八年級(jí)數(shù)學(xué)全冊知識(shí)點(diǎn)導(dǎo)學(xué)案前言親愛的同學(xué)們，當(dāng)你們翻開這份導(dǎo)學(xué)案時(shí)，你們已經(jīng)站在了初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。八年級(jí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，在七年級(jí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了拓展與深化，既有形象具體的幾何圖形，也有抽象概括的代數(shù)運(yùn)算，更有揭示變量關(guān)系的函數(shù)思想。這份導(dǎo)學(xué)案旨在成為你們學(xué)習(xí)旅途中的一位良師益友，幫助你們梳理知識(shí)脈絡(luò)，明晰重點(diǎn)難點(diǎn)，掌握基本方法，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。本導(dǎo)學(xué)案的編寫，力求體現(xiàn)知識(shí)的系統(tǒng)性與邏輯性，注重?cái)?shù)學(xué)概念的形成過程和數(shù)學(xué)思想方法的滲透。每一章都設(shè)有學(xué)習(xí)目標(biāo)、知識(shí)梳理、要點(diǎn)精析、典例引路以及基礎(chǔ)鞏固與拓展延伸等環(huán)節(jié)，希望能引導(dǎo)你們主動(dòng)思考，積極探索，真正理解和掌握所學(xué)知識(shí)，并能運(yùn)用它們解決實(shí)際問題。請記住，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅僅是公式的記憶和題目的演算，更是邏輯思維的訓(xùn)練和理性精神的培養(yǎng)。遇到困難時(shí)，請不要輕易放棄，多思多問，多練多用。這份導(dǎo)學(xué)案或許不能涵蓋所有細(xì)節(jié)，但它希望能為你們打開一扇窗，讓你們看到數(shù)學(xué)世界的廣闊與精彩。愿你們能從中汲取養(yǎng)分，在數(shù)學(xué)的天地里自由翱翔，體會(huì)思考的樂趣，收獲成長的喜悅。目錄1.三角形與三角形有關(guān)的線段與三角形有關(guān)的角多邊形及其內(nèi)角和全等三角形軸對(duì)稱2.一次函數(shù)函數(shù)一次函數(shù)一次函數(shù)與方程、不等式課題學(xué)習(xí)：選擇方案3.勾股定理勾股定理勾股定理的逆定理勾股定理的應(yīng)用4.整式的乘除與因式分解整式的乘法乘法公式整式的除法因式分解5.分式分式分式的運(yùn)算分式方程6.數(shù)據(jù)的分析平均數(shù)中位數(shù)與眾數(shù)方差7.概率初步隨機(jī)事件與概率用列舉法求概率用頻率估計(jì)概率---第一章三角形1.1與三角形有關(guān)的線段學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解三角形的概念，能按邊和角對(duì)三角形進(jìn)行分類。2.掌握三角形三邊之間的關(guān)系，并能運(yùn)用其解決簡單問題。3.理解三角形的高、中線、角平分線的概念，并能在具體三角形中作出它們。4.了解三角形的穩(wěn)定性及其在生活中的應(yīng)用。知識(shí)梳理：1.三角形的定義：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。2.三角形的基本元素：三角形有三條邊、三個(gè)頂點(diǎn)、三個(gè)內(nèi)角。3.三角形的表示：三角形用符號(hào)“△”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“△ABC”。4.三角形的分類：*按邊分：不等邊三角形、等腰三角形（底邊和腰不相等的等腰三角形、等邊三角形）。*按角分：銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。5.三角形三邊關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊。6.三角形的重要線段：*高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高。*中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線。三角形的三條中線相交于一點(diǎn)，這點(diǎn)叫做三角形的重心。*角平分線：在三角形中，一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線。7.三角形的穩(wěn)定性：三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形沒有穩(wěn)定性。要點(diǎn)精析：*判斷三條線段能否組成三角形，只需驗(yàn)證兩條較短邊的和是否大于最長邊即可。*三角形的高、中線、角平分線都是線段，而非直線或射線。*鈍角三角形有兩條高在三角形外部，直角三角形有兩條高恰好是它的兩條直角邊。*三角形的重心將每條中線分成兩部分，較長部分與較短部分之比為2:1。典例引路：例1：下列長度的三條線段能否組成三角形？為什么？(1)3,4,8(2)5,6,11(3)5,6,10分析：判斷三條線段能否組成三角形，依據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊”。但通常不需要逐一驗(yàn)證三個(gè)不等式，只需將兩條較短的線段之和與最長的線段比較即可。解：(1)因?yàn)?+4=7<8，所以不能組成三角形。(2)因?yàn)?+6=11，所以不能組成三角形（等于不行，必須大于）。(3)因?yàn)?+6=11>10，所以能組成三角形?；A(chǔ)鞏固：1.一個(gè)三角形的兩邊長分別是3和7，第三邊長為偶數(shù)，則這個(gè)三角形的周長是多少？2.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，BE是∠ABC的平分線，CF是AB邊上的高。請寫出圖中所有相等的線段和相等的角（至少各寫兩組）。