動(dòng)量守恒在碰撞中應(yīng)用深化試題一、碰撞模型的多維拓展（一）非共線碰撞的動(dòng)量分解在光滑水平面上，質(zhì)量為m?=2kg的小球A以v?=4m/s的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，與靜止在坐標(biāo)原點(diǎn)的質(zhì)量m?=1kg的小球B發(fā)生斜碰。碰撞后A球的速度方向與x軸正方向成30°角，B球的速度方向與x軸正方向成60°角。求碰撞后A、B兩球的速度大小及系統(tǒng)損失的機(jī)械能。解析：建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)動(dòng)量守恒定律列方程：x方向：m?v?=m?v?'cos30°+m?v?'cos60°y方向：0=m?v?'sin30°-m?v?'sin60°代入數(shù)據(jù)解得：v?'=(4√3)/3m/s，v?'=8/3m/s系統(tǒng)初動(dòng)能：Ek?=1/2m?v?2=16J系統(tǒng)末動(dòng)能：Ek=1/2m?v?'2+1/2m?v?'2=16/3J機(jī)械能損失：ΔE=Ek?-Ek=32/3J≈10.67J（二）含彈簧的碰撞系統(tǒng)質(zhì)量均為m=1kg的物塊A、B靜止在光滑水平面上，A、B間用輕彈簧連接（彈簧處于原長(zhǎng)）?，F(xiàn)給A物塊一個(gè)水平向右的瞬時(shí)沖量I=4N·s，求：彈簧壓縮至最短時(shí)的彈性勢(shì)能；從A獲得沖量到彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)過(guò)程中，B物塊的最大速度。解析：A獲得的初速度v?=I/m=4m/s彈簧最短時(shí)二者共速，由動(dòng)量守恒：mv?=2mv共解得v共=2m/s彈性勢(shì)能Ep=1/2mv?2-1/2(2m)v共2=4J彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)，由動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒：mv?=mv?+mv?1/2mv?2=1/2mv?2+1/2mv?2解得v?=4m/s（B的最大速度），v?=0（A的速度）二、多體碰撞與連續(xù)碰撞（一）三體碰撞問(wèn)題光滑水平面上依次排列質(zhì)量均為m的三個(gè)小球A、B、C，A球以速度v?=6m/s向右運(yùn)動(dòng)，與B球發(fā)生彈性碰撞，B球再與C球發(fā)生彈性碰撞。求碰撞后三球的速度。解析：彈性碰撞中質(zhì)量相等的物體交換速度：A與B碰撞后：vA=0，vB=6m/sB與C碰撞后：vB=0，vC=6m/s最終速度分布：vA=0，vB=0，vC=6m/s（二）子彈打木塊模型的變式質(zhì)量M=3kg的木塊靜止在光滑水平面上，木塊左端有一質(zhì)量m=1kg的子彈以v?=10m/s的速度水平射入。已知子彈與木塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，木塊長(zhǎng)度L=1m，g=10m/s2。判斷子彈能否穿出木塊，并求最終二者的共同速度。解析：假設(shè)子彈未穿出，由動(dòng)量守恒：mv?=(M+m)v共解得v共=2.5m/s系統(tǒng)動(dòng)能損失：ΔEk=1/2mv?2-1/2(M+m)v共2=37.5J子彈相對(duì)木塊滑行距離s=ΔEk/(μmg)=7.5m>L=1m，故子彈能穿出木塊設(shè)穿出時(shí)子彈速度v?，木塊速度v?動(dòng)量守恒：mv?=mv?+Mv?能量守恒：1/2mv?2=1/2mv?2+1/2Mv?2+μmgL聯(lián)立解得：v?=6.5m/s，v?=1m/s三、碰撞中的臨界問(wèn)題（一）避免二次碰撞的條件在光滑水平軌道上，質(zhì)量m?=1kg的滑塊A以v?=3m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，前方有質(zhì)量m?=2kg的滑塊B以v?=1m/s的速度同向運(yùn)動(dòng)，A、B間的彈性勢(shì)能最大時(shí)，二者速度相等，此時(shí)彈簧壓縮量最大。若A、B碰撞后不發(fā)生二次碰撞，求碰撞恢復(fù)系數(shù)e的取值范圍。解析：彈性碰撞恢復(fù)系數(shù)e=1，完全非彈性碰撞e=0碰撞后速度關(guān)系：v?'