高一上學(xué)期核心與數(shù)學(xué)試題一、集合與常用邏輯用語(yǔ)（一）核心知識(shí)點(diǎn)集合是高中數(shù)學(xué)的入門(mén)內(nèi)容，主要涉及集合的概念、表示方法及基本運(yùn)算。集合的表示方法包括列舉法、描述法和圖示法，其中描述法是重點(diǎn)考查內(nèi)容，需要注意代表元素的屬性。集合的基本運(yùn)算包括交集、并集和補(bǔ)集，運(yùn)算時(shí)需注意空集的特殊性，尤其是在涉及子集關(guān)系時(shí)，必須優(yōu)先考慮空集的情況。簡(jiǎn)易邏輯部分主要掌握四種命題的關(guān)系，特別是原命題與逆否命題的等價(jià)性，以及充分條件、必要條件的判斷，判斷時(shí)可借助“小范圍推大范圍”的原則簡(jiǎn)化問(wèn)題。（二）典型試題解析例1：已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|mx-1=0}，若B?A，求實(shí)數(shù)m的值。解析：首先求解集合A，解方程x2-3x+2=0得x=1或x=2，故A={1,2}。因?yàn)锽?A，所以B可能為?、{1}或{2}。當(dāng)B=?時(shí)，mx-1=0無(wú)解，此時(shí)m=0；當(dāng)B={1}時(shí)，將x=1代入mx-1=0得m=1；當(dāng)B={2}時(shí)，將x=2代入mx-1=0得m=1/2。綜上，m的值為0、1或1/2。例2：設(shè)p：|x-1|≤2，q：x2-2x+1-a2≥0（a>0），若?p是q的充分不必要條件，求a的取值范圍。解析：先解不等式化簡(jiǎn)命題。由|x-1|≤2得-1≤x≤3，故?p為x<-1或x>3。由x2-2x+1-a2≥0得[x-(1-a)][x-(1+a)]≥0，因?yàn)閍>0，所以解集為x≤1-a或x≥1+a。因?yàn)?p是q的充分不必要條件，所以{x|x<-1或x>3}是{x|x≤1-a或x≥1+a}的真子集，因此有：1-a≥-1且1+a≤3（等號(hào)不同時(shí)成立），解得a≤2。又因?yàn)閍>0，所以a的取值范圍是(0,2]。二、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（一）核心知識(shí)點(diǎn)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，需重點(diǎn)掌握函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等基本性質(zhì)。定義域的求解需考慮分式分母不為零、偶次根式被開(kāi)方數(shù)非負(fù)、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零等情況；值域的求法包括配方法、換元法、單調(diào)性法等，其中單調(diào)性法適用于大多數(shù)初等函數(shù)。函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)的重點(diǎn)，判斷時(shí)可利用定義法或?qū)?shù)法（高一階段主要掌握定義法），復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”原則。奇偶性的判斷需先驗(yàn)證定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再根據(jù)f(-x)與f(x)的關(guān)系確定奇偶性，奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是基本初等函數(shù)的重要組成部分，需掌握其圖像與性質(zhì)。指數(shù)函數(shù)y=a?（a>0且a≠1）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?0,+∞)，當(dāng)a>1時(shí)為增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)為減函數(shù)；對(duì)數(shù)函數(shù)y=log?x（a>0且a≠1）與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，定義域?yàn)?0,+∞)，值域?yàn)镽，單調(diào)性與指數(shù)函數(shù)一致。冪函數(shù)y=x?的圖像與性質(zhì)則需根據(jù)指數(shù)a的取值分類討論，重點(diǎn)掌握a=1,2,3,-1,1/2時(shí)的圖像特征。（二）典型試題解析例3：已知函數(shù)f(x)=log?