2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫：抽樣調(diào)查方法應(yīng)用案例及試題解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡答題1.簡述簡單隨機抽樣的概念及其主要特點。在什么情況下使用簡單隨機抽樣可能不是最優(yōu)選擇？請說明理由。2.什么是抽樣誤差？它與登記誤差有什么本質(zhì)區(qū)別？影響抽樣誤差的主要因素有哪些？3.分層抽樣的基本原理是什么？與簡單隨機抽樣相比，分層抽樣通常能獲得哪些優(yōu)勢？請解釋其原理。4.簡述整群抽樣的概念及其適用條件。與簡單隨機抽樣相比，整群抽樣在實施上可能有哪些便利，但也可能面臨什么主要問題？5.什么是非抽樣誤差？請列舉至少三種常見的非抽樣誤差，并簡述它們是如何影響抽樣調(diào)查結(jié)果的。二、案例分析題6.某市宣傳部想了解該市居民對市政府某項新政策的支持率，并希望結(jié)果能以95%的置信水平保證其估計誤差不超過3%。已知該市常住人口約為500萬，以往類似調(diào)查的抽樣比率為1%，且根據(jù)預(yù)調(diào)查估計支持率的方差約為0.25。如果采用簡單隨機抽樣方法，理論上至少需要抽取多少樣本單位？假設(shè)實際抽樣中，該市劃分為若干個社區(qū)，采用整群抽樣方法，將社區(qū)作為群，隨機抽取了50個社區(qū)，并對抽中的每個社區(qū)的所有居民進(jìn)行調(diào)查。最終結(jié)果顯示，樣本支持率為52%。請回答：(a)在此案例中，采用了哪種抽樣方法？請簡述其操作過程。(b)理論上計算所需樣本量時使用的公式與實際整群抽樣中得到的樣本量（50個社區(qū)）有何不同？為什么整群抽樣的實際樣本量通常不等于按簡單隨機抽樣公式計算出的樣本量？(c)根據(jù)樣本結(jié)果，能否得出該市居民對該項新政策的支持率一定在48%到56%之間的結(jié)論？為什么？(d)如果調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，抽中社區(qū)的居民與非抽中社區(qū)的居民在某些特征（如年齡、收入）上存在顯著差異，這可能對調(diào)查結(jié)果產(chǎn)生什么影響？這種差異屬于抽樣誤差還是非抽樣誤差？三、計算與分析題7.某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，總共有10000件。為檢驗其質(zhì)量，采用分層抽樣方法進(jìn)行抽樣。已知該批產(chǎn)品分為A、B、C三個等級，各等級產(chǎn)品的數(shù)量和比例分別為：A級3000件（30%），B級6000件（60%），C級1000件（10%）?，F(xiàn)從各層中按比例采用簡單隨機抽樣抽取樣本，共抽取了300件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗。檢驗結(jié)果顯示，樣本中A級產(chǎn)品有90件，B級產(chǎn)品有180件，C級產(chǎn)品有30件。請問：(a)本次抽樣中，各層的抽樣比例是多少？(b)樣本中各等級產(chǎn)品的比例分別為多少？(c)假設(shè)已知各等級產(chǎn)品的合格率分別為：A級98%，B級95%，C級90%。請計算樣本合格率的點估計值。(d)若要求以95%的置信水平估計總體合格率，且允許誤差不超過2%，問當(dāng)初進(jìn)行分層抽樣時，是否需要事先知道各層產(chǎn)品的數(shù)量或比例？為什么？請簡要說明如何確定初始的樣本量（如果需要）。8.某研究者欲調(diào)查某大學(xué)本科生每周用于課外閱讀的時間。他考慮采用系統(tǒng)抽樣方法。已知該校本科生總?cè)藬?shù)為20000人，已按學(xué)號順序排列。研究者計劃抽取400名本科生進(jìn)行調(diào)查。(a)請簡述采用系統(tǒng)抽樣方法抽取樣本的步驟。(b)在此案例中，如果學(xué)號是周期性重復(fù)的（例如，每10個學(xué)號中有重復(fù)），系統(tǒng)抽樣可能產(chǎn)生什么問題？如何盡量避免這個問題？(c)假設(shè)研究者計算出的抽樣間隔k=20000/400=50。請說明如何確定第一個抽樣起點i，并寫出抽取樣本的具體編號。(d)與簡單隨機抽樣相比，系統(tǒng)抽樣有哪些優(yōu)點和潛在缺點？四、論述題9.