1/22025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：人教B版選擇性必修第一冊(cè)第一章~第二章。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)，直線的傾斜角為，若，則的值為（

）A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或12．已知空間中點(diǎn)，，，，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．3．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，D為BC邊上一點(diǎn)，且，，當(dāng)在變化時(shí)，點(diǎn)總在橢圓上，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A．6 B． C． D．34．已知三棱柱中，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．2 C． D．25．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若的離心率為，則的離心率為（

）A． B． C． D．6．如圖所示的多面體是由底面為的正方體被截面所截而得到的，其中，，，.則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．若過(guò)圓內(nèi)不同于圓心的點(diǎn)恰好可以作5條長(zhǎng)度為正整數(shù)的弦，則所有符合條件的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，則（

）A．B．與夾角的余弦值為C．是等腰直角三角形D．與平行的單位向量的坐標(biāo)為或10．已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，，分別為，的離心率，則（

）A． B．C．是直角三角形 D．是個(gè)定值11．已知P為圓O：上的動(dòng)點(diǎn)，直線l：與x，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，Q為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則（

）A．若點(diǎn)，則的最小值為B．的最小面積是4C．若，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為或D．四邊形周長(zhǎng)的最小值為第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，則.13．如圖，長(zhǎng)方體中，，，，為底面的中心，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，線段的長(zhǎng)為．14．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，圓：與直線：交于，兩點(diǎn)，與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)，且，則面積的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）如圖，M，N分別是四面體的棱OA，BC的中點(diǎn)，是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，，．(1)以為基表示；(2)若，，，，求的最小值．16．（15分）已知兩直線，．(1)求直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求過(guò)直線交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程；(3)若直線與直線能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)的取值范圍．17．（15分）已知四棱錐，，，，于點(diǎn)E，．(1)若點(diǎn)F在線段PE上，且∥平面，證明：F是中點(diǎn)．(2)若平面，求直線與平面所成角的正弦值．18．（17分）已知直線恒過(guò)定點(diǎn)，且以為圓心的圓與直線相切.(1)求圓的一般方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，判斷是否為定值.若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（17分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離的比值為，記的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線.(1)求的方程.(2)設(shè)、是與軸的交點(diǎn)，是上異于、的一點(diǎn)，直線、的斜率分別為、.證明：為定值.(3)已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，、是上異于的兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為，求的面積的最大值.

2025-2026學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中模擬卷全解全析（考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：人教B版選擇性必修第一冊(cè)第一章~第二章。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)，直線的傾斜角為，若，則的值為（

）A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1【答案】C【詳解】由得，或．當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得．綜上，的值為3或．故選：C.2．已知空間中點(diǎn)，，，，若A，B，C，D四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)椋?，，，所以，，，因?yàn)樗狞c(diǎn)共面，所以與共面，即存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使得，所以，所以，解得．故選：B3．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，D為BC邊上一點(diǎn)，且，，當(dāng)在變化時(shí)，點(diǎn)總在橢圓上，則該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（

）A．6 B． C． D．3【答案】A【詳解】由及余弦定理，得，整理得，即，故該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為.故選：A4．已知三棱柱中，是的中點(diǎn)，則（

）A． B．2 C． D．2【答案】C【詳解】由于，所以，故選：C5．已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，若的離心率為，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】如圖：設(shè)橢圓：，雙曲線：.因?yàn)樗鼈冇邢嗤慕裹c(diǎn)，所以.不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，且，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以.又，所以.又在雙曲線上，所以.所以.所以雙曲線的離心率為：.故選：A6．如圖所示的多面體是由底面為的正方體被截面所截而得到的，其中，，，.則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題可得以為原點(diǎn)，以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，，，，設(shè)，由共面可得存在實(shí)數(shù)使得：所以，則，解得，所以又平面，所以是平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的法向量為，又，所以，令，則所以，由圖可知二面角為銳角所以二面角的余弦值為.故選：B.7．若過(guò)圓內(nèi)不同于圓心的點(diǎn)恰好可以作5條長(zhǎng)度為正整數(shù)的弦，則所有符合條件的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由得，所以圓的圓心為，半徑，因?yàn)橹睆绞亲铋L(zhǎng)的弦，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，過(guò)點(diǎn)的弦中，直徑是最長(zhǎng)的弦，長(zhǎng)度為，以下分析過(guò)點(diǎn)的最短的弦，

由垂徑定理知弦，其中為圓心到弦的距離，要使得最短，則最大，由圖可知，，當(dāng)弦時(shí)取到等號(hào)，所以當(dāng)弦時(shí)，最大，弦長(zhǎng)最短，根據(jù)圓的對(duì)稱性，這條長(zhǎng)度為正整數(shù)的弦長(zhǎng)度分別是，要使得有兩條長(zhǎng)度為的弦，則最短弦長(zhǎng)小于，要使得沒(méi)有長(zhǎng)度為的弦，則最短弦長(zhǎng)大于，因此，過(guò)點(diǎn)的最短的弦長(zhǎng)，

因?yàn)橄议L(zhǎng)最短時(shí)弦，所以，，，所以點(diǎn)落在以為圓心，半徑分別為和的圓所夾的圓環(huán)內(nèi)，所以該區(qū)域的面積為，故選：B.8．已知點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑為，因?yàn)?，為圓的切線，切點(diǎn)分別為，所以，，，，所以，所以，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)最大，又，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，最大，此時(shí)最大，最小，則．故選：D．

