高中數(shù)學(xué)解析幾何專題講義與習(xí)題解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，它通過建立坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進(jìn)行研究，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想。本講義旨在系統(tǒng)梳理解析幾何的核心知識，并通過典型例題與習(xí)題，幫助同學(xué)們掌握解決解析幾何問題的基本方法與技巧。一、坐標(biāo)與方程——解析幾何的基石1.1平面直角坐標(biāo)系與點(diǎn)的坐標(biāo)在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系。平面上任意一點(diǎn)都可以用一對有序?qū)崝?shù)（坐標(biāo)）來表示，這對實(shí)數(shù)分別稱為該點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)。坐標(biāo)法是解析幾何的基礎(chǔ)，它使得幾何對象得以量化。1.2曲線與方程在平面直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系：1.曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個方程的解；2.以這個方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。那么，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線。理解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，是解決解析幾何問題的前提。我們通常通過求曲線的方程來研究曲線的性質(zhì)，或者通過分析方程的特征來探究曲線的形狀和位置。二、直線與圓2.1直線的方程2.1.1直線的傾斜角與斜率在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線，把x軸（正方向）按逆時針方向繞著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)過的最小正角，叫做這條直線的傾斜角。當(dāng)直線與x軸平行或重合時，規(guī)定其傾斜角為0。傾斜角α的取值范圍是[0,π)。傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，常用k表示，即k=tanα。傾斜角為90°的直線沒有斜率。經(jīng)過兩點(diǎn)P?(x?,y?)，P?(x?,y?)（x?≠x?）的直線的斜率公式為：k=(y?-y?)/(x?-x?)。2.1.2直線方程的幾種形式*點(diǎn)斜式：已知直線過點(diǎn)(x?,y?)，斜率為k，則直線方程為y-y?=k(x-x?)。（不包含垂直于x軸的直線）*斜截式：已知直線斜率為k，在y軸上的截距為b，則直線方程為y=kx+b。（不包含垂直于x軸的直線）*兩點(diǎn)式：已知直線過兩點(diǎn)P?(x?,y?)，P?(x?,y?)（x?≠x?，y?≠y?），則直線方程為(y-y?)/(y?-y?)=(x-x?)/(x?-x?)。（不包含垂直于坐標(biāo)軸的直線）*截距式：已知直線在x軸、y軸上的截距分別為a、b（a≠0，b≠0），則直線方程為x/a+y/b=1。（不包含過原點(diǎn)及垂直于坐標(biāo)軸的直線）*一般式：任何直線都可以表示為Ax+By+C=0（A、B不同時為0）的形式，稱為直線的一般式方程。2.1.3兩條直線的位置關(guān)系設(shè)兩條直線的方程分別為l?:A?x+B?y+C?=0，l?:A?x+B?y+C?=0。*平行：l?∥l??A?B?-A?B?=0且A?C?-A?C?≠0（或B?C?-B?C?≠0）。當(dāng)兩直線斜率都存在時，k?=k?且b?≠b?。*重合：l?與l?重合?A?B?-A?B?=0且A?C?-A?C?=0且B?C?-B?C?=0。當(dāng)兩直線斜率都存在時，k?=k?且b?=b?。*相交：l?與l?相交?A?B?-A?B?≠0。當(dāng)兩直線斜率都存在時，k?≠k?。*垂直：l?⊥l??A?A?+B?B?=0。當(dāng)兩直線斜率都存在時，k?k?=-1。2.1.4距離公式*點(diǎn)到直線的距離：點(diǎn)P(x?,y?)到直線Ax+By+C=0的距離d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)。*兩條平行直線間的距離：兩條平行直線Ax+By+C?=0與Ax+By+C?=0間的距離d=|C?-C?|/√(A2+B2)。（注意：兩直線方程中x、y的系數(shù)需對應(yīng)相等）2.2圓的方程2.2.1圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做圓。定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為半徑。圓心為(a,b)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2。2.2.2圓的一般方程將圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開并整理，可以得到x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式，稱為圓的一般方程。其圓心坐標(biāo)為(-D/2,-E/2)，半徑r=√(D2+E2-4F)/2。方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是D2+E2-4F>0。2.2.3點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系*點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：設(shè)點(diǎn)P(x?,y?)，圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2。計算點(diǎn)P到圓心C的距離d=√[(x?-a)2+(y?-b)2]。d<r?點(diǎn)在圓內(nèi)；d=r?點(diǎn)在圓上；d>r?點(diǎn)在圓外。*直線與圓的位置關(guān)系：設(shè)直線l:Ax+By+C=0，圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2，圓心C到直線l的距離為d。d>r?相離，無公共點(diǎn)；d=r?相切，有一個公共點(diǎn)；d<r?相交，有兩個公共點(diǎn)。也可通過聯(lián)立直線與圓的方程，消元后得到一元二次方程，根據(jù)判別式Δ的符號來判斷：Δ>0?相交；Δ=0?相切；Δ<0?相離。2.3直線與圓的綜合應(yīng)用（例題與習(xí)題）例題1：已知直線l過點(diǎn)P(1,2)，且與直線2x-y+1=0平行，求直線l的方程。分析：兩直線平行，斜率相等。