1.2與三角形有關(guān)的角學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解三角形內(nèi)角和定理，并能運(yùn)用其進(jìn)行簡單計(jì)算和推理。2.理解三角形的外角的概念，掌握三角形外角的性質(zhì)。3.能運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理及外角性質(zhì)解決實(shí)際問題。知識(shí)梳理：1.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°。2.直角三角形的性質(zhì)與判定：*性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。*判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形。3.三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。4.三角形外角的性質(zhì)：*三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。*三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角。5.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°（每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角）。要點(diǎn)精析：*三角形內(nèi)角和定理是解決三角形角度計(jì)算問題的基礎(chǔ)，其證明方法多樣（如拼湊法、作平行線法等），核心思想是將三個(gè)內(nèi)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)平角或同旁內(nèi)角。*三角形的外角必須是“一邊與另一邊的延長線”組成的角，要注意辨別哪個(gè)角是哪個(gè)三角形的外角。*外角性質(zhì)中的“不相鄰”是關(guān)鍵詞，運(yùn)用時(shí)要找準(zhǔn)外角與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角。典例引路：例2：在△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求△ABC各內(nèi)角的度數(shù)。分析：已知三個(gè)角的比例關(guān)系，可設(shè)每份為x，然后根據(jù)內(nèi)角和定理列出方程求解。解：設(shè)∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x。根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得2x+3x+4x=180°解得x=20°所以∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°。例3：如圖，D是△ABC的邊BC延長線上一點(diǎn)，∠A=60°，∠B=40°，求∠ACD的度數(shù)。分析：∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，根據(jù)外角性質(zhì)，它等于∠A+∠B。解：因?yàn)椤螦CD是△ABC的外角，所以∠ACD=∠A+∠B=60°+40°=100°?；A(chǔ)鞏固：1.在△ABC中，∠A=50°，∠B比∠C大20°，求∠B和∠C的度數(shù)。2.一個(gè)三角形的一個(gè)外角是100°，與它不相鄰的一個(gè)內(nèi)角是55°，則另一個(gè)不相鄰的內(nèi)角是多少度？1.3多邊形及其內(nèi)角和學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解多邊形、正多邊形、多邊形的內(nèi)角、外角、對(duì)角線等概念。2.掌握多邊形內(nèi)角和公式，并能運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算。3.掌握多邊形外角和定理，并能運(yùn)用其解決問題。4.了解多邊形對(duì)角線的條數(shù)與邊數(shù)的關(guān)系。知識(shí)梳理：1.多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形。如果一個(gè)多邊形由n條線段組成，那么這個(gè)多邊形叫做n邊形。2.多邊形的相關(guān)概念：*內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。*外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。*對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線。*正多邊形：各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。3.多邊形內(nèi)角和公式：n邊形內(nèi)角和等于(n-2)×180°。4.多邊形外角和定理：多邊形的外角和等于360°（與邊數(shù)無關(guān)）。5.n邊形對(duì)角線的條數(shù)：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引(n-3)條對(duì)角線，n邊形共有n(n-3)/2條對(duì)角線。要點(diǎn)精析：*多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)是將多邊形分割成若干個(gè)三角形，分割的方法不唯一，但核心是利用三角形內(nèi)角和為180°。*多邊形的外角和是指在每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，這些外角的和。無論n邊形的邊數(shù)如何變化，其外角和始終是360°。*正多邊形要求“各邊相等”和“各角相等”兩個(gè)條件同時(shí)滿足，僅有邊相等或僅有角相等的多邊形不一定是正多邊形（如菱形、矩形）。典例引路：例4：求十邊形的內(nèi)角和與外角和。解：十邊形的內(nèi)角和為(10-2)×180°=8×180°=1440°。