中學(xué)數(shù)學(xué)最短路徑問(wèn)題專項(xiàng)訓(xùn)練題庫(kù)引言在中學(xué)數(shù)學(xué)的幾何學(xué)習(xí)中，“最短路徑問(wèn)題”既是重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，更是各類考試中備受青睞的題型。它不僅考察學(xué)生對(duì)幾何圖形性質(zhì)的理解，更考驗(yàn)其運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力。這類問(wèn)題往往與生活緊密相連，趣味性與挑戰(zhàn)性并存。掌握解決最短路徑問(wèn)題的核心思路與常用方法，對(duì)于提升學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力以及綜合應(yīng)用能力至關(guān)重要。本專項(xiàng)訓(xùn)練題庫(kù)旨在通過(guò)系統(tǒng)梳理與針對(duì)性練習(xí)，幫助同學(xué)們攻克這一難關(guān)，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)智慧。一、核心思想與理論依據(jù)解決最短路徑問(wèn)題，并非無(wú)章可循，其背后蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思想。最核心的依據(jù)便是幾何學(xué)中的兩個(gè)基本公理及其引申出的變換思想：1.兩點(diǎn)之間，線段最短。這是解決所有最短路徑問(wèn)題的根本出發(fā)點(diǎn)。2.垂線段最短。當(dāng)涉及點(diǎn)到直線的距離時(shí)，此公理發(fā)揮關(guān)鍵作用。3.軸對(duì)稱變換的性質(zhì)。利用軸對(duì)稱，可以將不在同一側(cè)的點(diǎn)巧妙地“搬運(yùn)”到同側(cè)，或?qū)⒄劬€問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線問(wèn)題，從而運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”來(lái)求解。這是解決最短路徑問(wèn)題中最常用也最具技巧性的思想方法。二、專項(xiàng)訓(xùn)練題庫(kù)類型一：兩點(diǎn)一線型（兩定點(diǎn)與一條直線）題目1：已知：如圖，點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)，在直線l上求作一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小。思路點(diǎn)撥：此為最經(jīng)典的“牧馬飲水”模型。要在直線l上找一點(diǎn)P使得PA+PB最小，直接連接AB與l的交點(diǎn)并非所求（因?yàn)锳、B在同側(cè)）。關(guān)鍵在于利用軸對(duì)稱，將其中一個(gè)點(diǎn)變換到直線的另一側(cè)，從而將折線PA+PB轉(zhuǎn)化為直線段。解題過(guò)程：1.作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'。2.連接A'B，交直線l于點(diǎn)P。3.點(diǎn)P即為所求。此時(shí)PA+PB=A'B，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知其值最小。變式思考：若點(diǎn)A、B在直線l的異側(cè)，如何找一點(diǎn)P使PA+PB最??？（提示：此時(shí)直接連接AB即可。）題目2：已知：如圖，點(diǎn)A在直線l外，點(diǎn)B在直線l上（可移動(dòng)）。在直線l上求作一點(diǎn)B（若B固定則為求作P），并在直線l上再找一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小。（此題可理解為點(diǎn)B在直線l上，A在直線l外，P在直線l上，求PA+PB最小值，此時(shí)B若為定點(diǎn)，則同題目1；若B為動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB最小值即為點(diǎn)A到直線l的距離。此處設(shè)定B為定點(diǎn)在l上，A在l外，求P。）思路點(diǎn)撥：若B為直線l上的一個(gè)定點(diǎn)，A為直線l外一點(diǎn)，則問(wèn)題回歸到題目1的模型（A在l外，B在l上，即A、B在l的“異側(cè)”或“同側(cè)”——若A在l外，B在l上，則可視為A在l一側(cè)，B在l上，等同于異側(cè)的特殊情況）。此時(shí)，PA+PB的最小值即為線段AB的長(zhǎng)度嗎？非也。因?yàn)镻可以與B重合，此時(shí)PA+PB=PA。但若P不與B重合，則需比較。實(shí)際上，當(dāng)B為定點(diǎn)在l上時(shí)，A在l外，P在l上，PA+PB的最小值即為點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離嗎？不對(duì)，應(yīng)該是當(dāng)P與B重合時(shí)，PA+PB=PA。若P不與B重合，則PA+PB=PA+PB≥|PA-PB|（三角形兩邊之差小于第三邊），但這似乎不是我們要的方向。更直接的，因?yàn)镻、B都在直線l上，所以PA+PB=PA+|PB|。