先求出已知直線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出直線l的方程。解答：直線2x-y+1=0的斜率為2。因?yàn)橹本€l與之平行，所以直線l的斜率也為2。由點(diǎn)斜式得：y-2=2(x-1)，化簡得2x-y=0。故直線l的方程為2x-y=0。例題2：求圓心在直線x-y-4=0上，且經(jīng)過兩圓x2+y2-4x-3=0和x2+y2-4y-3=0的交點(diǎn)的圓的方程。分析：可設(shè)經(jīng)過兩圓交點(diǎn)的圓系方程，再根據(jù)圓心在已知直線上求出參數(shù)。解答：設(shè)所求圓的方程為x2+y2-4x-3+λ(x2+y2-4y-3)=0(λ≠-1)。整理得：(1+λ)x2+(1+λ)y2-4x-4λy-3(1+λ)=0。圓心坐標(biāo)為(2/(1+λ),2λ/(1+λ))。因?yàn)閳A心在直線x-y-4=0上，所以2/(1+λ)-2λ/(1+λ)-4=0。解得λ=-1/3。將λ=-1/3代入所設(shè)方程，化簡得x2+y2-6x+2y-3=0。故所求圓的方程為x2+y2-6x+2y-3=0。習(xí)題A組（基礎(chǔ)鞏固）：1.求過點(diǎn)(2,-1)且傾斜角為45°的直線方程。2.已知圓的方程為x2+y2-2x+4y-4=0，求其圓心坐標(biāo)和半徑。3.判斷直線3x+4y-12=0與圓x2+y2=9的位置關(guān)系。習(xí)題B組（能力提升）：1.已知直線l:y=kx+1與圓C:(x-1)2+(y-1)2=1相交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=√2，求k的值。2.求與圓x2+y2=4外切于點(diǎn)P(1,√3)，且半徑為4的圓的方程。三、圓錐曲線3.1橢圓3.1.1橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F?、F?的距離之和等于常數(shù)（大于|F?F?|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距，記為2c(c>0)。常數(shù)記為2a(a>c)。3.1.2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)*焦點(diǎn)在x軸上：標(biāo)準(zhǔn)方程：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)，其中b2=a2-c2。圖形特征：關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱。頂點(diǎn)：(±a,0)，(0,±b)。長軸長2a，短軸長2b。焦點(diǎn)：F?(-c,0)，F(xiàn)?(c,0)。離心率：e=c/a(0<e<1)，e越小，橢圓越圓；e越大，橢圓越扁。*焦點(diǎn)在y軸上：標(biāo)準(zhǔn)方程：y2/a2+x2/b2=1(a>b>0)，其中b2=a2-c2。頂點(diǎn)：(0,±a)，(±b,0)。焦點(diǎn)：F?(0,-c)，F(xiàn)?(0,c)。其他性質(zhì)（對稱性、離心率）與焦點(diǎn)在x軸上類似。3.2雙曲線3.2.1雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F?、F?的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于|F?F?|且不等于零）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距，記為2c(c>0)。常數(shù)記為2a(0<a<c)。3.2.2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)*焦點(diǎn)在x軸上：標(biāo)準(zhǔn)方程：x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)，其中c2=a2+b2。圖形特征：關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)對稱。頂點(diǎn)：(±a,0)。實(shí)軸長2a，虛軸長2b。焦點(diǎn)：F?(-c,0)，F(xiàn)?(c,0)。漸近線方程：y=±(b/a)x。離心率：e=c/a(e>1)，e越大，雙曲線的開口越開闊。*焦點(diǎn)在y軸上：標(biāo)準(zhǔn)方程：y2/a2-x2/b2=1(a>0,b>0)，其中c2=a2+b2。頂點(diǎn)：(0,±a)。焦點(diǎn)：F?(0,-c)，F(xiàn)?(0,c)。漸近線方程：y=±(a/b)x。其他性質(zhì)（對稱性、離心率）與焦點(diǎn)在x軸上類似。3.3拋物線3.3.1拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過點(diǎn)F）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線。點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。3.3.2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，取決于焦點(diǎn)的位置和開口方向：*焦點(diǎn)在x軸正半軸：y2=2px(p>0)，焦點(diǎn)F(p/2,0)，準(zhǔn)線x=-p/2。*焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸：y2=-2px(p>0)，焦點(diǎn)F(-p/2,0)，準(zhǔn)線x=p/2。*焦點(diǎn)在y軸正半軸：x2=2py(p>0)，焦點(diǎn)F(0,p/2)，準(zhǔn)線y=-p/2。*焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸：x2=-2py(p>0)，焦點(diǎn)F(0,-p/2)，準(zhǔn)線y=p/2。幾何性質(zhì)：拋物線關(guān)于其對稱軸（所在坐標(biāo)軸）對稱；頂點(diǎn)在原點(diǎn)；離心率e=1。p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離。3.4圓錐曲線的綜合應(yīng)用（例題與習(xí)題）例題3：已知橢圓的兩個焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F?(-2,0)，F(xiàn)?(2,0)，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)P(5/2,-3/2)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。分析：根據(jù)橢圓定義，橢圓上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為2a。先求出2a，進(jìn)而求出a，再由c求出b。解答：由橢圓定義知，|PF?|+|PF?|=2a。計算|PF?|=√[(5/2+2)2+(-3/2-0)2]=√[(9/2)2+(-3/2)2]=√(