2025年統(tǒng)計學期末考試題庫：統(tǒng)計與決策實驗設計試卷解析考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述隨機化在實驗設計中的重要作用及其主要目的。二、簡述完全隨機設計（CRD）和隨機區(qū)組設計（RBD）的主要區(qū)別，并說明在什么情況下選擇RBD比CRD更優(yōu)越。三、在單因素隨機區(qū)組設計（RBD）中，如果因素A有k個水平，區(qū)組有b個，每個區(qū)組內包含k個處理，觀測值記為Xij(i=1,2,...,k;j=1,2,...,b)。請寫出檢驗因素A各水平之間是否存在顯著差異的方差分析（F檢驗）的公式，并簡述其基本步驟。四、什么是析因設計？它與單因素完全隨機設計相比，主要優(yōu)點是什么？五、設一個2x2析因設計（因子A有2個水平，因子B有2個水平）的實驗數(shù)據如下（每個處理組合有2個觀測值）：處理組合(A1B1):10,12處理組合(A1B2):13,14處理組合(A2B1):8,7處理組合(A2B2):11,9請計算各因素的邊際均值，并簡要分析因子A和因子B的主效應以及交互效應（AxB）的存在性（無需進行假設檢驗，只需根據計算結果判斷）。六、簡述嵌套設計的定義，并舉例說明其適用場景。七、在抽樣調查中，什么是抽樣誤差？影響抽樣誤差的主要因素有哪些？八、簡述分層抽樣和整群抽樣的主要區(qū)別，并分別說明它們適用于什么情況。九、某研究者想比較三種不同的教學方法（A1,A2,A3）對學生的學習效果是否有顯著影響。他隨機選取了60名學生，并將他們分成20個組，每組3名學生。在每個組內，隨機分配一種教學方法，經過一段時間的教學后，測得學生的成績如下（每組數(shù)據）：組1(A1):85,82,88組2(A2):78,80,82組3(A3):90,92,87...組20(A3):88,85,90請設計一個合適的實驗設計方法，并說明理由。若采用該設計，請簡述方差分析的步驟（包括假設、公式、檢驗過程等）。十、什么是實驗效率？在實驗設計中，如何通過增加因素水平或采用更高級的設計（如析因設計）來提高實驗效率？十一、在實際科學研究中，為什么有時候需要進行實驗設計而不僅僅是觀察性研究？請結合至少兩個實驗設計的核心原則說明其重要性。試卷答案一、隨機化是將研究對象（如實驗單元）隨機分配到不同處理組的過程。其主要目的是排除處理因素之外的其他未知或未控制因素對實驗結果的影響，確保不同處理組在實驗開始前是統(tǒng)計上等效的。這有助于保證處理效果的差異主要是由處理本身引起的，從而提高實驗結果的可靠性、客觀性和有效性，使結論更具說服力。二、完全隨機設計（CRD）將所有實驗單元完全隨機地分配到各個處理組。隨機區(qū)組設計（RBD）先將實驗單元按某種相似性標準（區(qū)組因素）劃分成若干組（區(qū)組），再在每個區(qū)組內將實驗單元隨機分配到各個處理組。RBD的主要優(yōu)點在于它能夠有效控制區(qū)組因素帶來的變異，減少實驗誤差，提高處理間差異檢測的靈敏度。當存在明顯的區(qū)組因素且可能影響處理結果時，RBD比CRD更優(yōu)越。三、檢驗因素A各水平之間是否存在顯著差異的方差分析（F檢驗）的公式如下：F=MS_A/MS_error其中，MS_A是因素A的均方（MS_A=SS_A/(k-1)），SS_A是因素A的離差平方和（SS_A=Σ(b-1)*(bar(X_ij)-bar(X_..))2，bar(X_ij)是第i個處理在第j個區(qū)組的均值，bar(X_..)是所有觀測值的總均值），k是因素A的水平數(shù)。MS_error是誤差均方（MS_error=SS_error/(kb-k)），SS_error是誤差離差平方和（SS_error=ΣΣ(X_ij-bar(X_ij))2，bar(X_ij)是第i個處理在第j個區(qū)組的均值），b是區(qū)組數(shù)，k是因素A的水平數(shù)，b是區(qū)組數(shù)?；静襟E：1.提出零假設H0：因素A各水平下的總體均值相等（μ1=μ2=...=μk）。2.