高一上學(xué)期技巧與數(shù)學(xué)試題一、集合與常用邏輯用語(yǔ)解題技巧集合作為高中數(shù)學(xué)的入門內(nèi)容，其核心在于準(zhǔn)確理解元素與集合的關(guān)系及集合間的運(yùn)算規(guī)則。在解決集合問(wèn)題時(shí)，Venn圖法和數(shù)軸法是直觀高效的工具。例如，當(dāng)遇到含參數(shù)的集合運(yùn)算題，如“已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，若B?A，求實(shí)數(shù)a的值”，可先通過(guò)解方程確定集合A={1,2}，再分B為空集、{1}、{2}三種情況討論，最終得出a=0或1或2。這種分類討論的思想需貫穿整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，尤其要注意空集這一特殊情況。常用邏輯用語(yǔ)中，充分條件與必要條件的判斷是易錯(cuò)點(diǎn)?？刹捎眉^推導(dǎo)法：若p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件。例如“x>2”是“x>1”的充分不必要條件，因?yàn)榍罢吣芡瞥龊笳撸粗怀闪?。?duì)于全稱量詞與存在量詞的否定，需記住“?”的否定是“?”，“>”的否定是“≤”，如“?x∈R，x2+1>0”的否定為“?x∈R，x2+1≤0”。二、函數(shù)概念與性質(zhì)的解題策略函數(shù)的定義域求解需遵循“分母不為零、偶次根式被開方數(shù)非負(fù)、對(duì)數(shù)真數(shù)大于零”的基本原則。例如求函數(shù)f(x)=√(x-1)/lg(2-x)的定義域，需滿足x-1≥0、2-x>0且lg(2-x)≠0，解得1≤x<2且x≠1，即(1,2)。區(qū)間表示法是規(guī)范書寫的關(guān)鍵，需注意開閉區(qū)間的區(qū)別。單調(diào)性的證明是函數(shù)部分的重點(diǎn)題型，定義法的步驟為：取值（設(shè)x?<x?）、作差（f(x?)-f(x?)）、變形（因式分解或配方）、定號(hào)、結(jié)論。以證明f(x)=x+1/x在(1,+∞)上單調(diào)遞增為例，作差后得到(x?-x?)(1-1/(x?x?))，由于x?<x?且x?x?>1，可判斷差式小于零，從而得證。此外，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性遵循“同增異減”原則，如y=log?(x2-1)的增區(qū)間需結(jié)合定義域(-∞,-1)∪(1,+∞)與內(nèi)函數(shù)t=x2-1的單調(diào)性綜合判斷。奇偶性的判斷首先要驗(yàn)證定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f(-x)與f(x)的關(guān)系。例如f(x)=x3+sinx，因f(-x)=-f(x)且定義域?yàn)镽，故為奇函數(shù)。奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義時(shí)f(0)=0，這一性質(zhì)常用于求參數(shù)值。三、基本初等函數(shù)的綜合應(yīng)用指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)是高考高頻考點(diǎn)。解決比較大小問(wèn)題時(shí)，可采用中間值法，如比較0.32、log?0.3、2?.3的大小，選取中間值0和1，易知log?0.3<0<0.32<1<2?.3。圖像變換法也不可或缺，函數(shù)y=2^(x+1)-3是由y=2?向左平移1個(gè)單位、向下平移3個(gè)單位得到。冪函數(shù)y=x^α的圖像與α的取值密切相關(guān)。當(dāng)α>0時(shí)，圖像過(guò)(0,0)和(1,1)，在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)α<0時(shí)，圖像不過(guò)原點(diǎn)，在(0,+∞)上單調(diào)遞減。例如α=1/2時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)閇0,+∞)，圖像為拋物線右支；α=-1時(shí)，圖像為雙曲線。四、一元二次函數(shù)、方程和不等式的解題方法求解一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的三步法：先求對(duì)應(yīng)方程的根，再畫函數(shù)圖像，最后根據(jù)圖像寫出解集。對(duì)于含參數(shù)的不等式，如x2-(a+1)x+a<0，需先因式分解為(x-1)(x-a)<0，再根據(jù)a與1的大小關(guān)系分三種情況討論解集?；静坏仁角笞钪敌铦M足“一正二定三相等”。例如求函數(shù)y=x+4/(x-1)（x>1）的最小值，可變形為y=(x-1)+4/(x-1)+1，由基本不等式得最小值為5，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)取等號(hào)。若等號(hào)取不到，則需結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求解。一元二次方程根的分布問(wèn)題可通過(guò)數(shù)形結(jié)合法解決，關(guān)鍵在于分析開口方向、判別式、對(duì)稱軸位置及端點(diǎn)函數(shù)值。例如“方程x2+mx+1=0在區(qū)間(0,2)內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，求m的取值范圍”，需列出Δ=m2-4>0、0<-m/2<2、f(0)=1>0、f(2)=4+2m+1>0，聯(lián)立解得-5/2<m<-2。五、典型試題解析與拓展集合與邏輯綜合題：設(shè)集合A={x|x2-4x+3<0}，B={x|2x-3>0}，則A∩B=（）A.(-3,-3/2)B.(1,3/2)C.(3/2,3)D.(-3,3/2)解析：解不等式得A=(1,3)，B=(3/2,+∞)，交集為(3/2,3)，選C。此類題需注意區(qū)間端點(diǎn)的取舍。函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用題：已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2-2x，則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=（）解析：設(shè)x<0，則-x>0，f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x，因f(x)為奇函數(shù)，故f(x)=-f(-x)=-x2-2x。基本不等式創(chuàng)新題：若正數(shù)a,b滿足a+2b=3，則1/a+1/b的最小值為（）解析：“乘1法”變形為(1/a+1/b)(a+2b)/3=(1+2b/a+a/b+2)/3≥(3+2√2)/3，當(dāng)且僅當(dāng)a=√2b時(shí)取等號(hào)。一元二次方程根的綜合題：已知關(guān)于x的方程x2-(k+1)x+k=0有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，求k的取值范圍。解析：由Δ=(k+1)2-4k=(k-1)2>0，x?+x?=k+1>0，x?x?=k>0，解得k>0且k≠1。六、數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)梳理數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)圖像與方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題中應(yīng)用廣泛。例如“求方程lnx=x-2的實(shí)根個(gè)數(shù)”，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=lnx與y=x-2圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，通過(guò)畫圖可知有兩個(gè)交點(diǎn)。分類討論思想在含參數(shù)問(wèn)題中必不可少，需明確分類標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏。如解不等式ax2-ax+1>0時(shí)，需分a=0、a>0、a<0三種情況討論。轉(zhuǎn)化與化歸思想能將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)化，例如將指數(shù)方程2^x=3-x轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問(wèn)題，或利用換元法將復(fù)合函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)問(wèn)題。特殊值法在選擇題中可快速解題。例如判斷“若a>b，則1/a<1/b”的真假，可取a=1,b=-1，顯然不成立，故為假命題。通過(guò)以上技巧與試題的系統(tǒng)梳理，高一學(xué)生需建立“知識(shí)點(diǎn)-方法-題型”的三維知識(shí)體系。在日常訓(xùn)練中，建議采用“一題多解