中學(xué)數(shù)學(xué)乘除法綜合復(fù)習(xí)講義同學(xué)們，大家好！今天我們一同對中學(xué)階段的乘除法知識進(jìn)行一次系統(tǒng)性的梳理與復(fù)習(xí)。乘除法是數(shù)學(xué)大廈中極為重要的基石，無論是后續(xù)更復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算，還是幾何問題的求解，乃至物理、化學(xué)等學(xué)科的學(xué)習(xí)，都離不開對乘除法的熟練掌握。本次復(fù)習(xí)，我們不僅要回顧基本概念與法則，更要注重理解其內(nèi)在聯(lián)系與實(shí)際應(yīng)用，以期達(dá)到融會貫通、靈活運(yùn)用的目的。一、乘除法的基本概念與意義數(shù)學(xué)運(yùn)算的本質(zhì)是對數(shù)量關(guān)系的刻畫。1.乘法的意義：乘法是求幾個相同加數(shù)的和的簡便運(yùn)算。例如，`3+3+3+3`可以簡便地表示為`3×4`，其結(jié)果表示4個3相加的總和。在更廣泛的意義上，乘法也表示一個數(shù)的幾倍是多少，或者一個數(shù)的幾分之幾是多少（此時便與分?jǐn)?shù)乘法相聯(lián)系）。2.除法的意義：除法是已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運(yùn)算。它是乘法的逆運(yùn)算。具體而言，除法有兩種基本含義：*平均分：把一個數(shù)平均分成若干份，求每份是多少。例如，將12個蘋果平均分給3個小朋友，每人分得`12÷3`個。*包含除：求一個數(shù)里包含幾個另一個數(shù)。例如，12個蘋果，每3個裝一袋，可以裝`12÷3`袋。3.乘除法的互逆關(guān)系：因數(shù)×因數(shù)=積，那么積÷一個因數(shù)=另一個因數(shù)。這種互逆關(guān)系不僅是驗算的基礎(chǔ)，也是解決許多實(shí)際問題時進(jìn)行數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵。二、乘除法的運(yùn)算法則掌握運(yùn)算法則是正確進(jìn)行乘除運(yùn)算的前提，我們需要對不同數(shù)域（整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)）的乘除法法則了然于胸。1.乘法法則：*整數(shù)乘法：1.從右起，依次用第二個因數(shù)每位上的數(shù)去乘第一個因數(shù)，乘到哪一位，得數(shù)的末尾就和第二個因數(shù)的哪一位對齊。2.然后把幾次乘得的數(shù)加起來。（注意：哪一位上乘得的積滿幾十，就向前一位進(jìn)幾。）*小數(shù)乘法：1.按整數(shù)乘法的法則算出積。2.再看因數(shù)中一共有幾位小數(shù)，就從得數(shù)的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。3.得數(shù)的小數(shù)部分末尾有0，一般要把0去掉。*分?jǐn)?shù)乘法：1.分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變。能約分的可以先約分，再計算，結(jié)果相同。2.分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。同樣，能約分的先約分再計算，可以使運(yùn)算簡便。這里的“約分”，其本質(zhì)是利用了分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和乘法交換律、結(jié)合律，提前消去分子分母的公因數(shù)。2.除法法則：*整數(shù)除法：1.從被除數(shù)的高位起，先看除數(shù)有幾位，再用除數(shù)試除被除數(shù)的前幾位，如果它比除數(shù)小，再試除多一位數(shù)。2.除到被除數(shù)的哪一位，就在那一位上面寫上商。3.每次除后余下的數(shù)必須比除數(shù)小。在有余數(shù)的除法中，被除數(shù)=商×除數(shù)+余數(shù)。*小數(shù)除法：1.除數(shù)是整數(shù)時，按整數(shù)除法的法則進(jìn)行計算，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對齊。如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添0，再繼續(xù)除。2.除數(shù)是小數(shù)時，先移動除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)；除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動幾位，被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動幾位（位數(shù)不夠的，在被除數(shù)的末尾用0補(bǔ)足）；然后按照除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法進(jìn)行計算。*分?jǐn)?shù)除法：1.甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。這是分?jǐn)?shù)除法的核心法則，它將除法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為我們相對熟悉的乘法運(yùn)算。2.對于帶分?jǐn)?shù)除法，需先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，再按上述法則進(jìn)行計算。三、乘除法中的特殊數(shù)在乘除法運(yùn)算中，一些特殊的數(shù)字具有獨(dú)特的性質(zhì)，掌握它們有助于我們快速判斷和簡化計算。1.“0”的特性：*任何數(shù)與0相乘，結(jié)果都為0。即`a×0=0`。*0除以任何一個不等于0的數(shù)，結(jié)果都為0。即`0÷a=0(a≠0)`。*特別注意：0不能作除數(shù)。因為找不到一個數(shù)與0相乘能得到非0的被除數(shù)，所以`a÷0`是沒有意義的。