試論述在抽樣調(diào)查中，樣本量確定的因素有哪些？為什么在實踐中，確定樣本量往往需要綜合考慮統(tǒng)計考慮和非統(tǒng)計考慮？請結(jié)合具體情境說明如何權(quán)衡這些因素。試卷答案一、簡答題1.答案：簡單隨機抽樣是指從總體N個單位中，完全隨機地抽取n個單位作為樣本，使得每一個可能的樣本組合被抽中的概率相等，或者每一個單位被抽中的概率相等（概率為n/N）。其主要特點包括：每個樣本單位被抽中的概率相同；樣本單位之間相互獨立。當(dāng)總體內(nèi)部單位差異很大，或者抽樣目的僅是了解總體概況時，簡單隨機抽樣可能不是最優(yōu)選擇，因為其抽樣誤差可能較大，且無法利用總體已知的輔助信息來提高精度。2.答案：抽樣誤差是指由于隨機抽樣的偶然因素使樣本各單位的標(biāo)志值與總體相應(yīng)標(biāo)志值之間產(chǎn)生的隨機差數(shù)。它與登記誤差的本質(zhì)區(qū)別在于：抽樣誤差是由抽樣方法本身帶來的、在抽樣調(diào)查中不可避免的、圍繞總體參數(shù)真值波動的隨機誤差；而登記誤差是由于調(diào)查過程中工作失誤、測量不準(zhǔn)、被調(diào)查者回答錯誤等原因造成的、可能系統(tǒng)性偏離真值的非隨機性誤差。影響抽樣誤差的主要因素包括：總體標(biāo)志變異程度（方差）；樣本單位數(shù)（n）；抽樣方法；抽樣組織形式。3.答案：分層抽樣的基本原理是將總體按照某個或某些主要標(biāo)志劃分為若干個內(nèi)部差異較小、外部差異較大的互不重疊的層，然后在各層內(nèi)分別按一定比例或按固定數(shù)目隨機抽取樣本單位，最后將各層樣本合并構(gòu)成總體的樣本。與簡單隨機抽樣相比，分層抽樣通常能獲得更高的抽樣精度（估計更精確）和更可靠的樣本結(jié)構(gòu)（能保證各層代表性）。其原理在于：通過分層減少了每層內(nèi)部的變異，使得在各層內(nèi)抽樣的誤差減?。煌瑫r，保證了樣本能按比例反映總體的層結(jié)構(gòu)。4.答案：整群抽樣是指先將總體劃分為若干個互不重疊的群，然后以群作為抽樣單位，隨機抽取若干個群，最后對抽中的每個群中的所有單位（或按一定方式抽取其中的部分單位）進(jìn)行全面調(diào)查的抽樣方法。其適用條件通常是：總體單位分布廣泛，難以進(jìn)行簡單隨機抽樣；需要獲得群內(nèi)各單位的詳細(xì)信息；存在自然的群結(jié)構(gòu)。與簡單隨機抽樣相比，整群抽樣在實施上可能更方便、成本更低、易于組織；但也可能因為群內(nèi)單位同質(zhì)性較高，而群間差異較大，導(dǎo)致抽樣誤差可能比簡單隨機抽樣更大。5.答案：非抽樣誤差是指除抽樣誤差之外，在抽樣調(diào)查過程中由于各種原因引起的誤差。常見的非抽樣誤差包括：抽樣框誤差（抽樣框與目標(biāo)總體不一致）；無回答誤差（部分選中的單位沒有參與調(diào)查）；登記誤差（調(diào)查記錄不準(zhǔn)確）。非抽樣誤差會影響調(diào)查結(jié)果的準(zhǔn)確性，有時甚至可能比抽樣誤差的影響更大，且難以量化控制。二、案例分析題6.答案：(a)本次案例中采用了整群抽樣方法。操作過程大致為：將全市所有社區(qū)按某種方式（如地理位置、行政區(qū)域）劃分成若干群；隨機抽取一定數(shù)量的社區(qū)（如50個）；對抽中的每個社區(qū)的所有居民進(jìn)行調(diào)查，收集數(shù)據(jù)。(b)理論上計算所需樣本量時使用的公式是基于簡單隨機抽樣或更一般的抽樣理論推導(dǎo)的，假設(shè)單位之間獨立。實際整群抽樣中得到的樣本量（50個社區(qū)）是針對群抽樣設(shè)計的樣本量，它代表的是抽中的群的數(shù)量，而不是每個群內(nèi)需要抽取多少個體。之所以不同，是因為整群抽樣的誤差不僅取決于群內(nèi)單位數(shù)和群間差異，還與抽樣方法（是否每群全抽等）有關(guān)，其抽樣誤差通常大于同等規(guī)模的簡單隨機抽樣，因此需要抽更多“群”來保證一定的精度，但群內(nèi)單位數(shù)可以不同或不變。(c)根據(jù)樣本結(jié)果，不能得出該市居民對該項新政策的支持率一定在48%到56%之間的結(jié)論。因為樣本支持率為52%只是對總體支持率的點估計或區(qū)間估計的一個樣本結(jié)果，存在抽樣誤差。置信區(qū)間（如48%到56%）表示的是如果重復(fù)抽樣多次，會有95%的置信水平包含真實的總體支持率，而不是說當(dāng)前這個樣本結(jié)果肯定在48%到56%之間。