4.1數(shù)列的概念人教A版2019選擇性必修第二冊

第2課時

遞推公式學習目標一二三學習目標了解數(shù)列的遞推公式,能通過遞推公式求項，培養(yǎng)數(shù)學運算的核心素養(yǎng)理解數(shù)列的前n項和公式，理解前n項和公式與通項公式的關(guān)系根據(jù)數(shù)列的通項公式，研究數(shù)列的函數(shù)特征.新課導入[例3]如果數(shù)列的通項公式為，那么120是不是這個數(shù)列的項？如果是，是第幾項？解：反思

結(jié)合上節(jié)課所學內(nèi)容及本例題的解答，你覺得通項公式的作用有哪些？1.通項公式能夠很清楚的表示數(shù)列中序號和項的關(guān)系;2.由通項公式可以求出數(shù)列中的每一項；3.檢驗某數(shù)是否是該數(shù)列中的一項.問題1

做為特殊的函數(shù)的數(shù)列，還有沒有其它特別的表達方式？1202年，意大利數(shù)學家斐波那契出版了他的《算盤全書》.他在書中收錄了一些有意思的問題，其中有一個關(guān)于兔子繁殖的問題：如果1對兔子每月能生1對小兔子(一雄一雌)，而每1對小兔子在它出生后的第3個月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，由1對初生的小兔子開始，50個月后會有多少對兔子？在第1個月時，只有1對小兔子，過了1個月，那對兔子成熟了，在第3個月時便生下1對小兔子，這時有2對兔子.再過1個月，成熟的兔子再生1對小兔子，而另1對小兔子長大，有3對兔子.如此推算下去，我們可以得到一個表格：新知探究由此可知，從第1個月開始，每月末的兔子總對數(shù)是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，….

知道數(shù)列的前兩項，就能求出該數(shù)列的每一項了。斐波那契數(shù)列新知探究新知探究[例4]

圖中的一系列三角形圖案稱為謝爾賓斯基三角形.在圖中4個大三角形中,著色的三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項,寫出這個數(shù)列的一個通項公式.著色的三角形個數(shù):13927思考

換個角度你能用數(shù)學語言歸納出后一項與前一項的關(guān)系嗎？

當不能明顯看出數(shù)列的項的取值規(guī)律時,可以嘗試通過運算去尋找規(guī)律,如依次取出數(shù)列的某一項,減去或除以它的前一項,再對差或商加以觀察.×3×3×3a1=1a2=3a1a3=3a2a4=3a3從第二項起，后一項是前一項的3倍3an-1(n≥2)1(n=1)an=猜想數(shù)列的遞推公式注意事項：（1）遞推公式通常需要初始條件（如a1和a2)才能唯一確定數(shù)列。數(shù)列的遞推公式概念生成

知道了首項或前幾項，以及遞推公式，就能求出數(shù)列的每一項了.

如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式.（2）明確遞推公式適用范圍，避免超出范圍使用。如斐波那契數(shù)列，遞推公式為Fn=Fn-1+Fn-2,初始條件為F1=1,F2=1,適用范圍為n≥3，第1項第2項由初始條件直接給出，遞推公式只能從第3項開始使用。問題2

一個數(shù)列的通項公式與遞推公式有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？通項公式遞推公式區(qū)別聯(lián)系表示an與n之間的關(guān)系表示an與它的前一項an-1

(或前幾項)之間的關(guān)系(1)都是表示數(shù)列的一種方法；(2)對于一些數(shù)列遞推公式和通項公式可以相互推導。

比較辨析典例分析

[例5]

已知數(shù)列{an}的首項為a1=1,遞推公式為寫出這個數(shù)列的前5項.答案

C鞏固練習新課講授在對數(shù)列的研究中，求數(shù)列某些項的和是主要問題之一.問題3

什么是數(shù)列的前n項和？數(shù)列的前n項和

我們把數(shù)列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數(shù)列{an}的前n項和，記作Sn,，即Sn=a1+a2+...+an

如果數(shù)列{an}的前n項和Sn與它的序號n之間的對應關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的前n項和公式.數(shù)列的前n項和新課講授問題4

數(shù)列的前n項和公式與數(shù)列的通項公式有什么關(guān)系呢？當n≥2時，當n=1時，Sn與an的關(guān)系式（n≥2）典例解析[例]已知數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn

=n2+n，你能求出{an}的通項公式嗎？解：當n=1時，a1=2×1=2依然成立.當n=1時，當n≥2時，綜上所述，{an}的通項公式是an

=2n

.消和法求通項公式典例解析[變式]已知數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn

=2n2－n＋1，求{an}的通項公式.解：（1）當n≥2時，

故數(shù)列{an}的通項公式為當n=

1時，不符合上式強調(diào)：(1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn,求an,一般使用公式an=Sn-Sn-1(n≥2),但必須注意它成立的條件(n≥2且n∈N*).(2)由Sn-Sn-1求得的an,若當n=1時,a1的值不等于S1的值,則數(shù)列的通項公式應采用分段表示。鞏固練習教材P81.根據(jù)下面的圖形及相應的點數(shù)，寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式，并在橫線上和括號中分別填上第5項的圖形和點數(shù).211335鞏固練習教材P81.根據(jù)下面的圖形及相應的點數(shù)，寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式，并在橫線上和括號中分別填上第5項的圖形和點數(shù).211335遞推公式鞏固練習教材P82.根據(jù)下列條件,寫出數(shù)列{an}的前5項:試猜想它們的通項公式鞏固練習教材P8鞏固練習教材P8課堂小結(jié)這節(jié)課的收獲有哪些？1.遞推公式：（1）初始值；（2）遞推關(guān)系式作業(yè)布置：基礎(chǔ)性作業(yè)：教材P8-P9習題4.1第2(3)(4)題,第3，4,5題拓展性作業(yè)：寫出一個數(shù)列的前n項和公式，并求其通項公式由遞推公式求通項公式——累加法、累乘法能力提升《學習筆記》P6

例

3√累加法求通項公式《學習筆記》P6能力提升

跟蹤訓練

3累加法求通項公式

《學習筆記》P6鞏固練習

跟蹤訓練

3

鞏固練習累加法求通項公式

√例

3累乘法求通項公式能力提升

√

例

3累乘法求通項公式(2)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，lnan-lnan-1=1(n≥2)，求an.跟蹤訓練

3鞏固練習累乘法求通項公式答案：an=en-1，n∈N*.(2)已知數(shù)列{an}滿足a1=1，lnan-lnan-1=1(n≥2)，求an.

跟蹤訓練

3鞏固練習累乘法求通項公式方法總結(jié)由數(shù)列的遞推公式求通項公式的常用方法小結(jié)提升1.累加法

一般遞推關(guān)系為

，常用an=(an

-an-1)+(an-1-an