2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試：抽樣調(diào)查方法與置信區(qū)間計(jì)算試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、填空題1.在抽樣調(diào)查中，根據(jù)抽樣框抽取的部分個(gè)體組成的集合稱(chēng)為_(kāi)_______。2.抽樣誤差是指樣本統(tǒng)計(jì)量與________之間存在的隨機(jī)誤差。3.當(dāng)總體分布未知或不滿足正態(tài)分布，但樣本量足夠大時(shí)，可以使用________分布來(lái)近似計(jì)算總體均值的置信區(qū)間。4.分層抽樣的主要優(yōu)點(diǎn)是將總體劃分為若干層，然后在各層內(nèi)進(jìn)行________抽樣，從而提高樣本的代表性。5.置信水平（如95%）表示的是________。6.整群抽樣的主要缺點(diǎn)是通常比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣需要更大的樣本量才能達(dá)到相同的精度，這是因?yàn)槿簝?nèi)相關(guān)性導(dǎo)致了________的增大。7.在其他條件不變的情況下，提高置信水平，置信區(qū)間的寬度會(huì)________。8.若要估計(jì)一個(gè)城市居民的平均月收入（總體標(biāo)準(zhǔn)差未知），隨機(jī)抽取了500名居民，樣本均值為8000元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1200元。以95%的置信水平構(gòu)建的該市居民平均月收入置信區(qū)間的下限約為_(kāi)_______元。（結(jié)果保留整數(shù)）二、選擇題1.下列哪種抽樣方法屬于非概率抽樣？（）A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.分層抽樣C.系統(tǒng)抽樣D.判斷抽樣2.某工廠想了解某批次產(chǎn)品的合格率，隨機(jī)抽取了1000件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)合格率為95%。若以99%的置信水平構(gòu)建合格率的置信區(qū)間，查表得到的臨界值（Z值或t值）更接近于？（）A.1.96B.2.58C.1.645D.3.293.在抽樣設(shè)計(jì)中，抽樣框是指？（）A.總體中每一個(gè)個(gè)體的清單B.樣本中個(gè)體的集合C.抽樣方法的具體步驟D.置信區(qū)間的計(jì)算公式4.對(duì)于小樣本（n<30）且總體標(biāo)準(zhǔn)差未知的情況下，估計(jì)總體均值時(shí)應(yīng)該使用的分布是？（）A.正態(tài)分布B.t分布C.F分布D.卡方分布5.從一個(gè)有限總體中進(jìn)行不放回抽樣，當(dāng)樣本量相對(duì)于總體規(guī)模較小時(shí)，抽樣分布的方差會(huì)比總體方差________。（）A.更大B.更小C.相等D.無(wú)法比較6.如果想以更高的精度（即更窄的置信區(qū)間）來(lái)估計(jì)總體均值，可以采取的措施有？（）A.減小置信水平B.增大樣本量C.減小總體標(biāo)準(zhǔn)差D.以上都是三、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的定義、操作方法及其主要優(yōu)缺點(diǎn)。2.解釋什么是置信區(qū)間？它包含了哪些信息？為什么在實(shí)際應(yīng)用中，我們通常說(shuō)不“恰好”包含總體參數(shù)，而說(shuō)“以一定的置信水平包含”？3.假設(shè)你要調(diào)查某大學(xué)學(xué)生的平均每周體育鍛煉時(shí)間。請(qǐng)簡(jiǎn)述如果使用分層抽樣方法，你會(huì)如何進(jìn)行設(shè)計(jì)？需要考慮哪些因素？4.比較整群抽樣和分層抽樣的主要區(qū)別。在什么情況下可能更傾向于選擇整群抽樣？四、計(jì)算題1.某地區(qū)想估計(jì)成年男性的平均身高。隨機(jī)抽取了25名成年男性，測(cè)得樣本均值為175厘米，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為5厘米。假設(shè)成年男性身高近似服從正態(tài)分布。