2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計(jì)與決策實(shí)驗(yàn)報(bào)告試題解析卷考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述描述統(tǒng)計(jì)和推斷統(tǒng)計(jì)的主要區(qū)別和聯(lián)系。二、設(shè)總體服從正態(tài)分布$N(\mu,\sigma^2)$，其中$\sigma^2$未知。從該總體中抽取一個(gè)容量為$n$的樣本，樣本均值為$\bar{X}$，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為$S$。要檢驗(yàn)假設(shè)$H_0:\mu=\mu_0$，請寫出使用$t$統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)的步驟（包括構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量、確定拒絕域等）。三、某公司想要了解廣告投入與銷售額之間的關(guān)系。隨機(jī)收集了該公司過去10個(gè)季度的廣告投入（單位：萬元）和銷售額（單位：萬元）數(shù)據(jù)。使用最小二乘法擬合了銷售額對廣告投入的回歸方程，得到的回歸系數(shù)$b_1=5$，$b_0=50$。請解釋回歸系數(shù)$b_1=5$的實(shí)際意義。如果某季度廣告投入為8萬元，根據(jù)此回歸方程預(yù)測該季度的銷售額是多少？四、為了比較三種不同教學(xué)方法（方法A、方法B、方法C）對學(xué)生學(xué)習(xí)效果的影響，隨機(jī)選取15名學(xué)生，平均分成三組，分別使用三種方法進(jìn)行教學(xué)。一段時(shí)間后，對學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)一測試，得到如下數(shù)據(jù)（表示15名學(xué)生的測試成績）：方法A組：85,82,88,90,84方法B組：78,80,82,75,79方法C組：88,92,90,87,91請使用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)三種教學(xué)方法下學(xué)生的平均成績是否存在顯著差異。簡要說明檢驗(yàn)思路和關(guān)鍵步驟（無需進(jìn)行完整的計(jì)算）。五、假設(shè)一個(gè)盒子里有5個(gè)紅球和3個(gè)白球，這些球除了顏色外完全相同?，F(xiàn)在從中不放回地抽取3個(gè)球，求抽到恰好2個(gè)紅球和1個(gè)白球的概率。六、某快餐店為了了解顧客對漢堡套餐的喜好，隨機(jī)調(diào)查了200名顧客，其中120名顧客表示喜歡該漢堡套餐。請構(gòu)造一個(gè)95%的置信區(qū)間，用于估計(jì)該快餐店所有顧客中喜歡該漢堡套餐的比例。七、在假設(shè)檢驗(yàn)中，第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤的定義分別是什么？請解釋什么情況下會(huì)犯第一類錯(cuò)誤，什么情況下會(huì)犯第二類錯(cuò)誤。八、為了評估一種新藥的效果，研究人員將其與一種現(xiàn)有藥物進(jìn)行比較。他們隨機(jī)選擇了100名患者，其中50人服用新藥，50人服用現(xiàn)有藥物。經(jīng)過一段時(shí)間治療后，記錄下患者的康復(fù)情況。請簡要說明在這種情況下，應(yīng)該使用哪些統(tǒng)計(jì)方法來比較兩種藥物的康復(fù)效果？并說明選擇這些方法的理由。九、什么是相關(guān)系數(shù)？它反映了兩個(gè)變量之間的何種關(guān)系？請說明相關(guān)系數(shù)的取值范圍及其含義。十、某工廠生產(chǎn)一批零件，其長度服從正態(tài)分布。為了檢驗(yàn)這批零件的長度是否符合標(biāo)準(zhǔn)，從中隨機(jī)抽取25個(gè)零件，測量其長度。如果已知樣本均值$\bar{X}=50.2$毫米，樣本標(biāo)準(zhǔn)差$S=0.5$毫米，標(biāo)準(zhǔn)長度為50毫米。請使用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)方法檢驗(yàn)這批零件的長度是否符合標(biāo)準(zhǔn)（假設(shè)顯著性水平$\alpha=0.05$）。