第二十四章圓24.2.2直線和圓的位置關(guān)系第3課時(shí)切線長(zhǎng)定理及三角形的內(nèi)切圓

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課教學(xué)過程2

如右圖，紙上有一⊙O，PA為⊙O的一條切線，沿著直線PO對(duì)折，設(shè)圓上與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為B.1.OB是⊙O的一條半徑嗎？2.PB是⊙O的切線嗎？3.PA、PB有何關(guān)系？4.∠APO和∠BPO有何關(guān)系？

1.實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：準(zhǔn)備：為了研究方便，我們這樣定義切線長(zhǎng)：

經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做切線長(zhǎng).

實(shí)驗(yàn)：在紙上按上面的要求，動(dòng)手試一試，你找到答案了嗎?由此你能得到什么結(jié)論?

從上面的操作過程我們可以得到：

二、合作探究，感受新知

2.總結(jié)結(jié)論：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

教師直接給出切線長(zhǎng)定義.

學(xué)生識(shí)記，分組討論合作交流，總結(jié)結(jié)論.

3.驗(yàn)證：例1.如下圖，已知PA、PB是⊙O的兩條切線，求證：PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.證明：∵PA、PB是⊙O的兩條切線.∴OA⊥AP，OB⊥BP.又OA＝OB，OP＝OP,∴Rt△AOP≌Rt△BOP,∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.

通過上面問題我們就得到下面切線長(zhǎng)定理：

從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

教師引導(dǎo)、點(diǎn)撥，點(diǎn)評(píng)：證明線段相等、角相等一般都是證明三角形全等.只要證明：Rt△AOP≌Rt△BOP問題就解決了.

學(xué)生先自主探索，再寫出推理過程.

分析、總結(jié)，交流.4.思考：已知：如右圖一張三角形的鐵皮.如何在它上面截下一塊圓形的用料，并且使圓的面積盡可能大呢?

大家作出的圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.內(nèi)切圓的圓心叫三角形的內(nèi)心(三角形三條角平分線的交點(diǎn))

教師引導(dǎo)、點(diǎn)撥、分析：要作出最大的圓，就是讓圓和三角形的三邊都相切，從切線長(zhǎng)定理可知圓心在三個(gè)角的平分線上，于是交點(diǎn)即是滿足題意的圓心.

學(xué)生先自主探索、完成作圖后，再說說作圖過程與同學(xué)交流交流，養(yǎng)成良好的分析問題，解決問題的能力和習(xí)慣.5.應(yīng)用例2：教材第100頁.

解：設(shè)AF=x(cm)，則AE＝x(cm),CD＝CE=AC-AE=13-x,BD=BF=AB-AF=9-x.

由BD+CD=BC可得（13-x）+(9-x)=14.

解得x=4.

因此AF=4cm，BD=5cm，CE=9cm.

組織學(xué)生嘗試練習(xí)，教師巡回輔導(dǎo)，對(duì)于疑難問題及時(shí)點(diǎn)撥，對(duì)于共性問題，集體解決.

學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)后，集體交流評(píng)價(jià)，寫出解答過程，體會(huì)方法，形成規(guī)律，獲得成功體驗(yàn).

例3.實(shí)驗(yàn)：在兩張透明的紙上，畫兩個(gè)半徑不同的圓，把兩張紙疊合在一起，一個(gè)固定，移動(dòng)另一張，仔細(xì)觀察：在移動(dòng)過程中，兩圓共有幾種位置關(guān)系?每種位置關(guān)系兩圓有多少個(gè)公共點(diǎn)?重復(fù)做幾次，把每種情況用圖記錄下來.

由此你能得到什么結(jié)論?

結(jié)論：

(1)圓與圓有五種位置關(guān)系：

①外離：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，并且每一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部；②外切：兩個(gè)圓有唯一公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部；③相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，一個(gè)圓上的點(diǎn)有的在另一個(gè)圓的外部，有的在另一個(gè)圓的內(nèi)部；④內(nèi)切：兩個(gè)圓有一個(gè)公共點(diǎn)，除公共點(diǎn)外，⊙O2上的點(diǎn)在⊙O1的內(nèi)部；⑤內(nèi)含：兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，⊙O2上的點(diǎn)都在⊙O1的內(nèi)部，同心圓是內(nèi)含的特殊情況.

(2)外離和內(nèi)含都沒有公共點(diǎn);外切和內(nèi)切都有一個(gè)公共點(diǎn)；相交有兩個(gè)公共點(diǎn).因此只從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來考慮，可分為相離、相切、相交三種.

教師用電腦演示動(dòng)態(tài)變化的過程，引導(dǎo)學(xué)生，發(fā)現(xiàn)總結(jié)圓與圓的五種位置關(guān)系，并畫出示意圖.

教師引導(dǎo)：如果只從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來考慮，上面的五種位置關(guān)系中有相同類型嗎?

學(xué)生畫圖實(shí)驗(yàn)，觀察分析、總結(jié)概括圓與圓的五種位置關(guān)系.

學(xué)生思考?xì)w納出圓與圓的位置關(guān)系的另一種分法.2.探索：設(shè)兩圓的半徑分別為R和r.(1)當(dāng)兩圓外切時(shí)，兩圓圓心之間的距離(簡(jiǎn)稱圓心距)d與R和r具有怎樣的關(guān)系?反之當(dāng)d與R和r滿足這一關(guān)系時(shí)，這兩個(gè)圓一定外切嗎?(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)(R>r)，圓心距d與R和r具有怎樣的關(guān)系?反之，當(dāng)d與R和r滿足這一關(guān)系時(shí)，這兩個(gè)圓一定內(nèi)切嗎?

通過上面問題我們就得到下面的結(jié)論：兩圓外切d=R+r;兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r);

兩圓內(nèi)含d<R-r(R>r);兩圓相交R-r<d<R+r.

教師引導(dǎo)、點(diǎn)撥、點(diǎn)評(píng)：

（1）當(dāng)兩圓相外切時(shí)，有d=R+r，反過來，當(dāng)d=R+r時(shí)，兩圓相外切，即兩圓相外切d=R+r.

（2）當(dāng)兩圓相內(nèi)切時(shí)，有d=R-r，反過來，當(dāng)d=R-r時(shí)，兩圓相內(nèi)切，即兩圓相內(nèi)切d=R-r.

學(xué)生小組合作，分析、總結(jié)，交流、探索圓與圓的五種位置關(guān)系的數(shù)量關(guān)系