(1)試以95%的置信水平構(gòu)建該地區(qū)成年男性平均身高的置信區(qū)間。(2)如果樣本量增加到100人，其他條件不變，置信區(qū)間的寬度會(huì)如何變化？（無(wú)需計(jì)算具體寬度，只需說(shuō)明變化趨勢(shì)）2.一家市場(chǎng)調(diào)研公司想估計(jì)某品牌手機(jī)在18-25歲青年中的市場(chǎng)占有率。他們隨機(jī)抽取了400名18-25歲的青年進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，其中390名表示使用過(guò)該品牌手機(jī)。(1)試以95%的置信水平構(gòu)建該品牌手機(jī)在18-25歲青年中市場(chǎng)占有率的置信區(qū)間。(2)該公司經(jīng)理認(rèn)為市場(chǎng)占有率至少為97%，這個(gè)結(jié)論是否得到了95%置信區(qū)間的支持？請(qǐng)說(shuō)明理由。五、分析題假設(shè)你要調(diào)查一個(gè)社區(qū)內(nèi)居民對(duì)垃圾分類(lèi)實(shí)施效果的滿意度。請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明：(1)如果資源允許，你會(huì)傾向于使用哪種抽樣方法（如簡(jiǎn)單隨機(jī)、分層、整群等）？為什么？(2)在構(gòu)建滿意度（通常用評(píng)分表示）的置信區(qū)間時(shí)，需要注意哪些統(tǒng)計(jì)假設(shè)？如果數(shù)據(jù)不符合這些假設(shè)，可能采取什么補(bǔ)救措施？（無(wú)需具體計(jì)算）試卷答案一、填空題1.樣本2.總體參數(shù)3.Z4.簡(jiǎn)單隨機(jī)5.真實(shí)總體參數(shù)包含在相應(yīng)置信區(qū)間內(nèi)的概率6.抽樣誤差7.變寬8.7854二、選擇題1.D2.B3.A4.B5.B6.D三、簡(jiǎn)答題1.定義：從總體中不加任何分組、分層、分類(lèi)等，完全隨機(jī)地抽取樣本單位的方法。操作方法：①編號(hào)；②使用隨機(jī)數(shù)表或計(jì)算機(jī)隨機(jī)抽樣程序抽取樣本編號(hào)。優(yōu)點(diǎn)：操作簡(jiǎn)單，實(shí)施方便，樣本單位分布均勻，理論上能保證每個(gè)單位被抽中的概率相等，推斷結(jié)果具有普遍的代表性。缺點(diǎn)：當(dāng)總體單位數(shù)較多時(shí)，尋找和編號(hào)困難；對(duì)于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的總體，抽到的樣本可能代表性不足；無(wú)法保證每個(gè)層或群體都有機(jī)會(huì)被抽中（非分層抽樣）。2.定義：以一定的置信水平（置信系數(shù)），用樣本統(tǒng)計(jì)量（如樣本均值、樣本比例）的某個(gè)區(qū)間來(lái)估計(jì)總體參數(shù)（如總體均值、總體比例）所在的范圍。包含信息：該區(qū)間提供了一個(gè)關(guān)于總體參數(shù)可能取值范圍的信息，以及這個(gè)區(qū)間包含真實(shí)參數(shù)的可信程度（置信水平）。原因：抽樣存在隨機(jī)性，樣本統(tǒng)計(jì)量只是總體參數(shù)的一個(gè)估計(jì)值，并非完全相等。置信區(qū)間考慮了這種抽樣誤差，提供了一個(gè)范圍而非單一值，表明如果我們反復(fù)抽樣，按相同方法構(gòu)建的區(qū)間有百分之多少會(huì)包含真實(shí)的總體參數(shù)。我們無(wú)法保證當(dāng)前這一個(gè)特定的區(qū)間“恰好”包含總體參數(shù)，只能說(shuō)有指定的置信水平（如95%）的概率包含它。3.設(shè)計(jì)步驟：①劃分層：根據(jù)調(diào)查目標(biāo)，將大學(xué)生總體按某些重要特征（如年級(jí)、性別、專(zhuān)業(yè)）劃分為若干互不重疊的層（Strata），每層內(nèi)部個(gè)體特征盡可能相似，層間差異盡可能明顯。②確定比例：根據(jù)各層在總體中的重要性或抽樣成本，確定從各層中抽取樣本單位的比例（等比例或不等比例）。③獨(dú)立抽樣：在每層內(nèi)按照簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（或其他方法）獨(dú)立抽取所需數(shù)量的樣本單位。