簡要說明檢驗(yàn)思路和關(guān)鍵步驟（無需進(jìn)行完整的計(jì)算）。試卷答案一、描述統(tǒng)計(jì)是對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、歸類、概括和展示，旨在描述數(shù)據(jù)的特征和分布規(guī)律。推斷統(tǒng)計(jì)是在樣本數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)的理論與方法，對未知的總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)或檢驗(yàn)，并做出具有一定可靠性的推斷。兩者聯(lián)系緊密，描述統(tǒng)計(jì)是推斷統(tǒng)計(jì)的基礎(chǔ)，推斷統(tǒng)計(jì)依賴于描述統(tǒng)計(jì)的結(jié)果。二、1.提出原假設(shè)$H_0:\mu=\mu_0$，備擇假設(shè)$H_1:\mu\neq\mu_0$（或根據(jù)具體問題改為$H_1:\mu>\mu_0$或$H_1:\mu<\mu_0$）。2.構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：$t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$，其中$\bar{X}$為樣本均值，$S$為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，$n$為樣本容量。3.確定拒絕域：根據(jù)顯著性水平$\alpha$和自由度$df=n-1$，查找$t$分布表得到臨界值$t_{\alpha/2,df}$（或$t_{\alpha,df}$，取決于備擇假設(shè)）。拒絕域?yàn)?|t|>t_{\alpha/2,df}$（或$t>t_{\alpha,df}$或$t<-t_{\alpha,df}$）。4.做出決策：計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量$t$的值，若$t$落在拒絕域內(nèi)，則拒絕原假設(shè)$H_0$；否則，不拒絕原假設(shè)$H_0$。三、$b_1=5$的實(shí)際意義是：廣告投入每增加1萬元，預(yù)計(jì)銷售額將增加5萬元。根據(jù)回歸方程$\hat{Y}=b_0+b_1X$，當(dāng)廣告投入$X=8$萬元時(shí)，預(yù)測銷售額為$\hat{Y}=50+5\times8=90$萬元。四、可以使用單因素方差分析（One-wayANOVA）來檢驗(yàn)三種教學(xué)方法下學(xué)生的平均成績是否存在顯著差異。1.提出原假設(shè)$H_0:\mu_A=\mu_B=\mu_C$，即三種教學(xué)方法下學(xué)生的平均成績無顯著差異；備擇假設(shè)$H_1:\mu_A,\mu_B,\mu_C$不全相等。2.計(jì)算各組的樣本均值$\bar{X}_A,\bar{X}_B,\bar{X}_C$和總樣本均值$\bar{X}_{total}$。3.計(jì)算組間平方和（SS_between）、組內(nèi)平方和（SS_within）和總平方和（SS_total）。4.計(jì)算組間均方（MS_between=SS_between/df_between）和組內(nèi)均方（MS_within=SS_within/df_within）。5.構(gòu)造$F$統(tǒng)計(jì)量：$F=MS_{between}/MS_{within}$。6.根據(jù)顯著性水平$\alpha$和自由度$df_{between}=k-1$（$k$為組數(shù)），$df_{within}=n_k-1$（$n_k$為每組樣本量），查找$F$分布表得到臨界值$F_{\alpha,df_{between},df_{within}}$。7.比較計(jì)算得到的$F$值與臨界值：若$F>F_{\alpha}$，則拒絕$H_0$，認(rèn)為有顯著差異；否則，不拒絕$H_0$。五、總球數(shù)為$5+3=8$個(gè)。抽到恰好2個(gè)紅球和1個(gè)白球的事件，可以看作先從5個(gè)紅球中抽取2個(gè)，再從3個(gè)白球中抽取1個(gè)。抽取方式為組合，計(jì)算概率為$P=C_5^2\timesC_3^1/C_8^3$。計(jì)算得$P=(5\times4/2)\times3/(8\times7\times6/6)=10\times3/56=30/56=15/28$。