2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計與決策應(yīng)用案例分析題庫解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______試卷內(nèi)容第一題某公司人力資源部想了解員工的工作滿意度與其工作年限、月收入之間是否存在關(guān)聯(lián)，并希望基于這些因素預(yù)測員工滿意度。他們隨機抽取了100名員工，收集了其工作年限（年）、月收入（元）以及滿意度評分（1-10分，分?jǐn)?shù)越高代表滿意度越高）的數(shù)據(jù)。初步的描述性統(tǒng)計結(jié)果顯示，員工滿意度平均得分約為6.5分，標(biāo)準(zhǔn)差為1.2分；月收入平均值為8000元，標(biāo)準(zhǔn)差為3000元；工作年限平均值為5年，標(biāo)準(zhǔn)差為3年。相關(guān)分析表明，工作年限與滿意度評分之間存在中等強度的正相關(guān)（r=0.35），月收入與滿意度評分之間也存在中等強度的正相關(guān)（r=0.40）。公司經(jīng)理認(rèn)為，增加員工月收入是提高滿意度的最直接方式。請根據(jù)上述情況，運用你所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識，分析以下問題：1.公司經(jīng)理的看法是否有一定的統(tǒng)計學(xué)依據(jù)？請解釋相關(guān)系數(shù)的值如何支持或反駁這種看法。2.除了月收入，工作年限似乎也與滿意度有關(guān)。如果公司資源有限，優(yōu)先考慮哪一項因素可能對提升整體員工滿意度更有效？請說明理由。3.簡述如果要用月收入或工作年限來預(yù)測員工滿意度，可能需要運用哪種統(tǒng)計方法，并說明該方法的基本原理。4.在進(jìn)行預(yù)測之前，還需要考慮哪些潛在的問題或因素？第二題一家連鎖超市想要評估其三種不同促銷策略（A策略：價格打折；B策略：買贈活動；C策略：會員專屬優(yōu)惠）對銷售額的影響。他們在五個分店分別隨機選擇了兩個月，第一個月實施A策略，第二個月輪換實施B策略，后續(xù)按順序輪流實施C策略和A策略，B策略再次出現(xiàn)在第四個月。每個月記錄各分店的總銷售額（萬元）。假設(shè)數(shù)據(jù)已經(jīng)通過適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計方法（如重復(fù)測量方差分析）處理，結(jié)果顯示不同促銷策略下的平均銷售額存在顯著差異（F(2,12)=5.6,p<0.05），但具體哪個策略最高、哪個最低尚不明確，進(jìn)一步的多重比較（如TukeyHSD檢驗）也未發(fā)現(xiàn)任意兩種策略之間有極其顯著的差異（p<0.10）。請分析以下問題：1.這項研究的統(tǒng)計結(jié)果主要說明了什么？2.盡管平均銷售額有顯著差異，但多重比較表明沒有哪種策略具有壓倒性的優(yōu)勢。請解釋這可能意味著什么，并探討可能的原因。3.如果超市希望進(jìn)一步確定哪種策略在成本效益方面最優(yōu)，除了銷售額，還應(yīng)考慮哪些指標(biāo)？請結(jié)合促銷策略的特點進(jìn)行說明。4.該研究中使用的實驗設(shè)計有什么優(yōu)點和潛在缺點？如果想要更清晰地確定優(yōu)勢策略，后續(xù)研究可以如何改進(jìn)設(shè)計？第三題某市政府想了解居民對公共交通服務(wù)滿意度的現(xiàn)狀，并為未來服務(wù)改進(jìn)提供依據(jù)。他們計劃進(jìn)行一項抽樣調(diào)查。假設(shè)該市有常住人口50萬，居民按戶籍分為城居和鄉(xiāng)居兩類，兩類居民比例約為7:3。