(d)如果抽中社區(qū)的居民與非抽中社區(qū)的居民在某些特征上存在顯著差異，這可能導(dǎo)致樣本不能很好地代表總體，從而產(chǎn)生系統(tǒng)性偏差（偏差）。這種差異屬于非抽樣誤差中的抽樣框誤差（如果差異源于抽樣框本身未能覆蓋總體或代表性不足）或可能影響抽樣誤差的大小，通常被視為引入了偏差，使得調(diào)查結(jié)果可能無法準(zhǔn)確反映全市居民的看法。三、計算與分析題7.答案：(a)各層的抽樣比例=各層樣本量/各層總體量。A層比例=90/3000=0.03；B層比例=180/6000=0.03；C層比例=30/1000=0.03。（驗證：90+180+30=300，3000*0.03+6000*0.03+1000*0.03=300）所以，各層的抽樣比例均為1%（或0.03）。(b)樣本中各等級產(chǎn)品的比例：A級比例=90/300=30%；B級比例=180/300=60%；C級比例=30/300=10%。(c)樣本合格率的點估計值=Σ(樣本中某層合格品數(shù)/樣本中某層樣本量)*該層總體比例。估計合格率=(90*98%/300)+(180*95%/300)+(30*90%/300)=(0.882+1.38+0.27)/3=2.532/3≈0.844或84.4%。(d)是的，進(jìn)行分層抽樣時，知道各層產(chǎn)品的數(shù)量或比例對于確定初始樣本量（尤其是按比例分配樣本量時）是必要的。因為分層抽樣的目標(biāo)是使樣本結(jié)構(gòu)能反映總體結(jié)構(gòu)，或者利用各層內(nèi)部方差小的優(yōu)勢提高精度。如果不知道各層比例或數(shù)量，就無法按比例分配樣本，也無法基于各層方差來優(yōu)化樣本分配（如最優(yōu)分配）。初始樣本量的確定需要考慮置信水平、允許誤差、總體方差（或通過預(yù)調(diào)查估計）以及抽樣方法。如果需要確定總樣本量n，可能先根據(jù)最不有利情況（如方差最大層）或總體方差估計一個n，然后根據(jù)各層比例分配到各層，再根據(jù)實際情況（如層內(nèi)方差、成本）調(diào)整。8.答案：(a)系統(tǒng)抽樣步驟：①將總體N個單位按某種順序（如學(xué)號）排列編號；②計算抽樣間隔k=N/n=20000/400=50；③在1到k之間隨機抽取一個數(shù)作為起始編號i；④將i,i+k,i+2k,...,i+(n-1)k作為抽中的樣本編號。(b)如果學(xué)號有周期性重復(fù)，例如每10個學(xué)號有重復(fù)，且抽樣間隔k是10的倍數(shù)，那么抽中的樣本單位可能總是落在這些重復(fù)模式中的相同位置，導(dǎo)致樣本單位之間高度相關(guān)，從而系統(tǒng)誤差增大。為避免這個問題，可以在確定起始點i后，檢查生成的樣本序列是否出現(xiàn)了不應(yīng)有的周期性模式，如果發(fā)現(xiàn)，可以重新選擇起始點i或采用其他方法（如先隨機抽取一部分，再按系統(tǒng)抽樣補充）。(c)確定第一個抽樣起點i：可以在1到50（即k=20000/400=50）之間使用隨機數(shù)表或隨機數(shù)生成器產(chǎn)生一個數(shù)。例如，假設(shè)生成的隨機數(shù)是15，則第一個抽樣起點i=15。抽取樣本的具體編號為：15,15+50,15+100,...,15+19500（即15+49*400），共400個編號。(d)優(yōu)點：實施簡單，易于操作；比簡單隨機抽樣更經(jīng)濟(jì)（尤其在單位分布廣泛時）；如果單位排列有某種周期性，可能比簡單隨機抽樣更均勻。潛在缺點：如果總體單位排列存在與抽樣間隔相關(guān)的周期性模式，可能引入系統(tǒng)性偏差導(dǎo)致誤差增大；抽中的單位可能不夠集中，給調(diào)查實施帶來不便；需要知道總體單位總數(shù)N。四、論述題9.答案：確定樣本量需要考慮的主要因素包括：①總體規(guī)模N（對概率抽樣影響相對較小，但對非概率抽樣影響較大）；②可接受的抽樣誤差（邊際誤差）δ；③置信水平（通常用1-α表示，如95%置信水平對應(yīng)α=0.05）；④總體標(biāo)志的變異程度（用方差σ2或標(biāo)準(zhǔn)差σ衡量）；⑤抽樣方法（不同方法的抽樣誤差公式不同）；⑥抽樣組織形式（如分層、整群抽樣可以降低誤差）；⑦調(diào)查經(jīng)費預(yù)算；⑧調(diào)查時間限制；⑨對結(jié)果的精度要求高低；⑩