六、樣本比例$\hat{p}=120/200=0.6$。樣本比例的標(biāo)準(zhǔn)誤$SE_{\hat{p}}=\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{\frac{0.6\times0.4}{200}}=\sqrt{\frac{0.24}{200}}=\sqrt{0.0012}\approx0.0346$。95%置信區(qū)間的臨界值來自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，為$z_{0.025}\approx1.96$。置信區(qū)間為$\hat{p}\pmz_{0.025}\timesSE_{\hat{p}}=0.6\pm1.96\times0.0346\approx0.6\pm0.0679$。計(jì)算得到置信區(qū)間約為$(0.5321,0.6679)$。七、第一類錯(cuò)誤是指原假設(shè)$H_0$本身正確，但拒絕了$H_0$的錯(cuò)誤判斷。犯第一類錯(cuò)誤的概率用$\alpha$表示，也稱為顯著性水平。第二類錯(cuò)誤是指原假設(shè)$H_0$本身錯(cuò)誤（即備擇假設(shè)$H_1$正確），但未能拒絕$H_0$的錯(cuò)誤判斷。犯第二類錯(cuò)誤的概率用$\beta$表示。犯第一類錯(cuò)誤的條件是$H_0$為真，但檢驗(yàn)結(jié)果落入拒絕域。犯第二類錯(cuò)誤的條件是$H_1$為真，但檢驗(yàn)結(jié)果未落入拒絕域。八、可以使用的統(tǒng)計(jì)方法包括：1.獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)（IndependentSamplest-test）：如果比較兩組康復(fù)數(shù)據(jù)的均值差異，且數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布或樣本量較大。2.Mann-WhitneyU檢驗(yàn)（或WilcoxonRank-Sum檢驗(yàn)）：如果比較兩組數(shù)據(jù)的分布位置差異，且不滿足正態(tài)性假設(shè)，或者數(shù)據(jù)不是連續(xù)型。選擇這些方法的理由是：研究是比較兩種獨(dú)立組（新藥組vs現(xiàn)有藥物組）在某一指標(biāo)（康復(fù)情況）上的差異。獨(dú)立樣本t檢驗(yàn)是處理兩組均值比較的常用方法，而非參數(shù)檢驗(yàn)方法適用于數(shù)據(jù)分布未知或不滿足參數(shù)檢驗(yàn)條件的情況。九、相關(guān)系數(shù)是用來衡量兩個(gè)變量之間線性相關(guān)程度的統(tǒng)計(jì)量，通常用字母$r$表示。它反映了兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的強(qiáng)度和方向。相關(guān)系數(shù)的取值范圍在-1到1之間。*$r=1$：表示兩個(gè)變量之間存在完美的正線性相關(guān)關(guān)系。*$r=-1$：表示兩個(gè)變量之間存在完美的負(fù)線性相關(guān)關(guān)系。*$r=0$：表示兩個(gè)變量之間不存在線性相關(guān)關(guān)系（但可能存在其他類型的關(guān)系）。*$|r|$越接近1，表示線性相關(guān)關(guān)系越強(qiáng)；$|r|$越接近0，表示線性相關(guān)關(guān)系越弱。十、可以使用單樣本t檢驗(yàn)來檢驗(yàn)零件長度是否符合標(biāo)準(zhǔn)（假設(shè)檢驗(yàn)）。1.提出原假設(shè)$H_0:\mu=50$毫米，即平均長度符合標(biāo)準(zhǔn)；備擇假設(shè)$H_1:\mu\neq50$毫米。2.已知樣本均值$\bar{X}=50.2$，樣本標(biāo)準(zhǔn)差$S=0.5$，樣本容量$n=25$，總體均值標(biāo)準(zhǔn)$\mu_0=50$。3.構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：$t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}=\frac{50.2-50}{0.5/\sqrt{25}}=\frac{0.2}{0.5/5}=\frac{0.2}{0.1}=2$。4.確定拒絕域：顯著性水平$\alpha