(x2-ax+3a)在[2,+∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解析：令t=x2-ax+3a，因?yàn)閒(x)=log?t是增函數(shù)，所以t=x2-ax+3a在[2,+∞)上也需為增函數(shù)，且t>0在[2,+∞)上恒成立。二次函數(shù)t=x2-ax+3a的對(duì)稱軸為x=a/2，要使其在[2,+∞)上遞增，則a/2≤2，即a≤4；當(dāng)x=2時(shí)，t=4-2a+3a=a+4>0，解得a>-4。綜上，a的取值范圍是(-4,4]。例4：已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2-2x，求f(x)的解析式。解析：當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(x)=-f(-x)。當(dāng)-x>0時(shí)，f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x，故f(x)=-f(-x)=-x2-2x。因此，f(x)的解析式為：f(x)=x2-2x（x≥0）f(x)=-x2-2x（x<0）例5：計(jì)算：(1)log?.?6.25+lg0.01+ln√e+2^(1+log?3)；(2)已知log?2=a，log?5=b，用a,b表示log?√30。解析：(1)原式=log?.?(2.5)2+lg10?2+lne^(1/2)+2^log?6=2+(-2)+1/2+6=6.5；(2)log?√30=1/2log?(2×3×5)=1/2(log?2+log?3+log?5)=1/2(a+1+b)。三、數(shù)列（一）核心知識(shí)點(diǎn)數(shù)列是特殊的函數(shù)，主要研究等差數(shù)列和等比數(shù)列。等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為a?=a?+(n-1)d，前n項(xiàng)和公式為S?=n(a?+a?)/2=na?+n(n-1)d/2，求和公式的推導(dǎo)方法“倒序相加法”是重要的數(shù)學(xué)思想。等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為a?=a?q^(n-1)，前n項(xiàng)和公式為S?=a?(1-q?)/(1-q)（q≠1），推導(dǎo)方法為“錯(cuò)位相減法”，需注意q=1時(shí)S?=na?。等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，例如等差數(shù)列中若m+n=p+q，則a?+a?=a?+a_q；等比數(shù)列中若m+n=p+q，則a?·a?=a?·a_q。數(shù)列求和的常用方法包括公式法、分組求和法、裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法等，其中裂項(xiàng)相消法適用于形如1/[n(n+1)]的數(shù)列，錯(cuò)位相減法適用于等差乘等比的數(shù)列。（二）典型試題解析例6：已知等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，若a?=5，S?=81，求a?和S?的最小值。解析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由a?=a?+2d=5，S?=9a?+36d=81，聯(lián)立解得a?=1，d=2。a?=a?+6d=1+12=13；a?=1+2(n-1)=2n-1，令a?≤0得n≤0.5，因?yàn)閚∈N*，所以數(shù)列前0項(xiàng)（即無(wú)項(xiàng)）和最小，但實(shí)際數(shù)列首項(xiàng)為正，故S?的最小值為S?=1。例7：已知等比數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，若S?=14，S?=126，求a?及S?。解析：設(shè)公比為q，若q=1，則S?=2S?=28≠126，故q≠1。由S?=a?(1-q3)/(1-q)=14，S?=a?(1-q?)/(1-q)=126，兩式相除得(1-q?)/(1-q3)=9，即1+q3=9，解得q=2。代入S?得a?(1-8)/(1-2)=14，解得a?=2。因此a?=2×2^(n-1)=2?，S?=2(1-2?)/(1-2)=2^(n+1)-2。例8：求和：S?=1+3x+5x2+...+(2n-1)x^(n-1)（x≠0）。解析：當(dāng)x=1時(shí)，S?=1+3+5+...+(2n-1)=n2；當(dāng)x≠1時(shí)，采用錯(cuò)位相減法：S?=1+3x+5x2+...+(2n-1)x^(n-1)xS?=x+3x2+...+(2n-3)x^(n-1)+(2n-1)x?兩式相減得(1-x)S?=1+2x+2x2+...+2x^(n-1)-(2n-1)x?