(xué)極值問題綜合應(yīng)用（一）帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)例題3：如圖所示，真空中直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，第一象限存在電場(chǎng)強(qiáng)度E=10N/C的勻強(qiáng)電場(chǎng)（沿y軸正方向）和磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)（垂直紙面向外）。質(zhì)量m=1×10??kg、電荷量q=5×10??C的帶正電粒子從原點(diǎn)O以速度v?沿x軸正方向射入，求粒子能到達(dá)的最大x坐標(biāo)。解析：粒子受電場(chǎng)力F=qE=0.005N，洛倫茲力f=qvB，當(dāng)f=F時(shí)粒子速度達(dá)到極值v=F/(qB)=5m/s，此時(shí)粒子沿x軸做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=m/(qB)=0.1s，最大x坐標(biāo)x=v?t+(v?+v)t/2（需結(jié)合動(dòng)量定理推導(dǎo)加速度變化）。（二）電磁感應(yīng)中的動(dòng)態(tài)極值例題4：邊長(zhǎng)L=0.5m的正方形線框質(zhì)量m=0.1kg，電阻R=0.5Ω，從距磁場(chǎng)邊界h=0.8m處自由下落（磁場(chǎng)方向垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.4T）。求線框進(jìn)入磁場(chǎng)過程中的最小速度。能量關(guān)系：重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和焦耳熱，當(dāng)安培力等于重力時(shí)速度最小，即mg=BIL=B2L2v/R，解得v=mgR/B2L2=0.1×10×0.5/(0.42×0.52)=12.5m/s。三、熱學(xué)與近代物理極值問題拓展（一）氣體狀態(tài)方程中的臨界體積例題5：容積為2L的絕熱氣缸內(nèi)封閉1mol理想氣體，初始溫度27℃，壓強(qiáng)1atm?，F(xiàn)用活塞緩慢壓縮氣體，求氣體溫度達(dá)到127℃時(shí)的最小體積。（普適氣體常量R=8.31J/(mol·K)）解析：絕熱過程滿足PV?=常量（γ=5/3），初始狀態(tài)P?=1atm=1.013×10?Pa，T?=300K，T?=400K，由P?V?/T?=P?V?/T?及P?V??=P?V??聯(lián)立，解得V?=0.68L。（二）光電效應(yīng)截止頻率計(jì)算例題6：用波長(zhǎng)400nm的紫光照射銫金屬表面，逸出光電子最大初動(dòng)能為0.9eV，求銫的截止頻率ν?。（普朗克常量h=6.63×10?3?J·s，1eV=1.6×10?1?J）解析：由愛因斯坦光電效應(yīng)方程E?=hν-W?，其中ν=c/λ=7.5×101?Hz，W?=hν?，代入數(shù)據(jù)解得ν?=5.5×101?Hz。四、多學(xué)科交叉臨界問題（一）力學(xué)與電磁學(xué)綜合例題7：質(zhì)量m=0.5kg的金屬棒ab垂直放在間距L=1m的光滑導(dǎo)軌上，導(dǎo)軌平面與水平面夾角θ=30°，所在空間有垂直導(dǎo)軌平面向上的磁場(chǎng)B=0.5T。電源電動(dòng)勢(shì)E=6V，內(nèi)阻r=1Ω，定值電阻R=5Ω。求金屬棒靜止時(shí)滑動(dòng)變阻器接入電路的最小阻值。平衡條件：安培力F=BIL=mgsinθ，電路中I=E/(R+r+R?)，解得R?=6Ω。（二）振動(dòng)與波的極值問題例題8：一列簡(jiǎn)諧橫波沿x軸傳播，波速v=20m/s，t=0時(shí)刻波形如圖所示。坐標(biāo)x=10m處質(zhì)點(diǎn)P從平衡位置開始振動(dòng)，求經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間P點(diǎn)第三次到達(dá)波峰？解析：由波形圖知波長(zhǎng)λ=8m，周期T=λ/v=0.4s，P點(diǎn)起振方向向上，第三次波峰到達(dá)時(shí)間t=3T+(10m-λ)/v=1.4s。五、數(shù)學(xué)方法在極值問題中的應(yīng)用（一）三角函數(shù)求極值例題9：物體在恒力F作用下沿斜面向上運(yùn)動(dòng)，力F與斜面夾角α可變，斜面傾角θ=30°，動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，求使物體加速度最大時(shí)的α角。函數(shù)關(guān)系：a=[F(cosα+μsinα)-mg(sinθ+μcosθ)]/m，令cosα+μsinα=√(1+μ2)sin(α+φ)，當(dāng)α+φ=90°時(shí)取最大值，解得α=arctan(1/μ)-θ≈68.2°-30°=38.2°。（二）二次函數(shù)極值例題10：電源電動(dòng)勢(shì)E=12V，內(nèi)阻r=2Ω，與可變電阻R串聯(lián)，求R消耗功率的最大值。功率表達(dá)式：P=I2R=E2R/(R+r)2，對(duì)R求導(dǎo)得P'=E2(r-R)/(R+r)3，當(dāng)R=r=2Ω時(shí)P?=E2/(4r)=18W。六、挑戰(zhàn)題組（附詳細(xì)解答）（一）力學(xué)綜合題題目：質(zhì)量M=4kg的木板靜止在光滑水平面上，木板右端固定輕質(zhì)彈簧，彈簧原長(zhǎng)l?=0.5m，勁度系數(shù)k=200N/m。質(zhì)量m=1kg的滑塊以v?=5m/s的速度滑上木板左端，滑塊與木板間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，求彈簧的最大壓縮量。（g=10m/s2）解答：當(dāng)滑塊與木板共速時(shí)彈簧壓縮量最大，由動(dòng)量守恒mv?=(M+m)v，能量守恒μmg(l?+x)=?mv?2-?(M+m)v2-?kx2，解得x=0.2m。（二）電磁學(xué)壓軸題題目：半徑R=0.5m的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T。質(zhì)量m=1×10??kg、電荷量q=2×10??C的帶負(fù)電粒子從圓周上A點(diǎn)以速度v沿半徑方向射入磁場(chǎng)，粒子重力不計(jì)，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間的最大值。解析：粒子運(yùn)動(dòng)半徑r=mv/(qB)，當(dāng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角最大時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)，此時(shí)r最小，由幾何關(guān)系r≤Rtan(θ/2)，當(dāng)r→0時(shí)θ→180°，t?=πm/(qB)=1.57×10??s。七、解題策略總結(jié)臨界條件識(shí)別：靜摩擦力達(dá)最大、彈力突變、速度方向