當(dāng)P與B重合時(shí)，其值為PA（此時(shí)P=B）。若A、B不重合，則連接AB，與l交于B點(diǎn)，此時(shí)若P與B重合，則PA+PB=PA。若我們要求P異于B，則另當(dāng)別論。此處建議明確B為直線l上一定點(diǎn)，A為直線l外一定點(diǎn)，求直線l上一點(diǎn)P（P可與B重合），使PA+PB最小。則最小值為PA（當(dāng)P=B時(shí)）。但若題目設(shè)定為A、B均為直線l外同側(cè)定點(diǎn)，則同題目1。此處為避免混淆，設(shè)定為A在l外，B在l上，求P在l上，使PA+PB最小，則最小值為|AB|（當(dāng)P與B重合時(shí)，PA+PB=PA；當(dāng)P為AB與l的交點(diǎn)時(shí)（即P=B），PA+PB=PA。所以最小值即為PA的最小值，而PA的最小值為點(diǎn)A到直線l的垂線段長(zhǎng)度，此時(shí)P為垂足。哦，這里可能我之前混淆了。若B是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值是點(diǎn)A到直線l的距離（當(dāng)B與P都為垂足時(shí)）。若B是定點(diǎn)，則應(yīng)是連接AB，與l交于B，此時(shí)P=B，PA+PB=PA。若A到l的垂線段為AC，C為垂足，且C與B不重合，則AC<AB（垂線段最短），此時(shí)若P=C，則PA+PB=AC+CB。比較AC+CB與AB的大小，由三角形兩邊之和大于第三邊，AC+CB>AB。所以此時(shí)P=B時(shí)，PA+PB=AB為更小。因此，明確題目條件至關(guān)重要。此題目2建議修正為：點(diǎn)A在直線l外，點(diǎn)B在直線l上，且A、B不重合，在直線l上求一點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小。答案應(yīng)為P與B重合時(shí)，PA+PB=AB。）題目3：已知：如圖，直線l是一條小河的河岸，小明家在A處，學(xué)校在B處，A、B均在河岸l的同側(cè)。小明每天上學(xué)前要到河邊提一桶水，然后再去學(xué)校。請(qǐng)問(wèn)小明在河邊哪個(gè)位置取水，才能使從家到河邊再到學(xué)校所走的路程最短？思路點(diǎn)撥：這是“兩點(diǎn)一線型”的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題?！暗胶舆吿崴币馕吨谥本€l上找一點(diǎn)P（取水點(diǎn)），使得路徑A->P->B最短，即AP+PB最短。完全符合題目1的模型。解題過(guò)程：1.作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A'。2.連接A'B，交直線l于點(diǎn)P。3.點(diǎn)P即為小明應(yīng)在河邊取水的位置。類型二：一點(diǎn)兩線型（一定點(diǎn)與兩條相交直線）題目4：已知：如圖，∠MON內(nèi)有一點(diǎn)P，在OM、ON邊上分別求作點(diǎn)A、點(diǎn)B，使△PAB的周長(zhǎng)最小。思路點(diǎn)撥：三角形周長(zhǎng)最小，即PA+PB+AB最小。由于A、B分別在OM、ON上，直接考慮較困難。我們可以分別對(duì)定點(diǎn)P進(jìn)行軸對(duì)稱變換，將PA和PB“轉(zhuǎn)移”到對(duì)稱軸的另一側(cè)。解題過(guò)程：1.作點(diǎn)P關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)P1。2.作點(diǎn)P關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)P2。3.連接P1P2，分別交OM于點(diǎn)A，交ON于點(diǎn)B。4.連接PA、PB、AB。此時(shí)△PAB的周長(zhǎng)PA+PB+AB=P1A+P2B+AB=P1P2，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，此時(shí)周長(zhǎng)最小。題目5：已知：如圖，在∠MON的兩邊OM、ON上各有一個(gè)定點(diǎn)A、B，在∠MON內(nèi)求作一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小。思路點(diǎn)撥：此為兩定點(diǎn)分別在角的兩邊，在角內(nèi)部找一點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和最小。直接連接AB，若AB與角的內(nèi)部相交，則交點(diǎn)即為P。但通常此類問(wèn)題隱含A、B在角的兩邊，直接連接AB可能不經(jīng)過(guò)角內(nèi)部，或者題目明確要求P在角內(nèi)部。此時(shí)，可利用軸對(duì)稱，將其中一個(gè)點(diǎn)對(duì)稱到角的另一邊。解題過(guò)程：1.作點(diǎn)A關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)A'（或作點(diǎn)B關(guān)于OM的對(duì)稱點(diǎn)B'）。2.連接A'B（或AB'），交ON（或OM）于點(diǎn)P。3.點(diǎn)P即為所求。此時(shí)PA+PB=A'B（或AB'），值最小。類型三：造橋選址型（兩定點(diǎn)與兩條平行線）題目6：已知：如圖，兩條相互平行的河流（或直線）l1、l2之間有兩個(gè)村莊A、B。