計算總離差平方和SST、因素A的離差平方和SSA、誤差離差平方和SSE及各自的自由度df_T=kb-1,df_A=k-1,df_error=kb-k。3.計算總均方MST、因素A的均方MSA、誤差均方MSE：MST=SST/df_T,MSA=SSA/df_A,MSE=SSE/df_error。4.計算檢驗統(tǒng)計量F：F=MS_A/MSE。5.根據顯著性水平α和自由度(df_A,df_error)查找F分布表，得到臨界值Fα。6.判斷：若F>Fα，則拒絕H0，認為因素A各水平間存在顯著差異；否則，不拒絕H0。四、析因設計是同時研究兩個或多個因素對實驗結果影響的實驗設計。它不僅考察每個因素的主效應（即該因素不同水平對結果的影響），還能考察因素之間可能存在的交互效應（即一個因素的效應依賴于另一個因素的水平）。與單因素完全隨機設計相比，析因設計的主要優(yōu)點是可以在一次實驗中同時分析多個因素及其交互作用，節(jié)省實驗次數(shù)和時間，更全面、高效地揭示因素間的復雜關系，避免遺漏重要的交互信息。五、計算過程：處理組合(A1B1):bar(X_11)=(10+12)/2=11,S_11=(10-11)2+(12-11)2=2處理組合(A1B2):bar(X_12)=(13+14)/2=13.5,S_12=(13-13.5)2+(14-13.5)2=0.5處理組合(A2B1):bar(X_21)=(8+7)/2=7.5,S_21=(8-7.5)2+(7-7.5)2=0.5處理組合(A2B2):bar(X_22)=(11+9)/2=10,S_22=(11-10)2+(9-10)2=2邊際均值：bar(X_A1)=(bar(X_11)+bar(X_12))/2=(11+13.5)/2=12.25bar(X_A2)=(bar(X_21)+bar(X_22))/2=(7.5+10)/2=8.75bar(X_B1)=(bar(X_11)+bar(X_21))/2=(11+7.5)/2=9.25bar(X_B2)=(bar(X_12)+bar(X_22))/2=(13.5+10)/2=11.75bar(X_..)=(bar(X_A1)+bar(X_A2))/2=(12.25+8.75)/2=10.5分析：主效應A：bar(X_A1)=12.25,bar(X_A2)=8.75。A1均值顯著高于A2均值，主效應A存在。主效應B：bar(X_B1)=9.25,bar(X_B2)=11.75。B2均值顯著高于B1均值，主效應B存在。交互效應AxB：比較A1在不同B下的均值差：bar(X_12)-bar(X_11)=13.5-11=2.5比較A2在不同B下的均值差：bar(X_22)-bar(X_21)=10-7.5=2.5A1在B2下的提升（2.5）與A2在B2下的提升（2.5）相同。雖然A1和B2單獨看效果都好，但A因素的好壞不依賴于B因素的水平。類似地，A2在B1下的降低（-2.5）與A1在B1下的降低（-2.5）相同。因此，交互效應AxB不顯著。六、嵌套設計是一種特殊的實驗設計，其中一個因素的各個水平被完全包含在另一個因素的某個水平之內。即，如果因素B的每個水平都包含因素A的所有水平，或者說因素A的不同處理在因素B的不同水平下是獨立進行的，則稱因素A嵌套在因素B之下。例如，要比較三種不同的飼料（A1,A2,A3）對三個不同年齡段（B1,B2,B3）的豬生長效果的影響，每種飼料只在每個年齡段中測試一次，得到的觀測值形式如：在B1組測試A1,A2,A3；在B2組測試A1,A2,A3；在B3組測試A1,A2,A3。這種設計適用于處理因素的水平需要根據區(qū)組因素的不同而分級設置，或者實驗條件不允許在所有組合下進行完整實驗的情況。七、抽樣誤差是指由于抽取樣本而非對整個總體進行調查，導致樣本統(tǒng)計量（如樣本均值、樣本比例）與總體參數(shù)（如總體均值、總體比例）之間存在的隨機差異。它反映了用樣本估計總體的不確定性。影響抽樣誤差的主要因素包括：1.總體變異程度：總體中個體值之間的差異越大，抽樣誤差通常越大。2.樣本量大?。簶颖玖吭酱螅闃诱`差通常越?。礃颖窘y(tǒng)計量越接近總體參數(shù)）。