-v?'=e(v?-v?)動(dòng)量守恒：m?v?+m?v?=m?v?'+m?v?'聯(lián)立解得：v?'=(m?v?+m?v?-m?e(v?-v?))/(m?+m?)v?'=(m?v?+m?v?+m?e(v?-v?))/(m?+m?)避免二次碰撞條件：v?'≤v?'代入數(shù)據(jù)解得：e≥1/3（二）滑塊-木板系統(tǒng)的碰撞臨界質(zhì)量M=2kg的木板靜止在光滑水平面上，木板上表面粗糙，左端放置一質(zhì)量m=1kg的小滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）?，F(xiàn)讓木板獲得水平向右的初速度v?=3m/s，已知滑塊與木板間動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，g=10m/s2。求：滑塊相對(duì)木板滑行的最大距離；若木板長(zhǎng)度L=1m，滑塊是否會(huì)從木板右端滑落？解析：最終二者共速，動(dòng)量守恒：Mv?=(M+m)v共解得v共=2m/s由能量守恒：μmgd=1/2Mv?2-1/2(M+m)v共2解得d=1.5m因?yàn)閐=1.5m>L=1m，所以滑塊會(huì)滑落設(shè)滑落時(shí)木板速度v?，滑塊速度v?動(dòng)量守恒：Mv?=Mv?+mv?能量守恒：μmgL=1/2Mv?2-1/2Mv?2-1/2mv?2聯(lián)立解得：v?=8/3m/s，v?=2/3m/s四、碰撞與電磁場(chǎng)的綜合應(yīng)用（一）帶電粒子的碰撞在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，質(zhì)量m、電荷量q的帶電粒子A以速度v沿半徑R的圓形軌道運(yùn)動(dòng)，與靜止的相同粒子B發(fā)生彈性正碰。碰撞后兩粒子的運(yùn)動(dòng)半徑之比rA:rB=1:3，求粒子的電荷量關(guān)系及碰撞后A粒子的速度方向。解析：洛倫茲力提供向心力：qvB=mv2/r?r=mv/(qB)設(shè)碰撞后A、B速度分別為vA、vB，由動(dòng)量守恒：mv=mvA+mvB彈性碰撞動(dòng)能守恒：1/2mv2=1/2mvA2+1/2mvB2解得vA=-v/2（反向），vB=3v/2（同向）由半徑關(guān)系：rA/rB=(mvA/qAB)/(mvB/qBB)=(vAqB)/(vBqA)=1/3代入vA、vB得：qA=qB，即兩粒子帶同種等量電荷（二）電磁感應(yīng)中的碰撞問(wèn)題兩根足夠長(zhǎng)的平行光滑金屬導(dǎo)軌間距L=0.5m，傾角θ=30°，處于磁感應(yīng)強(qiáng)度B=2T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直導(dǎo)軌平面向上。質(zhì)量m?=0.2kg的金屬棒ab靜止在導(dǎo)軌上，質(zhì)量m?=0.1kg的金屬棒cd從導(dǎo)軌上端無(wú)初速度釋放，下滑距離s=1m后與ab棒發(fā)生彈性碰撞。兩棒電阻均為R=0.5Ω，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，g=10m/s2。求碰撞后瞬間兩棒的加速度大小。解析：cd棒下滑過(guò)程機(jī)械能守恒：m?gh=1/2m?v?2h=s·sin30°=0.5m，解得v?=√10m/s彈性碰撞速度交換：vab'=√10m/s，vcd'=0碰撞后ab棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLvab'=√10V回路電流I=E/(2R)=√10Aab棒所受安培力F=BIL=√10N加速度a=F/m?=5√10m/s2≈15.8m/s2五、碰撞中的能量轉(zhuǎn)化分析（一）完全非彈性碰撞的能量損失質(zhì)量分別為m和3m的兩個(gè)小球A、B，以相同的速率v在光滑水平面上相向運(yùn)動(dòng)，發(fā)生完全非彈性碰撞。求碰撞過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能與初始機(jī)械能的比值。解析：取B球運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较?，?dòng)量守恒：3mv-mv=(3m+m)v共?v共=v/2初始機(jī)械能：Ek?