現(xiàn)要在兩條河流上各修建一座橋（橋身與河岸垂直），請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一座橋MN（M在l1上，N在l2上，MN⊥l1），使得從A村到B村的路徑A->M->N->B最短。思路點(diǎn)撥：“造橋選址”問(wèn)題的特點(diǎn)是橋的長(zhǎng)度是固定的（兩平行線間的距離），且橋必須垂直于河岸。關(guān)鍵在于如何將“橋長(zhǎng)”這一固定長(zhǎng)度從路徑中暫時(shí)“剝離”出去，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的最短路徑問(wèn)題。解題過(guò)程：1.過(guò)點(diǎn)A作AC⊥l1，垂足為C，在AC上截取AA'等于兩平行線l1、l2之間的距離（即橋長(zhǎng)）。2.連接A'B，交l2于點(diǎn)N。3.過(guò)點(diǎn)N作NM⊥l1于點(diǎn)M。4.連接AM、NB。則橋MN即為所求，路徑A->M->N->B最短。*原理：由于AA'平行且等于MN，四邊形AA'NM是平行四邊形，所以AM=A'N。因此路徑總長(zhǎng)AM+MN+NB=A'N+MN+NB=A'B+MN。因?yàn)镸N是定值，所以當(dāng)A'B最短時(shí)，總路徑最短。變式思考：若只需要在一條河流（即一條直線l）上造一座橋，連接河兩岸的A、B兩村（A、B在l兩側(cè)），如何選址？（提示：此時(shí)直接連接AB，與l的交點(diǎn)即為橋的一端，另一端垂直于l即可，此時(shí)路徑最短。）類型四：綜合拓展型題目7：已知：如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，點(diǎn)E是AB邊的中點(diǎn)，在對(duì)角線AC上求作一點(diǎn)P，使PB+PE的值最小，并求出這個(gè)最小值。思路點(diǎn)撥：正方形的對(duì)角線所在直線是其對(duì)稱軸。點(diǎn)B關(guān)于對(duì)角線AC的對(duì)稱點(diǎn)是哪個(gè)點(diǎn)？在正方形中，對(duì)角線AC是∠BAD和∠BCD的平分線，點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱。解題過(guò)程：1.連接DE，交AC于點(diǎn)P。2.點(diǎn)P即為所求。此時(shí)PB+PE=PD+PE=DE。3.因?yàn)镋是AB中點(diǎn)，AD=a，AE=a/2，在Rt△ADE中，DE=√(AD2+AE2)=√(a2+(a/2)2)=(√5/2)a。所以最小值為(√5/2)a。題目8：已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)。求EC+ED的最小值。思路點(diǎn)撥：這是“兩點(diǎn)一線型”在直角三角形背景下的應(yīng)用。點(diǎn)C、D是定點(diǎn)，點(diǎn)E是直線AB上的動(dòng)點(diǎn)。關(guān)鍵是找到點(diǎn)C（或點(diǎn)D）關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)。解題過(guò)程：1.作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C'。2.連接C'D，交AB于點(diǎn)E。3.此時(shí)EC+ED=EC'+ED=C'D，值最小。4.連接BC'，易證△ABC'是等腰直角三角形（因?yàn)锳C=BC，∠C=90°，C與C'關(guān)于AB對(duì)稱），所以BC'=BC=2，∠ABC'=∠ABC=45°，故∠CBC'=90°。5.因?yàn)镈是BC中點(diǎn)，BC=2，所以BD=1。6.在Rt△C'BD中，C'D=√(BC'2+BD2)=√(22+12)=√5。所以EC+ED的最小值為√5。三、解題方法總結(jié)與提煉通過(guò)以上不同類型題目的練習(xí)，我們可以總結(jié)出解決最短路徑問(wèn)題的一般步驟與方法：1.明確目標(biāo)：清楚題目要求的是哪幾條線段之和（或差）的最小值（或最大值）。2.識(shí)別模型：判斷問(wèn)題屬于“兩點(diǎn)一線”、“一點(diǎn)兩線”、“造橋選址”還是其他綜合類型。3.運(yùn)用變換：主要是軸對(duì)稱變換，有時(shí)也會(huì)用到平移變換（如造橋選址中，將橋長(zhǎng)平移）。其目的是將分散的線段集中，將折線轉(zhuǎn)化為直線，以便應(yīng)用“兩點(diǎn)之間線段最短”或“垂線段最短”的公理。*軸對(duì)稱的妙用：對(duì)于直線同側(cè)的兩點(diǎn)，可作其中一點(diǎn)關(guān)于該直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)，與直線的交點(diǎn)即為所求。*平移的妙用：對(duì)于“造橋選址”問(wèn)題，通過(guò)平移將橋的長(zhǎng)度固定，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的直線距離。4.計(jì)算驗(yàn)證：找到所求點(diǎn)后，根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)（如勾股定理、相似三角形、特殊角三角函數(shù)等）計(jì)算出最短路徑的長(zhǎng)度。溫