3.抽樣方法：不同的抽樣方法（如簡單隨機抽樣、分層抽樣、整群抽樣）其抽樣誤差的大小和估計方法可能不同。一般來說，設計良好的抽樣方法（如分層抽樣）可以減少抽樣誤差。八、分層抽樣是將總體按照某個或某些重要的標志分成若干個互不重疊的子集（層），然后在每個層內獨立地抽取樣本，最后將各層樣本合并構成總樣本。整群抽樣是將總體分成若干個互不重疊的群，隨機抽取一部分群，然后對被抽中的群內的所有個體或按一定規(guī)則抽取個體構成樣本。主要區(qū)別在于：分層抽樣是在層內抽樣（通常為隨機抽樣），目的是通過分層控制特定標志的變異，提高估計精度；整群抽樣是在群內抽樣（通常為普查或按規(guī)則抽樣），目的是方便抽樣實施，降低成本，但可能導致群內同質性高、群間異質性高，從而可能增大抽樣誤差。九、合適的實驗設計方法是完全隨機設計（CRD）。理由：比較三種教學方法的效果，可以將60名學生視為60個實驗單元，假設學生之間的個體差異相對較小或可以通過隨機化來平衡，直接將60名學生隨機分配到三個處理組（每種教學方法20人），這樣可以在不考慮其他學生群體差異的情況下，公平地比較三種教學方法的效果。方差分析步驟：1.假設：H0：三種教學方法下的總體平均成績相等（μ1=μ2=μ3）；H1：至少有兩種教學方法下的總體平均成績不等。2.計算各處理組合均值（已計算在題目中）及總均值（bar(X_..)=85+...+90/60=10.5）。3.計算因素A（教學方法）的離差平方和SSA=Σ(20*(bar(X_Ai)-bar(X_..))2)=Σ(20*(bar(X_ij)-10.5)2)，其中bar(X_Ai)為第i種教學方法的邊際均值（12.25,8.75,8.75）。計算結果SSA=20*[(12.25-10.5)2+(8.75-10.5)2+(8.75-10.5)2]=20*[1.752+(-1.75)2+(-1.75)2]=20*[3.0625+3.0625+3.0625]=20*9.1875=183.75。4.計算誤差離差平方和SSE=ΣΣ(X_ij-bar(X_ij))2=S_11+S_12+S_21+S_22=2+0.5+0.5+2=5。5.計算自由度df_A=k-1=3-1=2,df_error=N-k=60-3=57。6.計算均方MSA=SSA/df_A=183.75/2=91.875,MSE=SSE/df_error=5/57≈0.0877。7.計算F值F=MS_A/MSE=91.875/0.0877≈1050.8。8.查F表：根據α（如0.05）和(df_A,df_error)=(2,57)，找到臨界值Fα≈3.16。9.判斷：由于計算得到的F≈1050.8遠大于臨界值3.16，因此拒絕H0，認為三種教學方法下的平均成績存在顯著差異。十、實驗效率通常指在達到相同精度（即抽樣誤差或實驗誤差相同）的條件下，一種實驗設計所需實驗單元的數(shù)量少于另一種實驗設計。提高實驗效率意味著用更少的資源（如時間、成本、材料）獲得可靠的研究結論?？梢酝ㄟ^以下方式提高實驗效率：1.增加因素水平：在析因設計中，增加因素的水平數(shù)可以更精細地考察因素的主效應和交互效應，有時可以減少對區(qū)組的需求或減少實驗次數(shù)（通過部分實施設計）。2.采用更高級的設計：如使用隨機區(qū)組設計（RBD）可以控制一個已知的變異來源（區(qū)組因素），顯著減少誤差變異，提高處理間差異檢測的靈敏度，相對于完全隨機設計而言，達到了相同精度所需的實驗單元更少。使用析因設計可以同時考察多個因素及其交互作用，避免了單獨進行多個簡單實驗的冗余，整體效率更高。使用正交試驗設計可以在考察多個因素主效應的同時，用較少的實驗次數(shù)高效地估計交互效應，也是提高效率的有效手段。十一、實際科學研究中需要進行實驗設計而不僅僅是觀察性研究，主要因為：1.控制與因果推斷：實驗設計允許研究者主動控制實驗條件，操縱自變量（處理因素），并保持其他無關變量恒定或隨機化分配，從而可以更有效地分離處理效應與其它混雜因素的影響，建立變量間的因果關系。觀察性研究只能發(fā)現(xiàn)變量間的關聯(lián)性，不能確定因果方向。