=1/2mv2+1/2·3mv2=2mv2末動(dòng)能：Ek=1/2·4mv共2=1/2mv2能量損失比：ΔEk/Ek?=3/4（二）多過(guò)程碰撞的能量傳遞在光滑水平面上，質(zhì)量為m的小球以速度v?依次與靜止的三個(gè)質(zhì)量均為M的小球發(fā)生彈性正碰。若m<<M，求最終系統(tǒng)的總動(dòng)能。解析：當(dāng)m<<M時(shí)，質(zhì)量懸殊的彈性碰撞中，小球幾乎原速反彈經(jīng)過(guò)3次碰撞后，小球速度大小仍為v?，方向與初速度相反系統(tǒng)總動(dòng)能：Ek=1/2mv?2，即幾乎沒(méi)有能量傳遞給大球六、碰撞實(shí)驗(yàn)的誤差分析某同學(xué)用如圖所示裝置驗(yàn)證動(dòng)量守恒定律，實(shí)驗(yàn)步驟如下：用天平測(cè)量入射球質(zhì)量m?和被碰球質(zhì)量m?；安裝斜槽，調(diào)整末端切線水平；不放被碰球時(shí)，讓入射球從斜槽某高度靜止釋放，記錄落點(diǎn)平均位置P；放置被碰球于斜槽末端，讓入射球從同一高度靜止釋放，記錄入射球落點(diǎn)M和被碰球落點(diǎn)N；用刻度尺測(cè)量OM、OP、ON的距離。誤差分析：斜槽末端未調(diào)水平：導(dǎo)致小球初速度方向偏離水平，影響平拋運(yùn)動(dòng)水平位移測(cè)量碰撞點(diǎn)不在斜槽末端：使被碰球初速度不沿水平方向落點(diǎn)位置確定不準(zhǔn)：應(yīng)多次實(shí)驗(yàn)取平均位置減小偶然誤差小球飛行過(guò)程中受空氣阻力：使實(shí)際水平位移小于理論值數(shù)據(jù)處理改進(jìn)：驗(yàn)證等式m?·OP=m?·OM+m?·ON時(shí)，若考慮空氣阻力影響，可引入修正系數(shù)k，使m?·OP=k(m?·OM+m?·ON)，通過(guò)對(duì)比實(shí)驗(yàn)確定k值。七、碰撞問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模（一）恢復(fù)系數(shù)與能量損失關(guān)系證明：對(duì)于質(zhì)量為m?、m?的物體發(fā)生正碰，恢復(fù)系數(shù)e=(v?'-v?')/(v?-v?)，則系統(tǒng)機(jī)械能損失ΔEk=[m?m?(v?-v?)2(1-e2)]/[2(m?+m?)]證明：由動(dòng)量守恒和恢復(fù)系數(shù)定義得：v?'=[m?v?+m?v?-m?e(v?-v?)]/(m?+m?)v?'=[m?v?+m?v?+m?e(v?-v?)]/(m?+m?)ΔEk=1/2m?v?2+1/2m?v?2-1/2m?v?'2-1/2m?v?'2代入化簡(jiǎn)得證，當(dāng)e=1時(shí)ΔEk=0（彈性碰撞），e=0時(shí)ΔEk最大（完全非彈性碰撞）（二）碰撞過(guò)程的沖量計(jì)算質(zhì)量m=0.5kg的小球以v?=4m/s的速度與墻壁發(fā)生垂直碰撞，碰撞時(shí)間Δt=0.01s，碰撞后反彈速度v'=3m/s。求墻壁對(duì)小球的平均作用力。解析：取反彈方向?yàn)檎较?，由?dòng)量定理：Ft=mv'-m(-v?)F=m(v'+v?)/Δt=0.5×7/0.01=350N方向與反彈方向相同八、綜合應(yīng)用題如圖所示，質(zhì)量M=4kg的光滑圓弧軌道ABC固定在水平地面上，軌道半徑R=0.8m，A端切線水平，B為軌道最低點(diǎn)，C端與水平地面相切。質(zhì)量m=1kg的小球從A端以v?=5m/s的速度水平射入軌道，與靜止在B點(diǎn)的質(zhì)量m=1kg的小球發(fā)生彈性碰撞。已知重力加速度g=10m/s2，求：碰撞后兩小球的速度大??；兩小球離開(kāi)軌道后在水平地面上的落點(diǎn)距離。解析：小球從A到B過(guò)程機(jī)械能守恒：1/2mv?2+mgR=1/2mvB2解得vB=√(v?2+2gR)=√41m/s≈6.4m/s彈性碰撞速度交換：v?'=0，v?'=√41m/s小球1從B點(diǎn)自由靜止下滑，小球2從B點(diǎn)沿軌道上滑再返回兩球離開(kāi)軌道C點(diǎn)時(shí)速度均為√41m/s（機(jī)械能守恒）平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=√(2h/g)=√(2×0.8/10)=0.4s水平位移x=v?'t=√41×0.4≈2.56m落點(diǎn)距離為2.56m（兩球先