2.“1”的特性：*任何數(shù)與1相乘，結(jié)果仍為原數(shù)。即`a×1=a`。*任何數(shù)除以1，結(jié)果仍為原數(shù)。即`a÷1=a`。3.倒數(shù)：*乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。即如果`a×b=1`，那么a和b互為倒數(shù)，記為`a=1/b`或`b=1/a`。*0沒有倒數(shù)（因為0乘任何數(shù)都為0，不可能得1）。*1的倒數(shù)是1，-1的倒數(shù)是-1。*求一個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只需將分子分母交換位置；求一個整數(shù)（0除外）的倒數(shù)，可將其看作分母為1的分?jǐn)?shù)，再交換分子分母位置。四、乘除法混合運(yùn)算順序在一個算式中，如果既有乘法又有除法，或者包含多個乘除法運(yùn)算，我們需要遵循一定的運(yùn)算順序：1.同級運(yùn)算：在沒有括號的算式里，如果只有乘除法，要從左往右按順序計算。例如`a×b÷c`應(yīng)先算`a×b`，再用結(jié)果除以`c`；`a÷b×c`應(yīng)先算`a÷b`，再用結(jié)果乘以`c`。2.有括號的運(yùn)算：如果算式里有括號，要先算括號里面的。括號的優(yōu)先級高于乘除法。如果既有小括號，又有中括號，要先算小括號里面的，再算中括號里面的。3.與加減法混合：當(dāng)算式中同時存在加減乘除時，要先算乘除，后算加減。有括號的依然先算括號內(nèi)的。理解并嚴(yán)格遵守運(yùn)算順序，是保證計算結(jié)果正確的基本前提，切不可隨意顛倒。五、乘除法的實(shí)際應(yīng)用與解題策略數(shù)學(xué)源于生活，用于生活。乘除法的應(yīng)用貫穿于解決各類實(shí)際問題之中。1.理解題意，準(zhǔn)確列式：這是解決問題的第一步，也是最關(guān)鍵的一步。要仔細(xì)閱讀題目，找出已知條件和所求問題，分析題目中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系。明確是求幾個幾相加（用乘法），還是把一個數(shù)平均分成幾份或求一個數(shù)里包含幾個另一個數(shù)（用除法）。對于較復(fù)雜的問題，可嘗試畫線段圖或列表來幫助理解數(shù)量之間的關(guān)系。2.估算與驗算：*估算：在進(jìn)行精確計算前，或在不需要精確結(jié)果時，可以運(yùn)用估算來大致判斷結(jié)果的范圍，或檢驗計算結(jié)果是否合理。例如，估算`3.8×5.1`，可看作`4×5=20`，實(shí)際結(jié)果應(yīng)接近20。*驗算：計算完成后，務(wù)必進(jìn)行驗算，以確保結(jié)果的正確性。*乘法的驗算：可以交換兩個因數(shù)的位置再乘一遍；或者用積除以其中一個因數(shù)，看是否等于另一個因數(shù)。*除法的驗算：可以用商乘以除數(shù)（有余數(shù)時再加上余數(shù)），看是否等于被除數(shù)。3.簡便運(yùn)算技巧：在乘除法混合運(yùn)算中，巧妙運(yùn)用運(yùn)算定律和性質(zhì)，可以使計算變得簡便快捷。*乘法交換律：`a×b=b×a`*乘法結(jié)合律：`(a×b)×c=a×(b×c)`*乘法分配律：`(a+b)×c=a×c+b×c`，`(a-b)×c=a×c-b×c`*除法的性質(zhì)：`a÷b÷c=a÷(b×c)`，`a÷b×c=a×c÷b`(b、c均不為0)運(yùn)用這些性質(zhì)時，要注意觀察數(shù)字特征，湊整（如湊成整十、整百、整千的數(shù)，或湊出1、0等特殊數(shù)）是常用的思路。例如，看到25就想到4，看到125就想到8，因為它們的乘積是100和1000，便于計算。六、常見錯誤辨析與注意事項在乘除法運(yùn)算中，一些細(xì)節(jié)如果不加以注意，很容易導(dǎo)致錯誤。1.小數(shù)點(diǎn)位置：這是小數(shù)乘除法中最常見的錯誤。計算小數(shù)乘法時，忘記點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)或點(diǎn)錯小數(shù)點(diǎn)位數(shù)；計算小數(shù)除法時，除數(shù)和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)移動方向或位數(shù)不一致，商的小數(shù)點(diǎn)忘記與移動后的被除數(shù)小數(shù)點(diǎn)對齊。2.分?jǐn)?shù)除法法則混淆：容易將分?jǐn)?shù)除法與分?jǐn)?shù)乘法法則混淆，忘記將除法轉(zhuǎn)化為乘以倒數(shù)，或者在轉(zhuǎn)化時弄錯倒數(shù)。3.帶分?jǐn)?shù)運(yùn)算：進(jìn)行帶分?jǐn)?shù)乘除時，忘記先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)就直接運(yùn)算。4.運(yùn)算順序錯誤：在混合運(yùn)算中，特別是乘除法與加減法混合，或含有括號時，容易違背運(yùn)算順序，先算加減后算乘除，或漏看括號。5.“0”的處理不當(dāng)：忽略“0不能作除數(shù)”的規(guī)定，或在計算中誤將0參與不當(dāng)運(yùn)算。6.約分不徹底或錯誤：分?jǐn)?shù)乘法中，約分是簡化運(yùn)算的關(guān)鍵，但有時會出現(xiàn)約分不徹底，或找錯公因數(shù)導(dǎo)致約分錯誤的情況。要克服這些錯誤，除了深刻理解法則外，還需要在平時練習(xí)中養(yǎng)成認(rèn)真、細(xì)致的好習(xí)慣，計算后及時進(jìn)行檢查和驗算?？偨Y(jié)與展望乘除法是數(shù)學(xué)運(yùn)算的基石，其概念、法則和應(yīng)用貫穿于整個中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終。本次復(fù)習(xí)，我們從基本意義入手，梳理了運(yùn)算法則、特殊數(shù)的性質(zhì)、混合運(yùn)算順序、實(shí)際應(yīng)用策略以及常見錯誤。希望同學(xué)們不僅