=1+2(x(1-x^(n-1))/(1-x))-(2n-1)x?故S?=[1-(2n-1)x?]/(1-x)+2x(1-x^(n-1))/(1-x)2。四、不等式（一）核心知識(shí)點(diǎn)不等式的解法是重點(diǎn)，包括一元二次不等式、分式不等式、絕對(duì)值不等式等。一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集可通過(guò)二次函數(shù)圖像確定，當(dāng)Δ>0時(shí)，解集為“大于大根或小于小根”；當(dāng)Δ=0時(shí)，解集為{x|x≠-b/(2a)}；當(dāng)Δ<0時(shí)，解集為R。分式不等式需轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，注意分母不為零，例如f(x)/g(x)>0等價(jià)于f(x)g(x)>0且g(x)≠0。絕對(duì)值不等式|x|>a（a>0）的解集為x>a或x<-a，|x|<a的解集為-a<x<a，對(duì)于|ax+b|>c的形式，可直接套用此結(jié)論。基本不等式是求最值的重要工具，對(duì)于正數(shù)a,b，有a+b≥2√(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立。使用時(shí)需滿足“一正二定三相等”，即a,b均為正數(shù)，和或積為定值，且能取到等號(hào)。若不滿足定值條件，可通過(guò)配湊法、常數(shù)代換法等轉(zhuǎn)化，例如求y=x+1/(x-1)（x>1）的最小值，可變形為y=(x-1)+1/(x-1)+1≥2+1=3。（二）典型試題解析例9：解不等式：(x2-3x+2)/(x2-7x+12)≤0。解析：原不等式等價(jià)于(x2-3x+2)(x2-7x+12)≤0且x2-7x+12≠0。因式分解得(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)≤0，且x≠3,x≠4。利用穿根法，數(shù)軸上標(biāo)出根1,2,3,4，從右上方向下穿，不等式≤0的解集為[1,2]∪(3,4)。例10：已知x>0,y>0，且2x+3y=6，求xy的最大值。解析：由基本不等式得2x+3y≥2√(6xy)，即6≥2√(6xy)，兩邊平方得36≥24xy，解得xy≤3/2。當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y=3，即x=3/2,y=1時(shí)等號(hào)成立，故xy的最大值為3/2。例11：解關(guān)于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0（a∈R）。解析：當(dāng)a=0時(shí)，不等式為-x+1<0，解集為x>1；當(dāng)a≠0時(shí)，因式分解得(ax-1)(x-1)<0，方程(ax-1)(x-1)=0的根為x=1/a和x=1。當(dāng)a>1時(shí)，1/a<1，解集為(1/a,1)；當(dāng)a=1時(shí)，不等式為(x-1)2<0，解集為?；當(dāng)0<a<1時(shí)，1/a>1，解集為(1,1/a)；當(dāng)a<0時(shí)，1/a<1，不等式等價(jià)于(x-1/a)(x-1)>0，解集為(-∞,1/a)∪(1,+∞)。五、空間幾何體與直線、圓的方程（一）核心知識(shí)點(diǎn)空間幾何體部分需掌握三視圖與直觀圖的轉(zhuǎn)化，以及柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積公式。三視圖中，正視圖與側(cè)視圖高平齊，正視圖與俯視圖長(zhǎng)對(duì)正，側(cè)視圖與俯視圖寬相等，由三視圖還原幾何體時(shí)，需注意實(shí)線與虛線的區(qū)別。表面積公式中，圓柱的表面積為2πr(r+l)，圓錐為πr(r+l)，球?yàn)?πR2；體積公式中，柱體為Sh，錐體為Sh/3，球?yàn)?πR3/3。直線與圓的方程是解析幾何的基礎(chǔ)，直線的方程有五種形式，其中點(diǎn)斜式和斜截式需注意斜率不存在的情況，一般式Ax+By+C=0（A2+B2≠0）適用于所有直線。兩條直線的位置關(guān)系可通過(guò)斜率和截距判斷，平行時(shí)斜率相等且截距不等，垂直時(shí)斜率之積為-1（斜率存在時(shí)）。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F>0），直線與圓的位置關(guān)系通過(guò)圓心到直線的距離d與半徑r比較判斷，d<r時(shí)相交，d=r時(shí)相切，d>r時(shí)相離。（二）典型試題解析例12：一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），求該幾何體的體積和表面積。