2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試題庫(kù)：統(tǒng)計(jì)與決策多元統(tǒng)計(jì)分析試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共10分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代表字母填寫(xiě)在答題紙上。）1.對(duì)于多元正態(tài)分布隨機(jī)向量(X?,X?,...,Xp)?，其協(xié)方差矩陣Σ必須滿足什么條件？A.對(duì)角線上元素非負(fù)B.所有元素非負(fù)C.半正定（正定或半正定）D.正定2.在主成分分析中，某主成分的方差越大，意味著什么？A.該主成分解釋的原始變量變異越多B.該主成分的計(jì)算越復(fù)雜C.該主成分包含的原始變量信息越少D.該主成分的數(shù)值范圍越大3.下列哪種方法主要用于發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中潛在的、不可觀測(cè)的共同因子？A.系統(tǒng)聚類分析B.K-均值聚類分析C.因子分析D.線性判別分析4.聚類分析中，選擇“最近鄰”或“最遠(yuǎn)距離”方法計(jì)算簇間距離，其主要依據(jù)的是？A.簇內(nèi)離差平方和最小化原則B.簇間距離最大化原則C.簇內(nèi)個(gè)體間距離最小化原則D.簇間個(gè)體間距離最小化原則5.判別分析的核心目的是什么？A.對(duì)未分類個(gè)體進(jìn)行歸類B.降低數(shù)據(jù)的維度C.估計(jì)總體參數(shù)D.檢驗(yàn)各總體協(xié)方差矩陣是否相等二、填空題（每小題2分，共10分。請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題紙上。）1.在因子分析中，用于衡量因子解釋原始變量方差能力的統(tǒng)計(jì)量是________。2.設(shè)X是p維隨機(jī)向量，Y是q維隨機(jī)向量，典型相關(guān)分析旨在尋找X和Y的線性組合，使得這些組合的________最大化。3.在使用K-均值聚類算法時(shí)，通常需要預(yù)先指定要形成的簇的個(gè)數(shù)________。4.對(duì)于多元正態(tài)分布X~N(μ,Σ)，馬氏距離可以用來(lái)衡量向量x與總體均值μ之間的________。5.若多元線性回歸模型中包含多重共線性，可能會(huì)導(dǎo)致回歸系數(shù)估計(jì)值不穩(wěn)定，甚至符號(hào)________。三、計(jì)算題（每小題10分，共30分。請(qǐng)寫(xiě)出詳細(xì)的計(jì)算步驟和結(jié)果。）1.假設(shè)對(duì)某地區(qū)三個(gè)產(chǎn)業(yè)（農(nóng)業(yè)X?，工業(yè)X?，服務(wù)業(yè)X?）的員工收入（Y?，Y?）和受教育年限（Y?）進(jìn)行了調(diào)查，得到樣本數(shù)據(jù)（部分），并計(jì)算出相關(guān)系數(shù)矩陣R如下（此處假設(shè)R已給出具體數(shù)值）：R=[[1,0.6,0.4],[0.6,1,0.7],[0.4,0.7,1]]現(xiàn)在希望用主成分分析方法降維，保留兩個(gè)主成分。請(qǐng)計(jì)算：(1)第一主成分和第二主成分的方差貢獻(xiàn)率。(2)第一主成分和第二主成分的因子載荷矩陣（載荷向量的平方）。2.某研究將20個(gè)樣本分為兩類（A類10個(gè)，B類10個(gè)），測(cè)量了3個(gè)變量X?,X?,X?。經(jīng)計(jì)算得到樣本均值向量μ?,μ?和合并協(xié)方差矩陣S如下（此處假設(shè)具體數(shù)值）：μ?=[1,2,3]?,μ?=[4,5,6]?,S=[[5,1,0.5],[1,4,1.5],[0.5,1.5,3]]請(qǐng)計(jì)算：(1)根據(jù)費(fèi)歇爾法，得到的兩類樣本的線性判別函數(shù)。(2)計(jì)算一個(gè)來(lái)自未知類別的個(gè)體X?=[2,3,4]?的判別得分（或稱后驗(yàn)概率，需說(shuō)明計(jì)算依據(jù)）。3.有6個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下（X?,X?為二維數(shù)據(jù)）：(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7)使用系統(tǒng)聚類法（如Ward方法）對(duì)這些樣本進(jìn)行聚類。請(qǐng)給出聚類過(guò)程的第一步和第二步的類中心（或離差平方和計(jì)算結(jié)果，或聚類樹(shù)狀圖的初始部分）。四、綜合應(yīng)用題（每小題15分，共30分。請(qǐng)結(jié)合問(wèn)題背景，展示完整的分析過(guò)程和結(jié)論。）1.某公司想評(píng)估其三個(gè)廣告渠道（A,B,C）的效果，收集了廣告投放后一個(gè)月內(nèi)各渠道帶來(lái)的新客戶數(shù)量（Y?）和客戶轉(zhuǎn)化率（Y?）的數(shù)據(jù)。假設(shè)數(shù)據(jù)構(gòu)成一個(gè)p=2的多元總體，且近似服從多元正態(tài)分布。