市政府希望調(diào)查的樣本量能夠使得對總體滿意度均值估計的置信水平為95%，且估計誤差不超過0.05（絕對誤差界限）。1.請計算所需的最小樣本量。如果忽略城鄉(xiāng)差異，直接進(jìn)行簡單隨機抽樣，這個樣本量是否足夠代表兩類居民的意見？請說明理由。2.考慮到城鄉(xiāng)居民可能在公共交通使用習(xí)慣和滿意度上存在差異，為了更準(zhǔn)確地反映整體情況，建議采用分層抽樣方法。請簡述分層抽樣的基本原理，并說明在該案例中如何進(jìn)行分層以及確定各層樣本分配比例。3.在收集到樣本數(shù)據(jù)后，得到如下信息：樣本總?cè)藬?shù)為1500人，其中城居居民525人，鄉(xiāng)居居民975人。樣本中滿意度評分為7分（滿分10分）的居民占比為45%。請根據(jù)這些信息，對該市居民總體公共交通滿意度進(jìn)行點估計和區(qū)間估計（置信水平仍為95%）。4.除了總體平均滿意度，市政府還關(guān)心不同年齡段的滿意度差異。如果樣本數(shù)據(jù)顯示，18-30歲年齡段居民滿意度樣本比例為50%，31-60歲為40%，61歲以上為30%，且各年齡段滿意度均值為7.2,6.8,6.5分。請評價該市公共交通服務(wù)在滿足不同年齡段需求方面是否存在明顯不足，并說明你的判斷依據(jù)。第四題一家制造企業(yè)生產(chǎn)某種關(guān)鍵零件，零件的“尺寸精度”是決定產(chǎn)品質(zhì)量的核心指標(biāo)。歷史上，該零件尺寸精度的均值為0.1毫米，標(biāo)準(zhǔn)差為0.02毫米，呈正態(tài)分布。為了降低生產(chǎn)成本，技術(shù)人員提出了一項新的生產(chǎn)工藝。在正式全面實施前，他們從采用新工藝生產(chǎn)的一批零件中隨機抽取了50件，測量其尺寸精度。這50件零件尺寸精度的樣本均值為0.095毫米，樣本標(biāo)準(zhǔn)差與歷史數(shù)據(jù)相同，仍為0.02毫米。請分析以下問題：1.新工藝是否顯著降低了零件的平均尺寸精度？請設(shè)立零假設(shè)和備擇假設(shè)，說明選擇這兩種假設(shè)的理由，并選擇適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計檢驗方法進(jìn)行檢驗（無需進(jìn)行具體的計算，但需說明方法名稱和原理）。2.假設(shè)技術(shù)部門認(rèn)為，只要新工藝帶來的平均精度降低不超過0.01毫米，就可以接受。基于本次抽樣結(jié)果，從統(tǒng)計角度看，這項新工藝是否可以被接受？3.在進(jìn)行上述檢驗時，可能存在哪些類型的錯誤（第一類錯誤和第二類錯誤）？請解釋這兩種錯誤的具體含義，并說明在本案例中犯第一類錯誤的后果是什么。4.除了檢驗新工藝對平均精度的影響，還應(yīng)考慮什么其他質(zhì)量指標(biāo)？新工藝實施后，如何監(jiān)控這些指標(biāo)以確保產(chǎn)品質(zhì)量穩(wěn)定？試卷答案第一題1.公司經(jīng)理的看法有一定統(tǒng)計學(xué)依據(jù)。相關(guān)系數(shù)r=0.40表示月收入與滿意度之間存在中等強度的正相關(guān)，這意味著月收入較高的員工傾向于有更高的滿意度。然而，相關(guān)不等于因果，高相關(guān)系數(shù)僅說明兩者存在關(guān)聯(lián)趨勢，不能直接證明增加收入是提升滿意度的“最直接方式”?？赡艽嬖谄渌祀s因素，或者兩者是共同受到其他未觀測因素的影響。2.優(yōu)先考慮哪個因素更有效取決于它們對滿意度的“相對貢獻(xiàn)度”或“邊際效應(yīng)”。雖然月收入與滿意度的相關(guān)系數(shù)略高于工作年限（r=0.40vsr=0.35），但這只是初步觀察。需要進(jìn)一步分析，例如通過偏相關(guān)分析排除對方的影響，或者通過回歸分析看各自對滿意度的解釋力（回歸系數(shù)的大小和顯著性）。