（注：此處假設(shè)三視圖顯示為一個(gè)正方體上方放置一個(gè)圓錐，正方體棱長(zhǎng)為2，圓錐底面直徑為2，高為3）解析：該幾何體由正方體和圓錐組成。正方體體積V?=23=8cm3，表面積S?=6×22=24cm2；圓錐體積V?=πr2h/3=π×12×3/3=πcm3，側(cè)面積S?=πrl=π×1×√(12+32)=√10πcm2；組合體體積V=V?+V?=8+πcm3，表面積S=S?+S?-πr2=24+√10π-πcm2（減去圓錐與正方體重疊的底面積）。例13：已知直線l過(guò)點(diǎn)P(2,1)，且與直線3x+4y-5=0垂直，求直線l的方程。解析：直線3x+4y-5=0的斜率為-3/4，因?yàn)閮芍本€垂直，所以直線l的斜率為4/3。由點(diǎn)斜式得y-1=4/3(x-2)，整理得4x-3y-5=0。例14：已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由。解析：假設(shè)存在直線l：y=x+m，設(shè)A(x?,y?),B(x?,y?)。聯(lián)立圓的方程與直線方程得2x2+2(m+1)x+m2+4m-4=0，判別式Δ=4(m+1)2-8(m2+4m-4)=-4m2-24m+36>0，解得-3-3√2<m<-3+3√2。由韋達(dá)定理得x?+x?=-(m+1)，x?x?=(m2+4m-4)/2，y?y?=(x?+m)(x?+m)=x?x?+m(x?+x?)+m2=(m2+2m-4)/2。因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，所以O(shè)A⊥OB，即x?x?+y?y?=0，代入得(m2+4m-4)/2+(m2+2m-4)/2=0，解得m2+3m-4=0，m=1或m=-4。經(jīng)檢驗(yàn)，m=1和m=-4均滿足Δ>0，故直線l的方程為y=x+1或y=x-4。六、綜合應(yīng)用與解題技巧（一）核心方法總結(jié)分類討論思想：在集合、函數(shù)、不等式等章節(jié)中廣泛應(yīng)用，例如含參數(shù)的一元二次不等式求解、集合子集關(guān)系討論等，分類時(shí)需注意不重不漏。數(shù)形結(jié)合思想：借助函數(shù)圖像解決方程根的問(wèn)題、不等式解集問(wèn)題，利用幾何圖形直觀分析空間幾何體和解析幾何問(wèn)題。轉(zhuǎn)化與化歸思想：將陌生問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉問(wèn)題，例如將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式，將立體幾何中的線面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系。函數(shù)與方程思想：利用函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題，通過(guò)列方程（組）求解數(shù)列基本量、解析幾何中的參數(shù)等。（二）綜合試題解析例15：已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+2，x∈[-1,1]，求函數(shù)f(x)的最小值。解析：函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=a，開(kāi)口向上，需根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間[-1,1]的位置關(guān)系分類討論：當(dāng)a<-1時(shí)，f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞增，最小值為f(-1)=3+2a；當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，f(x)在x=a處取得最小值，最小值為f(a)=2-a2；當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減，最小值為f(1)=3-2a。例16：已知數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且a?=1，S???=4a?+2（n∈N*），設(shè)b?=a???-2a?，證明：{b?}是等比數(shù)列，并求{a?}的通項(xiàng)公式。解析：由S???=4a?+2得S?=4a???+2（n≥2），兩式相減得a???=4a?-4a???，即a???-2a?=2(a?-2a???)，故b?=2b???（n≥2）。因?yàn)閍?=1，S?=a?+a?=4a?+2，所以a?=5，b?=a?-2a?=3，因此{(lán)b?}是以3為首項(xiàng)，2為