十邊形的外角和為360°。例5：一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。分析：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)內(nèi)角和公式和外角和定理，列出方程求解。解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n。由題意得(n-2)×180°=3×360°解得n-2=6n=8所以這個(gè)多邊形是八邊形?；A(chǔ)鞏固：1.一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于135°，則這個(gè)多邊形是幾邊形？2.若一個(gè)多邊形有35條對(duì)角線，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。1.4全等三角形學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解全等形、全等三角形的概念，能識(shí)別全等三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角。2.掌握全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。3.能運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)解決簡單的問題。4.掌握三角形全等的判定方法（SSS,SAS,ASA,AAS,HL），并能運(yùn)用這些方法判定兩個(gè)三角形全等。5.能利用三角形全等證明線段相等、角相等。知識(shí)梳理：1.全等形與全等三角形：能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形。能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。2.全等三角形的表示：全等用符號(hào)“≌”表示，讀作“全等于”。記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。3.全等三角形的性質(zhì)：*全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等。*全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。*全等三角形的對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)角的平分線相等，周長相等，面積相等。（這些是由基本性質(zhì)推導(dǎo)出來的）4.三角形全等的判定方法：*SSS（邊邊邊）：三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。*SAS（邊角邊）：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等。（注意：必須是“夾角”）*ASA（角邊角）：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。*AAS（角角邊）：兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。*HL（斜邊、直角邊）：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等。（僅適用于直角三角形）5.證明三角形全等的基本思路：*已知兩邊：找夾角（SAS）或找第三邊（SSS）。*已知一邊一角：若邊為角的對(duì)邊，則找任一角（AAS）；若邊為角的鄰邊，則找夾角的另一邊（SAS）或找夾邊的另一角（ASA）或找邊的對(duì)角（AAS）。*已知兩角：找夾邊（ASA）或找一角的對(duì)邊（AAS）。要點(diǎn)精析：*“對(duì)應(yīng)”是全等三角形的核心概念。書寫全等時(shí)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)字母的順序要對(duì)應(yīng)，以便快速找到對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。*SSA和AAA不能判定兩個(gè)三角形全等。要特別注意SSA的情況，在某些特定條件下（如直角三角形）它是成立的（即HL），但一般情況下不成立。*利用全等三角形證明線段或角相等，關(guān)鍵是要找到或構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形，并明確要證的線段或角是這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊或?qū)?yīng)角。*在復(fù)雜圖形中，要善于從圖形中分離出基本的全等三角形模型，如“公共邊”、“公共角”、“對(duì)頂角”等都是隱含的相等條件。典例引路：例6：如圖，已知AB=AD，BC=DC，求證：△ABC≌△ADC。證明：在△ABC和△ADC中，AB=AD(已知)BC=DC(已知)AC=AC(公共邊)∴△ABC≌△ADC(SSS)例7：如圖，點(diǎn)E、F在AC上，AD//BC，AD=CB，AE=CF。求證：∠B=∠D。分析：要證∠B=∠D，可證△ADF≌△CBE。已知AD=CB，AE=CF，可推出AF=CE。又由AD//BC，可得∠A=∠C。從而可用SAS證全等。證明：∵AD//BC(已知)∴∠A=∠C(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)∵AE=CF(已知)∴AE+EF=CF+EF(等式的性質(zhì))即AF=CE在△ADF和△CBE中，AD=CB(已知)∠A=∠C(已證)AF=CE(已證)∴△ADF≌△CBE(SAS)∴∠B=∠D(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)基礎(chǔ)鞏固：1.如圖，△ABC≌△DEF，寫出圖中所有相等的線段和相等的角。若∠A=50°，∠B=60°，求∠F的度數(shù)。2.已知：如圖，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為