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，，，則（

）A．B．與夾角的余弦值為C．是等腰直角三角形D．與平行的單位向量的坐標(biāo)為或【答案】ABD【詳解】A：，則，對(duì)；B：，，則，，所以，對(duì)；D：與平行的單位向量為，即或，對(duì)；C：根據(jù)A、B的分析過(guò)程，知三條邊長(zhǎng)各不相等，所以不是等腰直角三角形，錯(cuò).故選：ABD10．已知是橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，點(diǎn)是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)，，分別為，的離心率，則（

）A． B．C．是直角三角形 D．是個(gè)定值【答案】ACD【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)橛泄驳慕裹c(diǎn)，得，即，又，所以可得.故A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)橛泄驳慕裹c(diǎn)，可得，，，得，即，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，因?yàn)橛泄驳慕裹c(diǎn)，可得，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，由橢圓和雙曲線的定義得，，，所以，，，，所以，故是直角三角形，故C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)橛泄驳慕裹c(diǎn)，可得，，，因此，故D正確.故選：ACD.11．（多選）已知P為圓O：上的動(dòng)點(diǎn)，直線l：與x，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，Q為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則（

）A．若點(diǎn)，則的最小值為B．的最小面積是4C．若，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為或D．四邊形周長(zhǎng)的最小值為【答案】ACD【詳解】由題意得，，，因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外，所以可知的最小值，即為當(dāng)M，P，C三點(diǎn)共線時(shí)的值，，A正確；由題意得，，圓O的圓心到直線l的距離，所以點(diǎn)P到該直線距離的最小值為，所以，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，所以，所以．設(shè)，則解得或所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或，C正確；四邊形的周長(zhǎng)為，因?yàn)?，所以四邊形的周長(zhǎng)為．設(shè)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)也取得最小值，則，則四邊形的周長(zhǎng)為，則當(dāng)t取最小值時(shí)，四邊形的周長(zhǎng)最小，最小值為，D正確．故選：ACD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，則.【答案】【詳解】圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離，所以.故答案為：13．如圖，長(zhǎng)方體中，，，，為底面的中心，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，線段的長(zhǎng)為．【答案】【詳解】如圖以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，則，設(shè)，則，因?yàn)椤?，所以，得，所以（），則，設(shè)點(diǎn)到的距離為，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)的面積取得最小值，所以，所以故答案為：14．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：上異于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，圓：與直線：交于，兩點(diǎn)，與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)，且，則面積的取值范圍為.【答案】【詳解】由題可知與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)，，.由，可得.因?yàn)槭巧系狞c(diǎn)，所以，則.又，所以.設(shè)到的距離為，則，則.由，可得，，則，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）如圖，M，N分別是四面體的棱OA，BC的中點(diǎn)，是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，，．(1)以為基表示；(2)若，，，，求的最小值．【詳解】（1）． 5分（2）， 11分故當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以． 13分16．（15分）已知兩直線，．(1)求直線與的交點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求過(guò)直線交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程；(3)若直線與直線能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）由題意得，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為． 3分（2）設(shè)所求直線為，（ⅰ）當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，直線的方程為，即； 6分（ⅱ）當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，直線的方程為，即．綜上，直線的方程為或． 8分（3）（?。┊?dāng)直線與平行時(shí)，不能構(gòu)成三角形，此時(shí)，解得； 10分（ⅱ）當(dāng)直線與平行時(shí)，不能構(gòu)成三角形，此時(shí)，解得； 12分（ⅲ）當(dāng)直線過(guò)與的交點(diǎn)時(shí)，不能構(gòu)成三角形，此時(shí)，解得．綜上，當(dāng)，且，且時(shí)，能構(gòu)成三角形． 15分17．（15分）已知四棱錐，，，，于點(diǎn)E，．(1)若點(diǎn)F在線段PE上，且∥平面，證明：F是中點(diǎn)．(2)若平面，求直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)作，交于,連接，因?yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共面， 3分因?yàn)槠矫?，平面，平面∩平面，所以，又，所以四邊形是平行四邊形?5分所以，所以分別是的中點(diǎn)，即是中點(diǎn)得證. 7分（2）因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，，平面，所以平面?9分連接，因?yàn)?，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以?11分以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖，則，，，設(shè)是平面的法向量，則，即，令，則，所以是平面的一個(gè)法向量. 13分設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值是. 15分18．已知直線恒過(guò)定點(diǎn)，且以為圓心的圓與直線相切.(1)求圓的一般方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，判斷是否為定值.若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【詳解】（1）由可得，當(dāng)時(shí)，解得，故直線恒過(guò)定點(diǎn)， 2分所以圓心到切線的距離，即圓的半徑為2, 4分所以圓的方程為：，故圓的一般方程為 6分（2）點(diǎn)到圓心的距離，故點(diǎn)在圓外， 8分如圖，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交時(shí)斜率存在，故設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，代入圓的方程可得， 10分當(dāng)時(shí)，設(shè)，，則， 13分所以.即為定值13. 17分19．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與它到直線的距離的比值為，記的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線.(1)求的方程.(2)設(shè)、是與軸的交點(diǎn)，是上異于、的一點(diǎn)，直線、的斜率分別為、.證明：為定值