如果月收入在回歸模型中具有更大的標(biāo)準(zhǔn)化回歸系數(shù)，或者其系數(shù)更顯著，那么它可能更有效。不能僅憑相關(guān)系數(shù)大小決定。3.預(yù)測員工滿意度可以運用簡單線性回歸或多元線性回歸分析方法?；驹硎钦业阶宰兞浚ㄈ缭率杖牖蚬ぷ髂晗蓿┡c因變量（滿意度評分）之間線性關(guān)系的數(shù)學(xué)模型（回歸方程Y=a+bX）。模型中的斜率系數(shù)（b）表示自變量每變化一個單位，預(yù)計因變量將變化多少。通過該模型，可以將已知或預(yù)測的月收入或工作年限值代入方程，得到對滿意度評分的預(yù)測值。4.需要考慮的問題包括：數(shù)據(jù)是否滿足回歸分析的前提條件（如線性關(guān)系、誤差獨立性、同方差性、正態(tài)性）；是否存在異常值或離群點，它們可能嚴(yán)重影響模型結(jié)果；除了月收入和工作年限，是否還有其他重要因素（如工作環(huán)境、管理風(fēng)格、公司文化、個人因素等）未納入模型，這些因素可能對滿意度有更大影響；預(yù)測結(jié)果的置信區(qū)間是多少，反映了預(yù)測的不確定性。第二題1.統(tǒng)計結(jié)果顯示，至少存在一種促銷策略的平均銷售額與其他策略不同，即不同策略的效果在統(tǒng)計上顯著不同（p<0.05）。這說明策略本身對銷售額有影響，不是隨機波動。2.沒有哪種策略具有壓倒性優(yōu)勢意味著雖然整體上看策略間有差異，但沒有任何一種策略顯著地比其他所有策略都好，也沒有哪種顯著最差。這可能是因為三種策略各有優(yōu)劣，適用于不同的市場環(huán)境或消費者群體；或者不同策略帶來的效果差異沒有達(dá)到統(tǒng)計學(xué)上的顯著水平；也可能測量誤差或樣本量限制了結(jié)果的精確度。3.除了銷售額，還應(yīng)考慮成本、利潤率、顧客流量、顧客滿意度、品牌形象、員工負(fù)擔(dān)、促銷活動的執(zhí)行難度和效果持續(xù)性等指標(biāo)。例如，A策略可能銷售額高但利潤低或庫存積壓；B策略可能吸引顧客但單次消費額不高；C策略可能成本較高或僅吸引老顧客。成本效益最優(yōu)的策略應(yīng)是綜合考量這些因素后的最優(yōu)選擇。4.優(yōu)點：實驗設(shè)計控制了每個分店在三種策略下都有機會，減少了分店固有差異帶來的影響；能夠直接比較不同策略的效果。潛在缺點：實施策略的順序可能產(chǎn)生順序效應(yīng)（如員工或顧客適應(yīng)）；不同月份可能存在外部環(huán)境變化（如節(jié)假日、競爭對手活動）；實驗周期較短，可能無法反映長期效果。改進(jìn)設(shè)計：增加更多分店作為重復(fù)；采用隨機順序分配策略；增加對照組（不實施任何促銷）；延長實驗周期；在不同外部環(huán)境下進(jìn)行。第三題1.最小樣本量計算公式為n=(Zα/2*σ/E)2。假設(shè)總體標(biāo)準(zhǔn)差σ用歷史標(biāo)準(zhǔn)差0.02毫米代替，Z95%置信水平（α/2=0.025）的臨界值約為1.96。則n=(1.96*0.02/0.05)2≈3.12≈10。如果忽略城鄉(xiāng)差異進(jìn)行簡單隨機抽樣，所需樣本量僅約10人，遠(yuǎn)小于50萬人口，無法代表總體意見，抽樣誤差會非常大。2.分層抽樣原理是將總體按某個關(guān)鍵特征（分層變量）劃分為若干互不重疊的子總體（層），然后從每個層中按比例或按特定要求隨機抽取樣本?；静襟E是：確定分層標(biāo)準(zhǔn)（如城鄉(xiāng)）；計算各層比例（城居7/10=70%，鄉(xiāng)居3/10=30%）；確定總樣本量（假設(shè)仍需1500）；按比例分配樣本到各層（城居1500*70%=1050，鄉(xiāng)居1500*30%=450）；在各層內(nèi)獨立進(jìn)行簡單隨機抽樣。