2025年統(tǒng)計學(xué)期末考試題庫：統(tǒng)計與決策核心知識試題卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請將正確選項的代表字母填寫在題干后的括號內(nèi)）1.在一組數(shù)據(jù)中，眾數(shù)、中位數(shù)和均值恰好相等，則這組數(shù)據(jù)的分布形態(tài)是（）。A.左偏態(tài)分布B.右偏態(tài)分布C.對稱分布D.U型分布2.已知總體服從正態(tài)分布，且總體方差已知，當(dāng)樣本量足夠大時，用于構(gòu)造總體均值置信區(qū)間的統(tǒng)計量是（）。A.t分布B.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布C.χ2分布D.F分布3.在假設(shè)檢驗中，犯第一類錯誤是指（）。A.接受原假設(shè)，但原假設(shè)為真B.拒絕原假設(shè)，但原假設(shè)為假C.接受原假設(shè)，但原假設(shè)為假D.拒絕原假設(shè)，但原假設(shè)為真4.從一個總體中隨機抽取樣本，樣本均值的抽樣分布的均值等于（）。A.總體均值B.總體標(biāo)準(zhǔn)差C.總體方差D.樣本方差5.在方差分析中，F(xiàn)檢驗的基本原理是（）。A.比較樣本均值與總體均值之間的差異B.比較不同總體方差的大小C.比較組內(nèi)方差與組間方差的大小D.比較樣本方差與總體方差的大小6.一元線性回歸模型中，回歸系數(shù)β?的假設(shè)檢驗?zāi)康氖菣z驗（）。A.自變量X與因變量Y之間是否存在線性關(guān)系B.自變量X的均值是否等于某個特定值C.因變量Y的均值是否等于某個特定值D.回歸模型的擬合優(yōu)度如何7.如果一個事件的概率為0，那么該事件是（）。A.必然事件B.不可能事件C.隨機事件D.以上都不是8.設(shè)事件A和B互斥，且P(A)>0,P(B)>0，則下列說法正確的是（）。A.P(A|B)=P(A)B.P(A∪B)=P(A)+P(B)C.P(A∩B)=P(A)P(B)D.P(A|B)=09.對于一組觀察值，其樣本協(xié)方差為零，則變量X和Y（）。A.線性相關(guān)B.線性不相關(guān)C.負(fù)相關(guān)D.正相關(guān)10.抽樣調(diào)查的主要目的是（）。A.了解總體所有單位的特征B.推斷總體的特征C.對樣本單位進行深入分析D.驗證樣本數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性二、填空題（每小題2分，共20分。請將答案填寫在題干后的橫線上）1.樣本方差是_________的無偏估計量。2.假設(shè)檢驗中，顯著性水平α表示犯第一類錯誤的概率，其值越小，拒絕原假設(shè)的門檻_________。3.在一元線性回歸方程Y=a+bX中，b稱為_________系數(shù)，表示自變量X每變化一個單位，因變量Y的期望值平均變化_________個單位。4.設(shè)事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且P(A∪B)=0.8，則事件A和事件B獨立的概率P(B|A)=_________。5.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的均值μ=_________，標(biāo)準(zhǔn)差σ=_________。6.進行區(qū)間估計時，置信區(qū)間的寬度取決于_________、_________和樣本量。7.方差分析的基本思想是通過比較_________和_________來判斷因素的不同水平對結(jié)果是否有顯著影響。8.設(shè)總體X的均值μ未知，方差σ2已知，欲檢驗H?:μ=μ?，應(yīng)選擇的檢驗統(tǒng)計量是_________。9.在簡單隨機抽樣中，每個樣本單位被抽中的概率_________。10.回歸分析的主要目的是研究變量之間的_________關(guān)系，并對其進行預(yù)測或控制。三、簡答題（每小題5分，共20分）1.簡述樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。2.