部分樣本數(shù)據(jù)及計(jì)算結(jié)果顯示相關(guān)系數(shù)矩陣R和樣本均值向量μ如下（此處假設(shè)具體數(shù)值）：R=[[1,0.8],[0.8,1]],μ=[50,0.15]?公司希望根據(jù)這兩個(gè)指標(biāo)對(duì)廣告渠道進(jìn)行評(píng)價(jià)和排序。請(qǐng)：(1)計(jì)算第一主成分，并解釋該主成分的主要含義。(2)若要進(jìn)一步用主成分得分對(duì)三個(gè)渠道進(jìn)行簡(jiǎn)單排序，請(qǐng)說(shuō)明如何操作，并解釋理由。2.某大學(xué)招生辦公室希望根據(jù)考生的高考成績(jī)（X?：數(shù)學(xué)，X?：語(yǔ)文，X?：綜合）和面試表現(xiàn)（X?：表達(dá)能力，X?：邏輯思維）來(lái)選拔研究生。現(xiàn)有15名候選人的數(shù)據(jù)，構(gòu)成一個(gè)5維數(shù)據(jù)集。研究者考慮使用因子分析方法來(lái)探究這些能力指標(biāo)背后是否存在共同的潛在因子。請(qǐng)：(1)簡(jiǎn)述進(jìn)行因子分析的適用性檢驗(yàn)通常需要關(guān)注哪些統(tǒng)計(jì)量。(2)假設(shè)經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)適合進(jìn)行因子分析，并得到了因子載荷矩陣（部分信息）。請(qǐng)解釋因子載荷矩陣中元素f??的含義，并說(shuō)明如何根據(jù)載荷矩陣來(lái)識(shí)別潛在因子。---試卷答案一、選擇題1.C2.A3.C4.B5.A二、填空題1.因子載荷平方和(或方差貢獻(xiàn)率之和)2.協(xié)方差矩陣3.K4.距離5.相反三、計(jì)算題1.(1)設(shè)R的特征值為λ?,λ?,λ?，對(duì)應(yīng)單位特征向量為u?,u?,u?。則第一主成分的方差貢獻(xiàn)率為λ?/(λ?+λ?+λ?)，第二主成分的方差貢獻(xiàn)率為λ?/(λ?+λ?+λ?)。(2)第一主成分向量為u?，第二主成分向量為u?。因子載荷向量為F=[u??,u??]?。載荷矩陣的元素f??=u??F?。計(jì)算R的特征值和特征向量（需具體數(shù)值計(jì)算），然后計(jì)算載荷矩陣（F的列向量與R的對(duì)應(yīng)特征向量乘積）。載荷向量的平方即為所求。2.(1)計(jì)算類間均值向量D=(μ?-μ?)?S?1(μ?-μ?)。線性判別函數(shù)為L(zhǎng)(x)=x?S?1D。將S?1D和D的具體數(shù)值代入計(jì)算即可。(2)計(jì)算判別得分。方法一（得分法）：計(jì)算每個(gè)類的馬氏距離平方D?2=(μ?-μ?)?S?1(μ?-μ?)和樣本點(diǎn)到類均值的馬氏距離平方d??2=x??S?1(μ?-μ?)?。得分D?=d??2/D?2。比較得分進(jìn)行判別。方法二（后驗(yàn)概率法，需假設(shè)先驗(yàn)概率相等）：計(jì)算每個(gè)類的馬氏距離平方D?2和總馬氏距離平方D2=D?2+D?2。后驗(yàn)概率P(i|x)=D?2/D2。選擇概率最大的類別。需具體數(shù)值計(jì)算。3.(1)第一步：計(jì)算所有樣本點(diǎn)對(duì)之間的歐氏距離，形成距離矩陣D?。找到D?中最小的非零距離，連接對(duì)應(yīng)的樣本點(diǎn)（如連接(1,2)和(2,3)形成初始類C?={1,2}，C?={3,4,5,6,7}）。計(jì)算新類C?的類中心（(1+2)/2,(2+3)/2)?=(1.5,2.5)?。計(jì)算C?與C?之間的平均距離（或Ward方法中的離差平方和增量）。第二步：在更新后的距離矩陣中找到最小距離，連接一個(gè)樣本點(diǎn)與其最近的新類中心（如連接(3,4)和(1.5,2.5)形成新類C?）。計(jì)算新類C?的類中心。更新距離矩陣，重復(fù)此過(guò)程直至所有樣本點(diǎn)歸入一個(gè)類。四、綜合應(yīng)用題1.(1)計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣R的特征值和單位特征向量。選擇最大的特征值λ?對(duì)應(yīng)的單位特征向量u?，即為第一主成分方向。第一主成分F?=u??x。解釋：F?的值越大，表示該樣本在X?和X?兩個(gè)維度上同時(shí)表現(xiàn)越“好”（正向相關(guān)），反映了這兩個(gè)指標(biāo)的綜合優(yōu)勢(shì)。(2)計(jì)算每個(gè)樣本點(diǎn)的主成分得分F??=u??x?。根據(jù)F??的得分對(duì)三個(gè)廣告渠道進(jìn)行排序。理由：主成分得分F?是原始變量的線性組合，保留了大部分信息，可以作為一種綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)。得分越高，表示該渠道在X?和X?方面的表現(xiàn)越綜合越優(yōu)。2.(1)適用性檢驗(yàn)通常關(guān)注：KMO統(tǒng)計(jì)量（Kaiser-Meyer-Olkin，測(cè)量樣本偏相關(guān)性，越接近1越好）和Bartlett's球形檢驗(yàn)（檢