這樣做能確保樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)一致，提高抽樣效率和代表性，特別是當(dāng)各層內(nèi)部差異小、層間差異大時效果更佳。3.點估計：根據(jù)樣本信息，估計該市居民總體公共交通滿意度均值為7分。區(qū)間估計：需要計算標(biāo)準(zhǔn)誤SE=s/sqrt(n)=1.2/sqrt(1500)≈0.031。對于95%置信水平，Zα/2≈1.96。置信區(qū)間=均值±Zα/2*SE=7±1.96*0.031≈7±0.061。所以95%置信區(qū)間約為（6.939,7.061）分。4.從樣本數(shù)據(jù)看，不同年齡段滿意度均值存在明顯差異（18-30歲7.2分，31-60歲6.8分，61歲以上6.5分），且均低于總體樣本均值7分。特別是31-60歲和61歲以上年齡段滿意度顯著偏低。雖然樣本比例不同，但低齡段滿意度較高，高齡段滿意度最低，這表明公共交通服務(wù)可能在滿足高齡群體的需求方面存在明顯不足。判斷依據(jù)是樣本均值差異顯著且符合一定的年齡趨勢。第四題1.零假設(shè)H?：新工藝下零件尺寸精度的均值μ等于歷史均值，即μ=0.1毫米。備擇假設(shè)H?：新工藝下零件尺寸精度的均值μ小于歷史均值，即μ<0.1毫米。選擇這兩個假設(shè)的理由是，技術(shù)人員提出新工藝的目的是為了“降低”成本，這隱含了平均精度變小的預(yù)期。檢驗方法可選擇單樣本t檢驗（One-samplet-test），原理是計算樣本均值與已知總體均值（或假設(shè)均值）之間的差距，用t統(tǒng)計量衡量該差距相對于樣本數(shù)據(jù)的變異程度（標(biāo)準(zhǔn)誤差），然后查找t分布表獲得p值，判斷觀察到的樣本均值是否足夠“異常”（即在H?成立下不太可能發(fā)生），從而決定是否拒絕H?。2.基于假設(shè)檢驗的決策原則（通常α=0.05），如果檢驗結(jié)果顯示p值小于0.05，則拒絕H?，認(rèn)為新工藝顯著降低了精度。如果p值大于或等于0.05，則不拒絕H?，認(rèn)為沒有足夠證據(jù)表明新工藝降低了精度。在本案例中，雖然樣本均值從0.1降至0.095，但需要計算t統(tǒng)計量t=(樣本均值-假設(shè)均值)/(樣本標(biāo)準(zhǔn)差/sqrt樣本量)=(0.095-0.1)/(0.02/sqrt(50))=-0.005/(0.02/7.07)=-0.005/0.00283≈-1.77。自由度df=n-1=49。查t分布表（或用軟件計算），t=-1.77在α=0.05的顯著性水平下，單尾檢驗的p值大于2.008（df=49時）。因此，p>0.05。按照α=0.05的顯著性水平，不能拒絕H?。從統(tǒng)計角度看，本次抽樣結(jié)果不支持認(rèn)為新工藝顯著降低了平均精度。然而，由于樣本均值0.095毫米比假設(shè)均值0.1毫米降低了0.005毫米（即0.5微米），這已經(jīng)接近技術(shù)部門設(shè)定的0.01毫米閾值。是否接受新工藝，還需要結(jié)合實際成本節(jié)約、生產(chǎn)穩(wěn)定性等其他非統(tǒng)計因素綜合判斷。3.可能存在的錯誤類型：第一類錯誤（TypeIError）是指原假設(shè)H?為真，但錯誤地拒絕了它。在本案例中，犯第一類錯誤的后果是：實際上新工藝并沒有降低精度（或降低幅度很?。?，但我們卻錯誤地判斷新工藝顯著降低了精度，從而決定放棄或不用新工藝，可能錯失了降低成本的機會。第二類錯誤（TypeIIError）是指原假設(shè)H?為假，但錯誤地接受了它（或未能拒絕它）。在本案例中，犯第二類錯誤的后果是：實際上新工藝確實降低了精度（或降低幅度超過0.01毫米）