解釋什么是假設(shè)檢驗中的p值，并說明如何根據(jù)p值做出統(tǒng)計決策。3.簡述一元線性回歸模型中，檢驗?zāi)Ｐ驼w線性關(guān)系的F檢驗的基本思想。4.什么是相關(guān)系數(shù)？它衡量的是什么？四、計算題（每小題10分，共30分）1.某班級30名學(xué)生的身高數(shù)據(jù)（單位：cm）如下：172,168,165,170,175,180,170,165,175,180,160,170,172,168,175,178,165,170,172,168,180,170,175,165,172,168,170,173,176,172。要求：(1)計算樣本均值和樣本方差。(2)若已知該班級學(xué)生身高的總體標(biāo)準(zhǔn)差σ=5cm，計算樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤。(3)假設(shè)總體均值μ=170cm，檢驗樣本均值是否顯著高于總體均值（α=0.05），請寫出檢驗步驟（包括提出假設(shè)、計算檢驗統(tǒng)計量、確定拒絕域、做出結(jié)論）。2.某公司想要比較兩種廣告策略（A和B）對產(chǎn)品銷售量的影響。隨機抽取了10個地區(qū)，每個地區(qū)采用一種廣告策略，一個月后的銷售量數(shù)據(jù)（單位：件）如下：策略A：45,50,55,60,58,52,57,54,56,59策略B：40,48,45,50,47,43,44,46,49,51假設(shè)兩個策略對應(yīng)的銷售量服從正態(tài)分布，且方差相等。要求：(1)檢驗兩種廣告策略的平均銷售量是否存在顯著差異（α=0.05）。(2)求兩種廣告策略平均銷售量之差的95%置信區(qū)間。3.某研究欲探究廣告投入（X，單位：萬元）與銷售額（Y，單位：萬元）之間的關(guān)系，收集了10組數(shù)據(jù)，計算得到：ΣX=60,ΣY=500,ΣX2=400,ΣY2=27000,ΣXY=3200。要求：(1)建立銷售額對廣告投入的一元線性回歸方程。(2)計算回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。(3)檢驗廣告投入對銷售額是否有顯著影響（α=0.05）。五、分析題（10分）已知某城市抽樣調(diào)查了1000戶家庭的年收入（X，單位：萬元）和消費支出（Y，單位：萬元），得到以下信息：樣本相關(guān)系數(shù)r=0.75，Y的樣本均值為5萬元，X的樣本均值為4萬元。假設(shè)消費支出Y對年收入X的回歸方程為Y?=a+bX。要求：(1)解釋樣本相關(guān)系數(shù)r=0.75的含義。(2)計算回歸方程中的系數(shù)a和b的值。(3)若某家庭年收入為6萬元，根據(jù)回歸方程預(yù)測其年消費支出，并解釋預(yù)測結(jié)果的含義。試卷答案一、選擇題1.C2.B3.B4.A5.C6.A7.B8.B9.B10.B二、填空題1.總體方差2.提高3.回歸，b4.0.65.0，16.顯著性水平α，總體標(biāo)準(zhǔn)差σ（或總體方差σ2）7.組內(nèi)方差，組間方差8.Z9.相等10.相關(guān)三、簡答題1.答案要點：樣本統(tǒng)計量是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算得到的量，用于描述樣本特征；總體參數(shù)是根據(jù)總體數(shù)據(jù)計算得到的量，用于描述總體特征。聯(lián)系在于樣本統(tǒng)計量是用來估計總體參數(shù)的，樣本統(tǒng)計量的分布（抽樣分布）是推斷總體參數(shù)的基礎(chǔ)。2.答案要點：p值是在原假設(shè)為真的前提下，觀察到當(dāng)前樣本結(jié)果或更極端結(jié)果的概率。決策規(guī)則通常是：若p值≤α，則拒絕原假設(shè)；若p值>α，則不拒絕原假設(shè)。3.答案要點：F檢驗通過比較模型解釋的變異（由自變量引起）與未解釋的變異（由誤差引起）的比率（即F統(tǒng)計量），來判斷自變量整體上是否對因變量有顯著影響。若F統(tǒng)計量較大（超過臨界值），則拒絕原假設(shè)，認(rèn)為自變量對因變量有顯著影響。4.答案要點：相關(guān)系數(shù)是衡量兩個變量之間線性相關(guān)程度的統(tǒng)計量，其取值范圍在-1到1之間。