④匯總樣本：將各層抽到的樣本匯總，構(gòu)成最終的樣本。需要考慮因素：總體的分層標(biāo)準(zhǔn)、各層規(guī)模、層內(nèi)變異程度、層間差異大小、抽樣比例、成本限制等。4.主要區(qū)別：*抽樣單元：整群抽樣以群（群體）為單位進(jìn)行抽樣，一層抽完后再抽下一層；分層抽樣是先分層，再在層內(nèi)抽樣。*樣本結(jié)構(gòu)：整群抽樣樣本通常聚集性較強(qiáng)；分層抽樣樣本在總體中分布更均勻。*目的：整群抽樣主要為了方便組織、降低成本；分層抽樣主要為了提高樣本代表性、提高估計(jì)精度。選擇整群抽樣的情況：當(dāng)總體單位分布廣泛，難以形成完整的抽樣框時(shí)；當(dāng)群內(nèi)單位同質(zhì)性高、群間異質(zhì)性高時(shí)；當(dāng)主要目的是進(jìn)行區(qū)域性調(diào)查或需要按群體組織活動(dòng)時(shí)。四、計(jì)算題1.(1)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤：SE=s/sqrt(n)=5/sqrt(25)=1cm查t分布表，df=n-1=24，置信水平95%的單側(cè)臨界值約為t_(0.025,24)≈2.064置信區(qū)間下限=mean-t*SE=175-2.064*1=172.936cm置信區(qū)間上限=mean+t*SE=175+2.064*1=177.064cm置信區(qū)間約為(172.94cm,177.06cm)(2)樣本量增大，標(biāo)準(zhǔn)誤SE=s/sqrt(n)會(huì)減小，因此置信區(qū)間的寬度會(huì)變窄。2.(1)樣本比例p?=390/400=0.975標(biāo)準(zhǔn)誤SE=sqrt[p?(1-p?)/n]=sqrt[0.975*(1-0.975)/400]=sqrt[0.975*0.025/400]=sqrt[0.024375/400]=sqrt(0.0000611875)≈0.00782查Z分布表，置信水平95%的雙側(cè)臨界值Z_(0.025)≈1.96置信區(qū)間下限=p?-Z*SE=0.975-1.96*0.00782≈0.975-0.01534=0.95966置信區(qū)間上限=p?+Z*SE=0.975+1.96*0.00782≈0.975+0.01534=0.99034置信區(qū)間約為(0.9597,0.9903)(2)95%置信區(qū)間為(0.9597,0.9903)，該區(qū)間的上限（0.9903）低于經(jīng)理認(rèn)為的97%。因此，根據(jù)這次抽樣調(diào)查的結(jié)果，不能支持公司經(jīng)理關(guān)于市場(chǎng)占有率至少為97%的結(jié)論。該置信區(qū)間表明，以95%的置信水平，真實(shí)的市場(chǎng)占有率可能在95.97%到99.03%之間，這個(gè)范圍并未達(dá)到97%的下限。五、分析題(1)傾向選擇：分層抽樣。理由：假設(shè)社區(qū)內(nèi)居民按居住區(qū)域（如不同小區(qū)）或居住年限等劃分層，不同區(qū)域的居民可能對(duì)垃圾分類(lèi)的知曉度、參與度、滿意度存在系統(tǒng)性差異。分層抽樣可以保證每個(gè)區(qū)域都有代表性樣本，便于分析不同區(qū)域的特點(diǎn)，并且通常能提高整體估計(jì)的精度（如果層內(nèi)同質(zhì)性強(qiáng)、層間異質(zhì)性高）。**其他可能選擇及理由*：如果目的是快速了解大致情況且資源非常有限，可能考慮整群抽樣（如按樓棟抽樣）；如果社區(qū)規(guī)模不大，且希望樣本分布更廣，可能考慮簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣。但綜合考慮代表性和潛在精度，分層抽樣通常是更優(yōu)的選擇。(2)統(tǒng)計(jì)假設(shè)：*正態(tài)性：對(duì)于連續(xù)型滿意度評(píng)分（如使用李克特量表），樣本數(shù)據(jù)應(yīng)近似服從正態(tài)分布，尤其是在小樣本情況下。對(duì)于大樣本（如n>30），正態(tài)性要求放寬。*獨(dú)立性：樣本中的每個(gè)觀測(cè)值（即每個(gè)居民的滿意度評(píng)分）之間是相互獨(dú)立的。*同質(zhì)性：同一層內(nèi)的個(gè)體在滿意度上具有相似的分布特征。*抽樣框準(zhǔn)確性：用于抽樣的社區(qū)成員名單（抽樣