絕對值越接近1，表示線性相關(guān)越強；絕對值越接近0，表示線性相關(guān)越弱；正號表示正相關(guān)，負(fù)號表示負(fù)相關(guān)。四、計算題1.(1)答案要點：樣本均值x?=(Σx)/n=5130/30=171cm；樣本方差s2=[Σ(x-x?)2]/(n-1)=[Σx2-n(x?)2]/(n-1)=(865380-30(171)2)/29≈56.9cm2。(2)答案要點：標(biāo)準(zhǔn)誤SE(x?)=σ/√n=5/√30≈0.913cm。(3)答案要點：*H?:μ=170,H?:μ>170*檢驗統(tǒng)計量Z=(x?-μ?)/SE(x?)=(171-170)/0.913≈1.095*拒絕域：Z>z_α，對于α=0.05，z_0.05≈1.645，所以拒絕域為Z>1.645。*結(jié)論：因為1.095<1.645，所以不拒絕原假設(shè)。沒有充分證據(jù)表明樣本均值顯著高于總體均值。2.(1)答案要點：*H?:μ_A=μ_B,H?:μ_A≠μ_B*計算樣本均值和方差：x?_A=545/10=54.5,s_A2=[Σ(x_A-x?_A)2]/9≈[3025-10(54.5)2]/9≈15.67；x?_B=475/10=47.5,s_B2=[Σ(x_B-x?_B)2]/9≈[2255-10(47.5)2]/9≈15.67。*計算合并方差：s_p2=[(n_A-1)s_A2+(n_B-1)s_B2]/(n_A+n_B-2)=(9*15.67+9*15.67)/18=15.67。*計算檢驗統(tǒng)計量t=(x?_A-x?_B)/s_p*√(1/n_A+1/n_B)=(54.5-47.5)/√15.67*√(1/10+1/10)=7/√15.67*√0.2≈1.212/1.798≈0.673。*確定臨界值：df=n_A+n_B-2=18。對于α=0.05，雙側(cè)檢驗，t_(0.025,18)≈2.101。拒絕域為|t|>2.101。*結(jié)論：因為|0.673|<2.101，所以不拒絕原假設(shè)。沒有充分證據(jù)表明兩種廣告策略的平均銷售量存在顯著差異。(2)答案要點：*置信區(qū)間公式：(x?_A-x?_B)±t_(α/2,df)*s_p*√(1/n_A+1/n_B)*代入數(shù)值：(54.5-47.5)±2.101*√15.67*√0.2=7±2.101*1.798*0.447≈7±1.698。*置信區(qū)間為[5.302,8.698]萬元。3.(1)答案要點：*b=[nΣXY-ΣXΣY]/[nΣX2-(ΣX)2]=[10*3200-60*500]/[10*400-602]=[32000-30000]/[4000-3600]=2000/400=5。*a=y?-bX?=50/10-5*(60/10)=5-30=-25。*回歸方程為Y?=-25+5X。(2)答案要點：*計算回歸均方誤差MSE=[Σ(Y-Y?)2]/(n-2)=[ΣY2-bΣXY-aΣY-b(ΣX)2]/(n-2)=[27000-5*3200-(-25)*500-5*3600]/8=[27000-16000+12500-18000]/8=[27000-16000+12500-18000]/8=1500/8=187.5。*回歸系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤SE(b)=√[MSE/(n-2)]*√(1/Σ(X-X?)2)=√187.5/√8*√(1/[4000-3600])=√23.4375*√(1/400)=4.841*0.05=0.242。(3)答案要點：*檢驗統(tǒng)計量t=b/SE(b)=5/0.242≈20.66。*確定臨界值：df=n-2=8。對于α=0.05，單側(cè)檢驗，t_(0.05,8)≈1.860。拒絕域為t>1.860。*結(jié)論：因為20.66>1.860，所以拒絕原假設(shè)。廣告投入對銷售額有顯著正向影響。*預(yù)測：當(dāng)X=6時，Y?=-25+5*6=-25+30=5萬元。含義是，根據(jù)回歸模型，當(dāng)某家庭年收入為6萬元時，預(yù)測其年消費支出為5萬元。五、分析題(1)答案要點：樣本相關(guān)系數(shù)r=0.75表示在所調(diào)查的1000戶家庭中，年收入X和消費支出Y之